初中數(shù)學(xué)必會幾何模型精講精練之相似三角形常見模型

初中數(shù)學(xué)常見幾何模型精講精練相似三角形常見模型模型一A字型8字型【結(jié)論1】如圖所示，在中，點D在上，點E在上，，則，．【結(jié)論2】如圖所示，在中，點D在的延長線上，點E在的延長線上，，則，．總結(jié)：A字型、8字型的特點是它的對應(yīng)邊、對應(yīng)角和對應(yīng)頂點明顯易見，并且具有相同的順序性．模型拓展例11.如圖，在中，，則的長為（）．A. B.8 C.10 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定證得，可得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵∥，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴．∵，∴，又∵，∴．∴在中，．故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、比例性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．例22.如圖，在ABCD中，E為BC中點，連接AE交對角線BD于F，BF=2，則FD等于()A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】先求，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解.【詳解】∵在?ABCD中，E為BC中點，∴AD＝BC，，2BE＝BC＝AD，∴，∴，即，.故選C．【點睛】此題重點考察學(xué)生對相似三角形的判定的理解，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.變式13.如圖，△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點O，AO與DE，BC交于點N、M，則下列式子中錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴，，，所以A、B、C正確；∵DE∥BC，∴△AEN∽△ACM，∴，∴，所以D錯誤．故選D．點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊成比例．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．變式24.如圖，中，點，分別在，上，，若，，則與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，易得，利用相似三角形的性質(zhì)，即可．【詳解】，，，，，，，．故選擇：D．【點睛】本題考查相似三角形的面積比問題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，會用方法證明兩個三角形相似，掌握相似三角形的性質(zhì)，會利用性質(zhì)解決對應(yīng)線段比、周長比，面積比等問題．模型二射影定理【結(jié)論】（公共邊平方＝共線邊乘積）．總結(jié)：一條線段出現(xiàn)在兩個相似（不全等）的三角形內(nèi)，那么這條線段的平方等于共線的兩條線段的乘積．（公共邊的平方等于共線的兩條線段的乘積，記住這點，做題將會事半功倍．）其他的射影定理模型（1）在正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．例35.如圖，在中，，是邊上的高．（1）若，則________；（2）若，則________；（3）若，則________．【答案】①.4②.③.【解析】【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD，再利用勾股定理求解即可；（3）先利用勾股定理求得AD，再證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；【詳解】解：（1）∵在中，，是邊上的高．∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=4，故答案為：4；（2）由（1）知△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=，故答案為：；（3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，由勾股定理得：AD=，由（1）中△ADC∽△ACB，∴，即，解得：BC=，經(jīng)檢驗，BC=，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解分式方程、解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．變式36.如圖，在中，，則的長是（）．A. B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明，從而可得CD2＝BD?AD，代入求值即可．【詳解】解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴，∴，∴CD2＝BD?AD=9×4＝36，∴CD＝6（舍去負(fù)值）．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“母子相似圖”模型是解題的關(guān)鍵．模型三一線三等角【結(jié)論1】如圖所示，點B，C，D在同一條直線上，，則，（豎邊×豎邊＝橫邊×橫邊）．【結(jié)論2】如圖所示，點B，C，D同一條直線上，，則（豎邊×豎邊＝橫邊×橫邊）．模型圖解其他常見的一線三等角圖形例47.如圖，已知在梯形中，，且，P為上的一點，，求的長．【答案】1或4【解析】【分析】根據(jù)題意可證，得出比例關(guān)系式，進(jìn)而求出AP的長．【詳解】∵在梯形中，，∴．又∵，，∴，∴．∴．設(shè)，則，∴，解得或4.∴或4．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”相似三角形模型，是解題的關(guān)鍵．總結(jié)：一線三等角模型應(yīng)用的四種情況：1.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；2.圖形中存在“一線二等角”，再構(gòu)造“一個等角”，利用模型解題；3圖形中只有直線上一個角，再構(gòu)造“兩個等角”，利用模型解題；4.圖形中只有角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線三等（直）角”，利用模型解題．變式48.如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB=9，BD=3，則CF等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【詳解】試題分析：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故選B．考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)．變式59.如圖，菱形ABCD的四個頂點分別在雙曲線y＝和y＝上，且對角線相交于原點O，BD＝2AC．平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點E，F(xiàn)，則OEF的面積為_____．【答案】5【解析】【分析】作軸于，軸于，易證得，根據(jù)系數(shù)三角形的性質(zhì)即可求得的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求得的面積．【詳解】解：作軸于，軸于，四邊形是菱形．，，，，，，，，，點在雙曲線，，，，，，點在雙曲線上，，，平行于軸的直線與兩雙曲線分別交于點，，，故答案為5．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建相似三角形求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．模型四旋轉(zhuǎn)相似【結(jié)論1】如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形相似．【結(jié)論2】如圖所示，，則，，且．例510.如圖，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)任意角度得到△AB'C'，連接BB'、CC'，則BB'：CC'等于（）A.AB：AC B.BC：ACC.AB：BC D.AC：AB【答案】A【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，則可判斷△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性質(zhì)可對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴．故選A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．變式611.如圖1，是等腰直角三角形，，D，E分別為，上的點，且，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖2），則的值為______．【答案】【解析】【分析】先證明△DAB∽△EAC，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，∴△AED是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∵把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠EAC＝∠DAB，又∵，∴△DAB∽△EAC，∴=，故答案為：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形．變式712.如圖，在正方形和正方形中，連接，則的值為（）．A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接BD，BF，先證明，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接BD，BF，∵在正方形和正方形中，∴，，∠ABD=∠GBF=45°，∴=，∠ABG=∠DBF，∴，∴=，故選C．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似模型，是解題的關(guān)鍵．實踐練13.如圖，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，則DE的長是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】由DE∥BC，可以判斷△ADE∽△ABC，根據(jù)AD：BD＝1：3即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵BD＝3AD，∴AD：BD＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵BC＝12，∴DE＝3，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A.3：4 B.9：16 C.9：1 D.3：1【答案】B【解析】【分析】可證明△DFE∽△BFA，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故選B．15.如圖，在平行四邊形中，點在上，連接并延長與的延長線交于點，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由邊形是平行四邊形，可得，即可證得，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．【詳解】四邊形是平行四邊形，

