陜西省榆林市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由傾斜角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，由于，所以.故選：D.2.若直線是圓的一條對稱軸，則該圓圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，直線經(jīng)過圓的圓心，由此求出，進(jìn)而可知圓心的坐標(biāo).【詳解】對圓進(jìn)行配方可得：，圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對稱軸，所以直線經(jīng)過圓心，所以，解得，故圓心為，故選：C.3.“直線與直線平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求解平行的充要條件，要討論直線的斜率是否存在，再進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由直線與直線化簡為：直線與直線平行，這顯然是成立的，再當(dāng)時(shí)，由直線與直線平行轉(zhuǎn)化為：直線與直線平行，則，解得，所以直線與直線平行的充要條件是或，根據(jù)“”能推出“或”，反之，“或”不能推出“”，所以“直線與直線平行”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知橢圓：與雙曲線：（，）的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)橢圓的離心率求雙曲線的離心率，再根據(jù)的關(guān)系求雙曲線的漸近線方程.【詳解】橢圓：中，設(shè)長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則，，，所以橢圓的離心率，所以雙曲線的離心率，即，所以雙曲線漸近線方程.故選：A5.過拋物線：焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若是正三角形，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先由是正三角形得到直線的傾斜角是，即可得到直線的方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，得到，根據(jù)拋物線定義可得結(jié)果.【詳解】由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的傾斜角為，由圖，根據(jù)是正三角形，有，又F1,0，所以，聯(lián)立，得，設(shè)，則，由拋物線的定義，.故選：B.6.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A.2 B. C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】由橢圓的定義結(jié)合均值不等式即可求解.【詳解】根據(jù)橢圓的定義，有，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最大值為4.故選：C.7.已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列出不等式求解即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，由解得，則直線與的交點(diǎn)為，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B8.若橢圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，則該橢圓的離心率不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圓與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)，再分情況討論，結(jié)合橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】在中，令，則，令，則或3，故圓與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為1,0，，，又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，①若橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為1,0或，則，或3，則或，離心率或；②若橢圓的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為1,0，則，，離心率.綜上所述，該橢圓的離心率為或或.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可能是（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出相應(yīng)的的取值范圍，可得ABD正確，再根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可C錯(cuò)誤.【詳解】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知當(dāng)且時(shí)，即且，也即時(shí)，曲線是橢圓，即A正確；由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知當(dāng)時(shí)，即時(shí)，曲線是雙曲線，即B正確；由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，曲線不可能是拋物線，即C錯(cuò)誤；根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，當(dāng)，可得，此時(shí)曲線是圓，即D正確.故選：ABD10.若圓：與圓：的交點(diǎn)為，，則（）A.公共弦所在直線方程為B.線段中垂線方程為C.過點(diǎn)0,2作圓：的切線方程為D.若實(shí)數(shù)，滿足圓：，則的最大值為2【答案】ACD【解析】【分析】圓和圓方程作差可判斷A；線段中垂線即為直線，直接求解可判斷B；通過點(diǎn)在圓上，直接寫出切線方程可判斷C；令，代入圓的方程，通過方程有解判斷D；【詳解】圓：的圓心，圓：的圓心，兩圓方程相減可得：，即公共弦所在直線方程為，故A正確；線段中垂線即為直線，所以方程為：，化簡可得：，故B錯(cuò)；點(diǎn)在圓：上，所以切線與圓心和切點(diǎn)的連線垂直，切線斜率為：，故切線方程為，即，C正確.令，則，代入得，整理得，方程有解，故，解得，則的最大值為，D正確；故選：ACD11.已知雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知、分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)Ax0,y0（）作雙曲線的切線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（）A.雙曲線的離心率為B.直線的方程為C.過點(diǎn)作，垂足為，為原點(diǎn)，則D.四邊形面積的最小值為6【答案】AC【解析】【分析】對于A，用離心率的計(jì)算公式即可求解；對于B，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，由判別式等于0可求出斜率，進(jìn)而可知直線的方程；對于C，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,平分，進(jìn)而垂直平分，利用三角形中位線及雙曲線的定義即可求解；對于D，求出的坐標(biāo)，，結(jié)合不等式即可求解面積的最小值.