福建省平和廣兆中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年（上）廣兆中學(xué)高三年期中考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題卷上.2.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦干凈.3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，，答案寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效.選擇題部分（共58分）一、選擇題：共本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A.2 B.1 C. D.3.若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則以下可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B. C.2025 D.20248.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的為（）A. B.的最小正周期C.有4個(gè)零點(diǎn) D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則10.設(shè)函數(shù)，則（）A.的圖象有對(duì)稱(chēng)軸 B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)11.若點(diǎn)是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則（）A.對(duì)任意點(diǎn)A，存在無(wú)數(shù)點(diǎn)B，使曲線(xiàn)在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)的傾斜角相等B.當(dāng)函數(shù)存在極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為C.當(dāng)且在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)都過(guò)原點(diǎn)時(shí)，D.當(dāng)直線(xiàn)的斜率恒小于1時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則______.13.若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則______.14.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意的，滿(mǎn)足，，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若為等腰三角形且腰長(zhǎng)為2，求的底邊長(zhǎng).16.（15分）如圖，在三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)，，和平面所成的角為，求點(diǎn)D到平面的距離.17.（15分）已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍.18.（17分）已知和為橢圓C：上兩點(diǎn).（1）求橢圓C的離心率；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)（D，E不在x軸上）.（i）若的面積為，求直線(xiàn)的方程；（ii）直線(xiàn)和分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值.19.（17分）已知正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上有一個(gè)數(shù).定義一個(gè)變換T，其將正n邊形每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)變換成相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的平均數(shù)，比如：記n個(gè)頂點(diǎn)上的n個(gè)數(shù)順時(shí)針排列依次為，則，為整數(shù)，，，.設(shè)（共n個(gè)T，表示n次變換）（1）若，，，求，，，；（2）對(duì)于正邊形，若，，證明：；（3）設(shè)，，，證明：存在，使得不全為整數(shù).

廣兆中學(xué)高三期中考試數(shù)學(xué)試卷及答案選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1-8ADBCBCAD9.AB10.ABD11.ACD12.11；13.16；14.1.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：A.2.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算化簡(jiǎn)得到復(fù)數(shù)z，再求模長(zhǎng).【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D.3.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件概念，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】考慮條件.這意味著a和b要么相等，要么互為相反數(shù).考慮等式.由于是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)且僅當(dāng).如果，那么必然成立.但是，如果，a和b可以互為相反數(shù)，此時(shí)不一定成立.因此，我們得出結(jié)論：是的必要不充分條件.故選：B.4.【答案】C【分析】直接解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，即，解得；當(dāng)時(shí)，若，即，解得.所以的取值范圍為.5.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得的值，再將弦化切，即可求解.【詳解】由得，即，解得，所以，故選：B.6.【答案】C【解析】【分析】由圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正根，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，由圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正根，則，可得.7.【答案】A【分析】根據(jù)累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可得答案.【詳解】由題意可得，累加可得，，所以，故.8.【答案】D【分析】對(duì)于A：根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和奇偶性分析可得，進(jìn)而可得周期性；對(duì)于C：分別作出，的圖象，結(jié)合圖象分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)于A：由題意可得：，解得，故A正確；對(duì)于B：∵是偶函數(shù)，則，則，又∵為奇函數(shù)，則，可得，∴，則的最小正周期，故B正確；對(duì)C：令，則，注意到此時(shí)，分別作出，的圖象，由圖象可知：，有4個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：∵，，則，，可得，故D不正確.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】AB【解析】【分析】運(yùn)用平面向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算，根據(jù)向量平行或垂直列等式求參數(shù)即可求解.【詳解】解：向量，A.，故正確，符合題意；B.，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；C.若，則，解得，故錯(cuò)誤，不符合題意；D.若，則，解得，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：AB.10.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)由偶函數(shù)得到y(tǒng)軸是其中一條對(duì)稱(chēng)軸；B選項(xiàng)用周期的定義找到其中一個(gè)周期為；C選項(xiàng)通過(guò)兩個(gè)特殊點(diǎn)函數(shù)值的大小判定函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)遞增；D選項(xiàng)由中心對(duì)稱(chēng)的定義驗(yàn)證是否成立即可.