，

，

，

，

．

故選D．【點睛】此題考查的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16.如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點分別在上，交于點，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴．設(shè)AN=x，則EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20

所以，AN=20．故選：B．【點睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運用是解題關(guān)鍵．17.如圖，在正方形中，E為的中點，G，F(xiàn)分別為，邊上的點．若，則的長為（）．A.2 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF=90°，得△AGE∽△BEF，又由E為AB的中點，AG=2，BF=3，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，由此即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠AGE+∠AEG=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠AEG+∠BEF=90°，

∴∠AGE=∠BEF，

∴△AGE∽△BEF，∵E為AB的中點，

∴AE=BE，

∵解得：，

故選：B【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18.把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對圖上各邊標(biāo)上字母，由題意可證得△ADH∽△GCH，利用相似三角形對應(yīng)線段成比例可知，可求得陰影部分面積的高DH，進(jìn)而求得陰影部分面積.【詳解】∵∠CHG=∠DHA，∠HCG=∠ADH∴△ADH∽△GCH∴即解得DH=∴陰影部分面積=1××=【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求陰影部分的面積，解本題的關(guān)鍵是求得陰影部分的高進(jìn)而即可解題.19.如圖，將矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上的F處．已知，則（）A.13 B.12 C.11 D.10【答案】B【解析】【分析】利用折疊的性質(zhì)得DE＝EF=5，從而得CF＝3，再證明，列出比例式，即可求解．【詳解】解：∵在矩形中，AB=CD=9，由折疊的性質(zhì)知：AD＝AF，DE＝EF＝9?4＝5，∵在Rt△CEF中，EF＝5，CE＝4，∴CF＝，∵∠B=∠C=90°，∠AFE=90°，∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴，∴，即：，解得：BF=12．故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形得的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．20.如圖，直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為（）A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=【答案】C【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進(jìn)而得出S△AOD=3，即可得出答案．【詳解】過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵=tan30°=，∴，∵×AD×DO=xy=3，∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：y=﹣．故選C．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)數(shù)的幾何意義，正確得出S△AOD=2是解題關(guān)鍵．21.如圖所示，O為四邊形的邊的中點，，則的長是（）．A. B.6 C. D.17【答案】C【解析】【分析】先證明，從而得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，∠B+∠BCO=∠AOC=∠DOC+∠AOD，∴∠BCO=∠AOD，又∵，∴，∴，即：∵O為邊的中點，∴AO2=8×9=72，∴AO=6（負(fù)值舍去），∴AB=12．故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”相似三角形模型，是解題的關(guān)鍵．22.如圖，，交于點O，有下列三個結(jié)論：①，②，③．則一定成立的有（）．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷①和②，再根據(jù)相似三角形的判定判斷③即可．【詳解】解：①∵，∴∠BAC=∠DAE，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠1=∠2，故①成立；②∵，∴BC=DE，故②成立，③∵，∴AB=AD，AC=AE，∴，又∠1=∠2，∴，故③成立，綜上，一定成立的有①②③共3個，故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解答的關(guān)鍵．23.如圖所示，在中，，，在中，，點P在上，交于點E，交于點F．當(dāng)時，的值為（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】過P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，證明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC證得△AQP∽△ABC，得到，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解決問題．