【詳解】對于A，,故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,消去y整理得：，,化簡整理得，又因?yàn)?，代入上式并化簡得：，因?yàn)樗苑匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)根，解得，所以直線的方程為,即，故B錯(cuò)誤；對于，由雙曲線光學(xué)性質(zhì)可知,平分，延長與的延長線交于點(diǎn)E，則垂直平分,即為的中點(diǎn)，又是中點(diǎn),所以，故C正確;對于D，由直線的方程為，令x=0,得,則，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立，所以四邊形面積的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線：與直線：間的距離是______.【答案】##【解析】【分析】由兩平行直線間的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€：，即，直線：，則兩直線間的距離為.故答案為：13.設(shè)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】6【解析】【分析】過作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，根據(jù)拋物線的定義可得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，小值．【詳解】拋物線，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如圖，過作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小值為．故答案為：．14.如圖，半徑為1的圓與軸和軸都相切.當(dāng)圓沿軸向右滾動，圓滾動到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)，記此時(shí)圓心為；當(dāng)圓沿軸向上滾動，圓滾動到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)，記此時(shí)圓心為.若直線與圓和圓都相切，且與圓相離，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓和圓的公切線方程，再確定其中與圓相離的即得答案.【詳解】依題意，圓，圓，圓，，即圓和圓相離，它們有4條公切線，兩條內(nèi)公切線分別為和，直線和都與圓相切，不符合題意；由圓和圓是等圓，得圓和圓的兩條外公切線都與直線平行，由，得外公切線的斜率，設(shè)方程為，于是，解得或，當(dāng)時(shí)，切線，點(diǎn)到此直線距離，直線與圓相離，當(dāng)時(shí)，切線，點(diǎn)到此直線距離，直線與圓相交，所以直線的方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線過定點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點(diǎn)斜式方程即可得解；（2）按直線l是否過原點(diǎn)分類討論計(jì)算作答.【小問1詳解】，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為2．又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線方程為，即．【小問2詳解】直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸截距相等，所以設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為．綜上，直線的方程為或．16.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)，，.（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)D1,4的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的一般式，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的方程；（2）分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況，由垂徑定理得到方程，求出直線方程.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，將，，代入得，解得，故圓的方程為；【小問2詳解】，故圓的圓心為，半徑為2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)圓心到的距離，，滿足要求；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，圓心到的距離，由得，故，解得，故直線的方程為，即，故直線的方程為或.17.已知雙曲線：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1，離心率為.設(shè)直線交雙曲線的右支于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為原點(diǎn).（1）求雙曲線方程；（2）求直線的方程；（3）求的面積.【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離即可求出，結(jié)合離心率可以求出；（2）中點(diǎn)弦問題利用點(diǎn)差法求解即可；（3）運(yùn)用弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，再利用三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】不妨設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，雙曲線的一條漸近線為，即，依題意，結(jié)合，化簡得，又離心率，所以所以雙曲線C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，由題意得，又，，兩式相減得，所以，又直線l過點(diǎn),所以直線l的方程為,即，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意.【小問3詳解】聯(lián)立，消去y得，所以，所以，又點(diǎn)到直線l的距離，所以的面積.18.已知拋物線：，過點(diǎn)（）的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在正數(shù)，使得，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出的值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用的坐標(biāo)表示出，由此可得關(guān)于的方程，求解出結(jié)果即可.【小問1詳解】由題意可知直線斜率不為，所以設(shè)，聯(lián)立，可得，所以，，且恒成立，因?yàn)椋?，所以，所以，解?小問2詳解】連接，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋瑨佄锞€準(zhǔn)線方程，所以，且，所以，所以，所以，所以，顯然，所以，綜上所述，存在滿足條件.19.已知橢圓：（）過的三個(gè)頂點(diǎn)，，，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若的平分線垂直于軸，求證：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】