福建省泉州市第六中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中模塊測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁泉州六中2023-2024學(xué)年下學(xué)期高一年數(shù)學(xué)科期中模塊測(cè)試滿分：150考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D2.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB不平行于平面MNQ的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用線面平行的判定方法逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，則，因?yàn)?，分別為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?duì)于B，如圖連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?duì)于C，如圖，連接，則，因?yàn)椋謩e為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，?duì)于D，如圖取底面中心，連接，由于為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得，因?yàn)榕c平面相交，所以與平面相交，故選：D．3.如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A.B.C.四邊形的周長(zhǎng)為D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長(zhǎng)以及相關(guān).【詳解】如圖可知，四邊形的周長(zhǎng)為，四邊形的面積為.故選:D.4.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ?，即，解?故選：A5.已知平面，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面垂直即可求證面面垂直，即可說明充分性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，即可利用線面垂直的判斷求證必要性.【詳解】由于，所以，若，則，，故充分性成立，若，，設(shè)，，則存在直線使得，所以，由于，故，同理存在直線使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，故必要性成立，故選：C6.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上是邊長(zhǎng)為的正三角形，則球的表面積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用外接球和三棱錐關(guān)系求出球的半徑，計(jì)算即可.【詳解】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，如圖所示：取BC的中點(diǎn)D，點(diǎn)H為底面的中心，所以設(shè)外接球的半徑為R，所以，利用勾股定理可得，解得則球的表面積為故選：B.7.在平行四邊形中，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，?故選：A8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”.約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長(zhǎng)寬高皆為八分之一正方體的邊長(zhǎng)的倒四棱錐“等冪等積”，計(jì)算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，所以，故選B．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】解方程求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、模的意義及復(fù)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】方程，化，解得或，由復(fù)數(shù)，滿足，不妨令，，對(duì)于A，顯然復(fù)數(shù)，互為共軛復(fù)數(shù)，即，A正確；對(duì)于B，，而，則，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，D正確.故選：ABD10.已知向量，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.是與夾角是銳角充要條件C.向量與向量的夾角是D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得向量，由不共線，可判定A正確；根據(jù)向量平行時(shí)，求得，可判定B錯(cuò)誤；由向量的夾角公式，可判定C正確；根據(jù)投影向量的計(jì)算方法，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得，所以，可得不共線，故A正確；因?yàn)橄蛄?，，由，解得；又由?dāng)平行時(shí)，可得，解得，所以B錯(cuò)誤；由，因?yàn)?，故向量與向量的夾角是，所以C正確；有向量在向量上的投影向量為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖所示，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，其中AB＝8，把△ADE沿著DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B為60°，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.點(diǎn)A'到平面BCED的距離為3B.直線A'D與直線CE所成的角的余弦值為C.A'D⊥BDD.四棱錐A'-BCED的外接球半徑為【答案】ABD【解析】【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延長(zhǎng)AM交BC于N,連接A'M,A'N.利用線面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理得到到平面面BCED的高A'H,并根據(jù)二面角的平面角，在直角三角形中計(jì)算求得A'H的值，從而判定A;根據(jù)異面直線所成角的定義找到∠A'DN就是直線A'D與CE所成的角，利用余弦定理計(jì)算即可判定B;利用勾股定理檢驗(yàn)可以否定C;先證明底面的外接圓的圓心為N,在利用外接球的球心的性質(zhì)進(jìn)行得到四棱錐A'-BCED的外接球的球心為O,則ON⊥平面BCED,且OA'=OC,經(jīng)過計(jì)算求解可得半徑從而判定D.【詳解】如圖所示，作AM⊥DE，交DE于M,延長(zhǎng)AM交BC于N,連接A'M,A'N.則A'M⊥DE,MN⊥DE,,∵∩MN=M∴CD⊥平面A'MN,又∵CD?