【詳解】解：∵在中，，，∴AC=，過P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，則∠PQB=∠PHB=∠B=90°，∴四邊形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線是解答的關(guān)鍵．24.如圖，在中，，點是邊上的一點，于，則邊的長為_____．【答案】4.【解析】【分析】根據(jù)射影定理列式計算即可．【詳解】由射影定理得，，解得：，故答案為．【點睛】本題考查的是射影定理，直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．25.如圖，已知直角中，是斜邊上的高，，，則_______．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)射影定理列式計算即可．【詳解】解：在中，，由射影定理得，，∴，故答案為．【點睛】本題考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．26.如圖，正方形ABCD中，，點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作，交CD于點Q，則CQ的最大值為_______．【答案】4【解析】【分析】先證明，得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)，則，代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．【詳解】解：又設(shè)，則．，化簡得，整理得，所以當(dāng)時，y有最大值為4．故答案為4．【點睛】考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值問題，幾何最值用二次函數(shù)最值求解考查了樹形結(jié)合思想．27.如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且AE⊥BF，垂足為G．（1）求證：AE＝BF；（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的邊長．【答案】（1）見解析；（2）正方形的邊長為.【解析】【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA證得△ABE≌△BCF即可得出結(jié)論；（2）證出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EG?AE，設(shè)EG＝x，則AE＝AG+EG＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥BF，垂足為G，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE與△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°，∵∠BEG＝∠AEB，∴△BGE∽△ABE，∴＝，即：BE2＝EG?AE，設(shè)EG＝x，則AE＝AG+EG＝2+x，∴（）2＝x?（2+x），解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合題意舍去），∴AE＝3，∴AB＝＝＝．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)練28.（1）如圖1，菱形的頂點、在菱形的邊上，且，請直接寫出的結(jié)果（不必寫計算過程）（2）將圖1中的菱形繞點旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2，求；（3）把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且，此時的結(jié)果與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計算過程）；若無變化，請說明理由．【答案】（1）；（2）（3）有變化，【解析】【分析】（1）連接，由菱形的頂點、在菱形的邊上，且，易得，，共線，延長交于點，延長交于點，連接，交于點，則也為菱形，利用菱形對角線互相垂直，結(jié)合三角函數(shù)可得結(jié)論；（2）連接，，由和都是等腰三角形，易證與與，利用相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）連接，，易證和，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）連接，∵菱形的頂點、在菱形的邊上，且，，，，，，共線，，，延長交于點，延長交于點，連接，交于點，則也為菱形，，，，∵，，∵為平行四邊形，，．（2）如圖，連接，，∵和都是等腰三角形，，，，，，∵，，在和中，，．（3）有變化．如圖，連接，，∵，，，，，，，，，，，，，【點睛】本題是菱形與相似三角形，全等三角形，三角函數(shù)等知識點的綜合運用，難度較大．29.已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．

（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．證明△AHF≌△FJD（SAS），可得結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：．證明△AHF∽△FJD，可得結(jié)論；（3）如圖③中，結(jié)論：，證明方法類似（2）．【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如圖②中，結(jié)論：．理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如圖③中，結(jié)論：，理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°-α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．【點睛】本題屬于三角形綜