初中數(shù)學(xué)必會(huì)模型精講精練之代數(shù)式化簡求值

初中數(shù)學(xué)必會(huì)模型精講精練代數(shù)式化簡求值方法一：先化簡，再代入例1：1.化簡求值：，其中，．【答案】，．【解析】【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．變：1－12.先化簡，再求值：，其中，．【答案】xy2+y3，9．【解析】【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：2(xy2+3y3?x2y)?(?2x2y+y3+xy2)?4y3=2xy2+6y3-2x2y+2x2y-y3-xy2-4y3=xy2+y3，當(dāng)x=2，y=-3時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．變式1－23.先化簡，再求值：，其中，.【答案】,26【解析】【分析】先對(duì)整式去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，再將，代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查整式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則.變式1－34.先化簡，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【答案】；.【解析】【分析】先將括號(hào)里的通分得，再將分母用完全平方式轉(zhuǎn)化，再將除法轉(zhuǎn)化成乘法，進(jìn)行化簡，化簡之后將x，y的值代入求解即可.【詳解】解：原式===；當(dāng)x=1+，y=1﹣時(shí)，原式==.方法二：賦值求值法賦值求值法是指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數(shù)式的值的一種方法．這是一種開放型題目，答案不唯一，在賦值時(shí)，要注意取值范圍．例25.請(qǐng)將式子化簡后，再從0，1，2三個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)你喜歡且使原式有意義的的值代入求值．【答案】；當(dāng)時(shí)，原式值為2或當(dāng)時(shí)，原式值為4【解析】【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的加法運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算，結(jié)合分式有意義的條件確定的值，再代入計(jì)算即可.【詳解】解：原式．依題意，只要就行，當(dāng)時(shí)，原式=或當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.變式2－16.先化簡，，然后請(qǐng)你自選一個(gè)理想的x值求出原式的值【答案】；x=2時(shí)，原式=2.【解析】【分析】本題可先把分式化簡，再將x的值代入求解；為了使原分式有意義，x取1、-1和0以外的任何數(shù)．【詳解】原式==x=2時(shí)，原式=2.【點(diǎn)睛】本題需注意的是：化簡后代入的數(shù)不能使分母的值為0．變式2－27.先化簡，再求值：，其中x是從1，2，3中選取的一個(gè)合適的數(shù)．【答案】；-2【解析】【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的異分母分式減法，再計(jì)算乘法，最后將可選取的x值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運(yùn)算法則及確定字母的可取數(shù)值是解題的關(guān)鍵．方法三：先變形，再整體代入從整體上認(rèn)識(shí)問題和思考問題是一種重要的思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很廣泛的應(yīng)用，整體思想主要是將所考察的對(duì)象作對(duì)一個(gè)整體來對(duì)待，而這個(gè)整體是各要素按一定的思路組合成的有機(jī)統(tǒng)一體．不求字母的值，將所求代數(shù)式變形成與已知條件有關(guān)的式子．①變換條件后，整體代入求值例318.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】由可得再利用整體代入的方法把原式降到是二次多項(xiàng)式，再整體代入求值即可.【詳解】解：，【點(diǎn)睛】本題考查的是利用整體思想求解代數(shù)式的值，掌握降次的思想方法是解題的關(guān)鍵.變式3－1－19.已知，則的值為________．【答案】1【解析】【分析】由已知可知，則，代入即可求值．【詳解】解：，，則，．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是由已知條件求出和，考查了整體代入的思想．變式3－1－210.，求的值．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)分式加法的性質(zhì)，得；再根據(jù)分式性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了分式、代數(shù)式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式、代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．②變換結(jié)論后，整體代入求值例3.211.如果，那么代數(shù)式的值為（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】【分析】原式化簡后，約分得到最簡結(jié)果，把已知等式代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式=∴原式=3，故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．變式3－2－112.已知，，求整式的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化簡，然后把，分別作為一個(gè)整體代入求出整式的值．【詳解】．把，代入得，原式．【點(diǎn)睛】求整式的值，一般先化簡后求值，但當(dāng)題目中含未知數(shù)的部分可以看成一個(gè)整體時(shí)，要用整體代入法，即把“整體”當(dāng)成一個(gè)新的字母，求關(guān)于這個(gè)新的字母的代數(shù)式的值，這樣會(huì)使運(yùn)算更簡便．變式3－2－213.已知，則的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決此題的關(guān)鍵．③變換條件和結(jié)論后，整體代入求值例3.314.若，則的值為______．【答案】5【解析】【詳解】∵，∴，∴===5，故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，正確地對(duì)所給的式子進(jìn)行變形是解決此題的關(guān)鍵.變式3－3－115.已知x2﹣3x+1＝0，求x2的值．【答案】7【解析】【分析】先將等式兩邊同時(shí)除以x，并整理可得x3，然后利用完全平方公式的變形即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣30，∴x3，∴x2（x）2﹣2＝32﹣2＝7．【點(diǎn)睛】此題考查的是等式的變形和完全平方公式的變形，掌握完全平方公式的變形是解題關(guān)鍵．變式3－3－216.先化簡，再求值（﹣）÷，其中a，b滿足a+b﹣=0．【答案】原式==2【解析】【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】（﹣）÷==由a+b﹣=0，得到a+b=，則原式==2．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．方法四：隱含條件求值法先通過隱含條件求出字母值，然后化簡再求值．例417.若單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，求代數(shù)式的值．