2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí) 解三角形（精練：基礎(chǔ)+重難點）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第25練解三角形（精練）

刷真題明導(dǎo)向

一、單選題

I.（2021?全國?高考真題）在以中，已知4=120。，AC=M，A13=2,則BC=（）

A.1B.V2C.75D.3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到關(guān)于5c長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】設(shè)A4=c,AC=〃,8C=〃，

結(jié)合余弦定理：〃=（/+/-2accos8可得：19=672+4-2xf/xcxcosl20,

即：H2+2t7-15=0,解得：。=3（〃=一5舍去），

故AC=3.

故選：D.

【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

⑴已知三角形的三條邊求三個角；

⑵已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

⑶已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形.

2.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第?題是測海島的高.如

圖，點￡,H,G在水平線4c上，和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱

為“表距”，GC和￡77都稱為“表目距”，GC與￡77的差稱為“表目距的差”則海島的高A8二（）

表高x表距表高x表距

表目距的差衣表日距的差

【答案】A

【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

【詳解】如圖所示：

DEEHCGCG-EHCG-EH

而CH=CE-EH=CG-EH+EG

~AB~~AH~~AC~AC-AH~CHf

CG-EHEGEG^表高x表距

即AB=+XDE=+DE=+表高.

CG-EHCG-EH表Fl距的差

故選：A.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式,圍繞所求目標進行轉(zhuǎn)化即可解出.

3.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）2020色12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：

m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點，且4,

&C在同一水平面上的投影A'I'C滿足N/TC7r=45。，NA5C=60。.由C點測得8點的仰角為15。，BB，與CC

的差為100；由B點測得A點的仰角為45。，則4,C兩點到水平面A'B'C的高度差A(yù)A-CC約為（出。1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得49,進而得到答案.

過。作C"_L89，過8作8O_L/VT,

故AA-CC'=BH)=A4'-BB'+100=AO+100,

由題，易知人力4為等腰直角三角形，所以4）=。笈.

所以/Vr-CC'=O8+100=48'+l00.

I（）（）

因為46=甘，所以CH=C*=嬴苻

在.4/TC中，由正弦定理得:

A'R'C'JV100100

sin450sin75°tan15°cos150sin15°,

-J6-V2

而sin150=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin300=-—

100x4x—

所以AB=2=100(6+1)a273,

V6-x/2

所以AA'-CC'=A'8'+100a373.

故選：B.

【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將/VT-CO的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為49+100.

二、填空題

4.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）記”8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,面積為G，B=60。，/+/=3知，

貝|JZ?=.

【答案】2&

【分析】由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，SABC=g訛sinB=^~ac=百，

所以。。=4,/+/=12,

所以從二片+。2-2公858=12—2x4xg=8,解得8=2立（負值舍去）.

故答案為：2日-

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在乂3c中，NBAC=60o,AB=2,BC=娓，/84C的角平分線交■于D,則4）=

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)等面積法求出A。；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出員C.即可根據(jù)二角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記A8=c,AC=Z?,8C=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃_2X2X〃XCOS60=6,

因為人0，解得；〃=1十百，

由SA8c=SA8D+SACO可得，

—x2x/?xsin60=—x2xy4Dxsin30+—xADx/?xsin30,

222

2頻+@

解得：AD=—=

3+6-

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+〃-2X2X）XCOS60=6,因為〃>0,解得：方=1+6，

由正弦定理可得，3L=_L_=上，解得：sinB=WM與，sinC=在，

sin60sinBsinC42

因為l+血，所以C=45,B=180-60-45=75,

又N8AD=3（『，所以NADB=75,BPAD=AB=2.

故答案為：2.

三，解答題

6.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）在ABC?角A及C所對的邊分別為。業(yè)。,已知sinA:sin8:sinC=2:1:叵,b=叵.

（I）求〃的值：

（II）求cosC的值；

（III）求sin（2C-￡|的值.

【答案】（D2拉；（ID（III）西一1

416

【分析】（D由正弦定理可得a:b:c=2:l:&，即可求出；

（II）由余弦定理即可計算；

（III）利用二倍角公式求出2c的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】（I）因為sinA:sin8:sinC=2:1由正弦定理可得q：力:c=2:l:夜,

〃=血，a=2點,c=2；

/、工人--十。2—c，8+2—43

（H）由余弦定理可得c°sC=-^-=Q齊訪=下

(Ill)cosC=-y,sinC=>/l-cos12C=—,

44

「.sin2c=2sinCcosC=2x—x—=,cos2C=2cos?C-l=2x^-1=i,

448168

所以sin2C---"-=)sin?2Cacos---兀---cos2、C「sin.-n=-3--幣---x-0-------Ix—I=-3--V--2--T----I.

