2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽貴州賽區(qū)預(yù)賽試題解答

2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽貴州賽區(qū)預(yù)賽試題一、填空題(本大題共8小題，每小題8分，滿分64分)1．設(shè)集合A=x,y∣【詳解】由于圓心(0，0)到直線x+y=1的距離d所以集合C的子集的個(gè)數(shù)是4．2．已知z為虛數(shù)，且z2=z，則【詳解】z2=z?3．已知a,b是單位向量，3a+4b=4a?【詳解】3a+4b所以a+4．已知三棱錐P?ABC的三條側(cè)棱PA,PB,P-CA-B的大小分別為α,β,γ，【詳解】點(diǎn)P在平面ABC上的射影為△ABC的垂心，sin于是sin從而cos2所以sin25．△ABC的三邊分別為a,b,c，則ma2【詳解】由中線長公式4m則ma等號(hào)成立時(shí)a=b=c．所以6．設(shè)a,b∈N?，且滿足1a?【詳解】1?顯然a?2023=?1所以滿足題意的正整數(shù)對(duì)(a,b)有7對(duì)．7．已知函數(shù)fx=x3?2x2?3x+【詳解】設(shè)f?a,b,則a8．已知5名同學(xué)分別擅長的學(xué)科為語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、歷史，現(xiàn)有5份試卷(語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、歷史各一份)，老師隨機(jī)發(fā)給每名同學(xué)一份試卷，則至少有4名同學(xué)得到的試卷與自己擅長的學(xué)科不符的概率是_____．【詳解】在一個(gè)n個(gè)元素的排列中，若所有元素均不在自己原來的位置上，這樣的排列稱為原排列的一個(gè)錯(cuò)排，n個(gè)元素的錯(cuò)排數(shù)記為Dn考慮元素n，將它放到位置k，一共有n?1種選擇：若編號(hào)為k的元素放到位置n，則剩下n?2個(gè)元素的放置有Dn?2種方法；若編號(hào)為k的元素沒有放到位置n，則剩下n設(shè)Dn=n?N1???=?=因此Dn如D3回到原題，設(shè)A=“至少有4名同學(xué)得到的試卷與自己擅長的學(xué)科不符”所以PA二、解答題(本大題共3小題，滿分56分)9．設(shè)an是正項(xiàng)等差數(shù)列，公差為dd>0，前n項(xiàng)和為Sn,m,n,p,(1)am(2)Sm【詳解】(1)記a0=ama由于4mn?所以am(2)Sn=SmS由于2?所以Sm10．如圖，設(shè)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠BPC=求證：∠PBD【詳解】如圖，AB的中垂線交AC于點(diǎn)E，則∠BEC=2∠∠PAC=∠PDA?AC是圓APD的切線，延長EP于是E?∠EFB=∠所以∠BCA11．定義：若一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)，則稱這種數(shù)列為完方數(shù)列．已知數(shù)列xn滿足x0=0,x【詳