【詳解】∵，∴是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；∵，∴是函數(shù)的一個(gè)周期，故B正確；，∵，，顯然，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).故選：ABD.11.【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)A，B處導(dǎo)數(shù)值相同，由方程有無(wú)數(shù)解可得；選項(xiàng)B，由函數(shù)存在極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)存在變號(hào)零點(diǎn)，分離參數(shù)，即可判斷；選項(xiàng)C，由切線(xiàn)斜率的兩種求法建立等量關(guān)系可得；選項(xiàng)D，轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立可求.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，要使，則，得，，所以，，即對(duì)任意，x的值有無(wú)數(shù)個(gè)，故A正確：對(duì)于B，，令，則，且，則，即，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線(xiàn)在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)都過(guò)原點(diǎn)，由，則點(diǎn)A，B均不與原點(diǎn)重合，設(shè)曲線(xiàn)在處切線(xiàn)的斜率為，則，由切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則切線(xiàn)即直線(xiàn)的斜率，所以，化簡(jiǎn)得，若時(shí)，則，這與矛盾，故，所以有，同理可得，所以由，得，故C正確.對(duì)于D，對(duì)于任意點(diǎn)A，B，直線(xiàn)的斜率恒小于1，則，即，所以在上是減函數(shù)，所以恒成立，設(shè)，，且，所以要使恒成立，則，即，故D正確；故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】11【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公式求解公差d，即可得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，解得，所?13.【答案】2【分析】由題可得曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)，然后設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，利用兩條切線(xiàn)相同可得答案.【詳解】設(shè)，則，，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，化為.設(shè)，則，又設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，由題，得，解得，則切點(diǎn)為.因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線(xiàn)上，則.14.【答案】【詳解】∵對(duì)任意的，滿(mǎn)足，，∴，∴.∴.答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角化簡(jiǎn)可得B；（2）分別討論當(dāng)B為頂角和B為底角時(shí)的底邊長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∵，∴【小問(wèn)2詳解】當(dāng)B為頂角，則底邊，∴，當(dāng)B為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長(zhǎng)為或.16.【詳解】（1）解法一：取的中點(diǎn)P，連接，.因?yàn)?，N分別是，的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，又，且平面，從而平面，又平面，所以.解法二：因?yàn)?，，，，平面，所以平?過(guò)點(diǎn)B在平面內(nèi)作，因?yàn)?，所?故可以B為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)，，為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.設(shè)，，，則，，，，.從而，.因?yàn)?，所?（2）解法一：因?yàn)?，，，平面，所以平面，即的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離.同理可得平面，進(jìn)而有.連接（圖參考第一問(wèn)法一），易知.在中，.因?yàn)?，所以平面，故是和平面所成的角，即，且，于?故點(diǎn)D到平面的距離為.解法二：因?yàn)?，，，，平面，所以平?過(guò)點(diǎn)B在平面內(nèi)作，因?yàn)?，所?故可以B為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)，，為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖參考第一問(wèn)法二）.設(shè)，，，則，，，，.從而，易知是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)楹推矫嫠傻慕菫?，所以，?在中，，在中，，即，解得.因?yàn)?，，，平面，所以平面，即的長(zhǎng)為點(diǎn)D到平面的距離.故點(diǎn)D到平面的距離為.17.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式，得出增減區(qū)間；（2）求導(dǎo)函數(shù)，得到增減區(qū)間，求得最小值；由題意建立不等式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求得單調(diào)區(qū)間得最小值再建立不等關(guān)系，得到范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，∴時(shí)，，時(shí)，；∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】∴時(shí)，，時(shí)，∴又∵，∴令則，顯然單調(diào)遞減，且，∴必然存在唯一使得當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減由于時(shí)，，成立當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，因此成立綜上，成立的范圍為.18.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的點(diǎn)A和B在橢圓上，以及橢圓的離心率公式求出橢圓的離心率；（2）（i）借助韋達(dá)定理和面積公式計(jì)算即可；（ii）可借助韋達(dá)定理和圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓C的離心率為.【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）可知橢圓C的方程為，設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，與聯(lián)立得：.恒成立.所以，得，所以，直線(xiàn)的方程為：.（ii）由（i）可知，直線(xiàn)的方程為，令，得直線(xiàn)的方程為，令，得，記以為直徑的圓與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，由圓的弦長(zhǎng)公式可知，所以，為定值.19.【答案】（1），，，.（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）涉及到根據(jù)給定的變換規(guī)則進(jìn)行多次變換的計(jì)算，按照變換公式逐步計(jì)算即可.（2）需要利用假設(shè)和變換公式進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)公式，證明所有數(shù)相等.（3）運(yùn)用反證法，要結(jié)合整數(shù)整除性質(zhì)來(lái)證明存在這樣的m.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，的變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