【答案】0【解析】【分析】先通過與是同類項(xiàng)這一條件，將、的值求出，然后再化簡求值式后求值．【詳解】∵與是同類項(xiàng)，∴，解得：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算、代數(shù)式、二元一次方程組的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握同類項(xiàng)、代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．變式4－118.已知，求的值．【答案】34【解析】【分析】先通過已知式，求出、的值，因?yàn)榻^對(duì)值式和平方式都具有非負(fù)性，如果兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，那么它們均為0，再去括號(hào)，合并同類項(xiàng)把原式化簡，最后代入求值即可.【詳解】解：∵，又∵，，∴，解得：．，∴．當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整式的加減運(yùn)算，化簡求值，掌握去括號(hào)，合并同類項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.變式4－219.若和互為相反數(shù)，則________．【答案】37【解析】【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而得出1﹣3a＝0，8b﹣3＝0，求出a，b的值，再代入所求代數(shù)式中即可求出答案．【詳解】解：由題意知，，∵，∴，，∴，，∴．故答案為37．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)利用了絕對(duì)值和二次根式的非負(fù)性，也利用了互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0這個(gè)結(jié)論．方法五：利用“無關(guān)”求值或說理方法總結(jié)要說明一個(gè)代數(shù)式值與某個(gè)字母的取值無關(guān)時(shí)需先對(duì)原式進(jìn)行化簡，則可得出該無關(guān)字母的系數(shù)為0；若給定字母寫錯(cuò)得出正確答案，則該代數(shù)式的值與該字母無關(guān)．例520.有這樣一道題：計(jì)算的值，其中，．甲同學(xué)把“”錯(cuò)抄成了“”，他的計(jì)算結(jié)果也是正確的，你知道這是怎么回事嗎？【答案】見解析．【解析】【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：，結(jié)果與x的取值無關(guān)，故甲同學(xué)把“”錯(cuò)抄成了“”，但他計(jì)算的結(jié)果也是正確的．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．變式5－121.已知，．（1）若的值與的值無關(guān)，求的值．（2）若的值與的值無關(guān)，求的值．【答案】（1）x的值為；（2）y的值為1．【解析】【分析】（1）將A，B代入A-2B，再去括號(hào)，再由題意可得，求解即可；（2）將A，B代入A?mB?3x，再去括號(hào)，再由題意可得，，求解即可；【詳解】解：（1）∵A，B=，∴A-2B=（）2（）=，∵A-2B的值與y的值無關(guān)，∴，∴；∴x的值為；（2）∵A，B=，∴A?mB?3x=（）m（）?3x=∵A?mB?3x的值與x的值無關(guān)，∴，，∴，；∴y的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握整式的加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式5－222.已知多項(xiàng)式值與的取值無關(guān)，求的值．【答案】2.【解析】【分析】對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形為，根據(jù)多項(xiàng)式的值與的取值無關(guān)，則令，，求出m、n的值，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：原式因?yàn)榕c的取值無關(guān)所以：當(dāng)，時(shí)原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握整式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.方法六：配方法若已知條件含有完全平方式，則可通過配方，把條件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)平方和的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來確定字母的值，從而求得結(jié)果．例623.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．【答案】7．【解析】【詳解】試題分析：利用交換律湊出完全平方公式，求出a,b的值，再代入目標(biāo)整式求值.試題解析：解：因?yàn)閍2+b2+2a-4b+5=0，∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0，∴a+1=0且b-2=0，∴a=-1且b=2，∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7．變式6－224.已知，求的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法將變?yōu)?，根?jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，最后求出答案．【詳解】解：∵∴，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用以及代數(shù)式求值，關(guān)鍵在于將已知方程的左側(cè)進(jìn)行正確的配方．方法七：平方法在直接求值比較困難時(shí)，有時(shí)也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退為進(jìn)的策略），但要注意最后結(jié)果的符號(hào)．例725.已知且，則當(dāng)時(shí)，的值等于________．【答案】【解析】【分析】利用分式的加減運(yùn)算法則與完全平方公式把原式化為：，再整體代入求值，再利用平方根的含義可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是由條件式求解分式的值，掌握變形的方法是解題的關(guān)鍵.變式7－126.已知，則的值是________．【答案】【解析】【分析】把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，整理求出的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值．【詳解】解：由，得到，即，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．變式7－227.若，求的值【答案】42【解析】【分析】根據(jù)題意先將式子a＋b＋c＝12進(jìn)行完全平方后展開可得式子結(jié)合求出ab＋ac＋bc的值．【詳解】根據(jù)題意可得：，將代入式子可得，則故答案為42．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式，解題關(guān)鍵在于結(jié)合實(shí)際運(yùn)用完全平方公式．方法八：特殊值法有些試題，用常規(guī)方法直接求解比較困難，若根據(jù)答案中所提供的信息，選擇某些特殊情況進(jìn)行分析，或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问竭M(jìn)行判斷，這時(shí)常常會(huì)使題目變得十分簡單．例828.若，則的值為________．【答案】1【解析】【分析】把代入已知計(jì)算得到；把代入已知計(jì)算得到；再利用平方差公式即可求解．