平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,在平面A'MN中作A'H⊥MN,則A'H⊥平面BCED,∵二面角A'-DE-B為60°，∴∠A'EF=60°，∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=23,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正確；連接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,∠A'DN就是直線A'D與CE所成的角，DN=DA'=4,A'N=A'M=23,cos∠A'DN=,故B正確；A'D=DB=4,A'B=,∴,∴A'D與BD不垂直，故C錯(cuò)誤’易得NB=NC=ND=NG=4，∴N為底面梯形BCED的外接圓的圓心，設(shè)四棱錐A'-BCED的外接球的球心為O,則ON⊥平面BCED,且OA'=OC,若O在平面BCED上方，入圖①所示：設(shè)ON=x,外接球的半徑為R,過O作A'H的垂線，垂足為P,則HP=x,易得,解得,舍去；故O在平面BCED下方，如圖②所示：設(shè)ON=x,外接球的半徑為R,過O作A'H的垂線，垂足為P,則HP=x,易得,解得,∴,,故D正確.故選:ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的折疊問題，涉及二面角問題，異面直線所成的角，用到線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及外接球的球心的性質(zhì)和有關(guān)計(jì)算，余弦定理等，屬綜合性較強(qiáng)的題目，關(guān)鍵是利用線面垂直，面面垂直的判定和性質(zhì)進(jìn)行空間關(guān)系和結(jié)構(gòu)的判定，注意球心在四棱錐的底面上方和下方的討論與驗(yàn)證.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若兩個(gè)非零向量，滿足，則與的夾角為______．【答案】##【解析】【分析】由向量和與差的模相等可確定向量、相互垂直，且得到，最后運(yùn)用向量夾角公式求解即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，則，變形得，所以且，則，故，又，則.故答案為:.13.在中，，的角平分線交BC于D，則_________．【答案】【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫?，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)椋?，，又，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．14.已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合，設(shè)二面角的大小為，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】過作于，利用直棱柱性質(zhì)知⊥側(cè)面，連接，過作于，連接，根據(jù)三垂線定理得，且，設(shè)，在直角中，求出；在直角中，求出，進(jìn)而可得的最小值．【詳解】（Ⅰ）過作于，連接，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面⊥側(cè)面，∴⊥側(cè)面連接，過作于，連接，根據(jù)三垂線定理得∴是二面角的平面角即設(shè)，則，在直角中，，在直角中，故，又，∴故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，此時(shí)與重合故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，解題時(shí)要利用二面角的定義找到是二面角的平面角，再構(gòu)造的函數(shù)，進(jìn)而求得最小值，考查學(xué)生的空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于較難題.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知，，與的夾角為．（1）求；（2）若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得數(shù)量積，再求向量的模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合（1）中所求，即可求得參數(shù)值.【小問1詳解】根據(jù)題意，，又.【小問2詳解】根據(jù)題意，，即，，解得.16.如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為2cm，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3cm，4cm，5cm.（1）以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積；（2）求該三棱柱的外接球的表面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出三棱柱的體積，得到的內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而去除圓柱的體積，相減即可答案；（2）將三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.【小問1詳解】因?yàn)榈酌嫒切蔚倪呴L(zhǎng)分別為3cm，4cm，5cm，所以底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm，4cm，又因?yàn)槿庵膫?cè)棱垂直于底面，其高為2cm，所以.設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則，圓柱體積.所以剩下的幾何體的體積.【小問2詳解】由（1）直三棱柱可補(bǔ)形為棱長(zhǎng)分別為3cm，4cm，2cm的長(zhǎng)方體，它的外接球的球半徑滿足，即.所以，該直三棱柱的外接球的表面積為.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角A；（2）已知，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線段AC上且，點(diǎn)P為AM與BN的交點(diǎn)，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角并化簡(jiǎn)得，根據(jù)角的范圍，則可求出其大??；（2）由向量運(yùn)算得，展開代入數(shù)據(jù)即可得到其值，再分別計(jì)算出和，利用向量夾角公式即可.【小問1詳解】則由正弦定理得化簡(jiǎn)得：，,，則，，，即.【小問2詳解】，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，，，，.即的余弦值為.18.在中，角所對(duì)的邊分別為平分，且．（1）求；（2）求的外接圓和內(nèi)切圓的面積之比．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)定理結(jié)合正余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求外接圓半徑，利用等面積法求內(nèi)切圓半徑即可【小問1詳解】在中，，．，即則，平分，,且由正弦定理得：,,.即．在中，由余弦定理得，聯(lián)立得，得.【小問2詳解】易知外接圓的半徑。設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，的外接圓與內(nèi)切圓的面積之比為.19.如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）要證明線面平行，根據(jù)判斷定理，需證明線線平行，做輔助線，連接，交于，再連接，證明，即可證明；（Ⅱ）點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離的2倍，利用，即上任何一個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，通過做輔助線轉(zhuǎn)化.【詳解】（Ⅰ）連接，交于，再連接因?yàn)椋?/p>