【詳解】解：由，若令，則；若令，則，所以．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．變式8－129.已知實(shí)數(shù)，滿足，那么的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知條件代入求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，妥題的關(guān)鍵是利用a?b=1，把a(bǔ)?b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一個(gè)分式，所以可求出答案是1．方法九：設(shè)參法遇到比值的情況，可對(duì)比值整體設(shè)參數(shù)，把每個(gè)字母用參數(shù)表示，然后代入計(jì)算即可．例930.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)設(shè)出，得到，，，然后代入分式求值即可．【詳解】解：設(shè)，則，，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類題目時(shí)要注意，當(dāng)條件是連等式，因此可用設(shè)參數(shù)法，即設(shè)出參數(shù)k，得出x，y，z與k的關(guān)系，然后再代入待求的分式化簡是解題的關(guān)鍵．變式9－131.若，求的值．【答案】0【解析】【分析】設(shè)，則，，，然后計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵，設(shè)，∴，，，∴==；【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)進(jìn)行解題．變式9－232.已知，求的值．【答案】5【解析】【分析】設(shè)已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則x=3k，y=4k，z=7k，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出x=3k，y=4k，z=7k是解題關(guān)鍵．方法十：利用根與系數(shù)的關(guān)系如果代數(shù)式可以看作某兩個(gè)“字母”的輪換對(duì)稱式，而這兩個(gè)“字母”又可能看作某個(gè)一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值．直接用根與系數(shù)的關(guān)系求值例10.133.閱讀材料：設(shè)一元二次方程的兩根為，，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系，根據(jù)該材料填空：已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值為_____【答案】10【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到，兩根之和與兩根之積，把代數(shù)式變形成與兩根之和和兩根之積有關(guān)的式子，代入兩根之和與兩根之積，求得代數(shù)式的值．【詳解】解：由題意知，，所以.故答案為：10．變式10－1－134.已知、是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)、是一元二次方程的兩個(gè)根得到，再將變形為，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個(gè)根，∴∵，∴，選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為、，則，熟記知識(shí)點(diǎn)與代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵．②構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求值．例10.235.已知，，求的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得，是方程的兩個(gè)根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，，即，，∴，是方程的兩個(gè)根，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練地掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．方程()的兩根為，則有，．變式10－2－136.已知，，，求值．【答案】5或13或10【解析】【分析】通過求解一元二次方程，并結(jié)合題意，得到m和n的值，再代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】∵∴∴或∵∴∴或∵∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或∴或13或10．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、代數(shù)式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．③根的含義和根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合使用求值例10.337.已知，是方程的兩根，求的值．【答案】34【解析】【分析】由，是方程的兩根，可得，，，再把原式降次為：，從而可得答案.【詳解】解：∵，是方程的兩根∴，，∴【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握降次的思想是解題的關(guān)鍵.變式10－3－238.已知、是方程的兩個(gè)實(shí)根，求的值．【答案】【解析】【分析】由方程的解與根與系數(shù)的關(guān)系可得：再把降次為，再變形，整體代入計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：、是方程的兩個(gè)實(shí)根，【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握降次的思想是解題的關(guān)鍵.方法十一：利用分式的基本性質(zhì)求值例1139.已知,求的值.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由可得：代入式子中化簡即可.試題解析：∵,∴=3y.∴.例11－140.先化簡，再求值：·(m－n)，其中＝2.【答案】原式==5.【解析】【詳解】【試題分析】先將分母進(jìn)行因式分解，再約分化簡，最后代入即可.·(m－n)＝·(m－n)＝.因?yàn)椋?，所以m＝2n.所以原式＝＝5.【試題解析】·(m－n)＝·(m－n)＝.因?yàn)椋?，所以m＝2n.所以原式＝＝5.【方法點(diǎn)睛】本題目是一道分式的化簡求值，方法是：先將每個(gè)式子進(jìn)行因式分解，再約分，化簡.方法十二：利用消元法求值若已知條件以比值的形式出現(xiàn)，則可利用比例的性質(zhì)設(shè)比值為一個(gè)參數(shù)，或利用一個(gè)字母來表示另一個(gè)字母．例1241.如果，則=()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【詳解】由題意可知，，因此，故選C變式12－142.若，則的值是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由已知得到，再代入原式計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，由已知得到再代入計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式12－243.已知，求和值．【答案】，【解析】【分析】由可得，，再代入求值即可.【詳解】解：∵，∴，．∴，．【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握利用含有一個(gè)字母的代數(shù)式表示另外一個(gè)字母是解題的關(guān)鍵.變式12