I6；66828216

7.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)在“BC中，角A,8,C所對的邊分別為a,h,c.已知4a=&c,cosC=].

J

(1)求sinA的值；

(2)若b=U,求M5c的面積.

【答案】(l)g;

⑵22.

【分析】(D先由平方關(guān)系求出sinC,再根據(jù)正弦定理即可解出；

(2)根據(jù)余弦定理的推論cosC=Q±《以及4a=J品可解出。，即可由三角形面積公式S=：^sinC求出面

2ab2

積.

【詳解】(1)由于cosC=；,0<C<7i,則sin。、.因為4a=底，

由正弦定理知4sinA=6sinC,貝(1sinA=^sinC=—.

45

(2)因為4a=氐?，由余弦定理，得「a2+b2-c2片+⑵智/

lab22ala5

4

即4+6。-55=0,解得。=5,而sinC=w，Z?=lI,

J

1]4

所以/8C的面積S=2a〃sinC=2x5xUx—=22.

225

8.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記A8c的內(nèi)角八,8,。的對邊分別為0,/?,0,己知sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A).

(I)若A=24,求C；

(2)證明：2/=6+。2

【答案】⑴*

O

⑵證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意可得，sinC=sin(C-A),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcos/A-cosCsinA),再根據(jù)正

弦定理，余弦定理化簡即可證出.

【詳解】(1)由A=26,sinCsin(A-B)=sinsin(C-A),sinCsinB=sin5sin(C-A),而所以

sinfie(0,1),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<。<兀,0<。一人<兀，顯然CwC-A,所以，C+C-A=nf而A=28,

A+8+C=TI,用?以。=—.

8

(2)由sinCsin(A_4)=sin4sin(C-A)可得,

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得,

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

+c2-Z?2)—^(Z?2+c2-fl2)=^(/>2+c2-?2)--1(a2+Z?2-c2),化簡得：

2/="+/,故原等式成立.

9.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)在4.ABC中，角A、B、C的對邊分別為。，b,c.已知/=2GCOSA=-^.

4

(1)求。的值;

(2)求sin8的值；

⑶求sin(2A-8)的值.

【答案】⑴c=l

(2)sinB=---

4

(3)sin(2A-R)=—

8

【分析】(1)根據(jù)余弦定理/=//+c2一女“SA以及8=2c解方程組即可求出；

(2)由(1)可求出〃=2,再根據(jù)正弦定理即可解出;

(3)先根據(jù)二倍角公式求出sin2Acos2A,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】(1)因為/=〃+c，-2Z?ccosA,即6=/r+c「+,而Z?=2r,代入得6=4c?+c二+，解得：c=l.

(2)由(1)可求出力=2,而0vA<兀，所以sinA=Jl—COS2A=巫,又一^二工，所以

4sinAsinB

2*r~

bsinA-4V10.

sinB=-----=---=--------

?V64

(3)因為cosA=—J,所以q<A<7i,故0<8vg,又sinA=Ji^嬴7=姮，所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2x」卜電^=一辿cos2A=2cos2A-\=2x--1=-^,rtOsinB=所以

I4J481684

cosB=\/l-sin2B=，

4

故sin(24-A)=sin2AcosB-cos2AsinB

1().(2。23?全國?統(tǒng)考高考直題)在“KC中.已知NR4C=I2O。,X?=2,AC=\.

⑴求sinNABC；

(2)若。為3C上一點，且/84。=90。，求力C的面積.

【答案】(1)先；

14

⑵奈

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長8c的值為BC=g,然后由余弦定理可得cos8=芷，最后由同角三角函數(shù)

14

基本關(guān)系可得sin8=叵；

14

⑵由題意可得》也=4,則據(jù)此即可求得△A0C的面積.

【詳解】(D由余弦定理可得：

BC2=/=b'+c?-2/?ccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7,

7+4-1_5幣

貝IJBCScos8瞑

clac2x2x77-R'

________1—TT-

sinZABC=Jl-cos'B==叵

14.

《一xA8xA￡)xsin90

(2)由三角形面積公式可得瞪迪二^-----------------=4,

,△ACD-XACxAOxsin30

2

貝45“0)=:54詆=9(92'以《1112()]=噂,

，，\乙/1U

11.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正

三角形的面積依次為S、凡凡,已知S「S、+3=近,sinB=~.

23

⑴求.ABC的面積；

(2)若sinAsinC=,求〃.

3

【答案】⑴《

8

⑵g

【分析】(1)先表示出*S?,S3,再由S-S2+S3=*求得/+1-6=2,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得“C,再

由面積公式求解即可；

(2)由正弦定理得上二=.：：「,即可求解.

sin-BsinAsinC

【詳解】(1)由題意得工=["2.近=近42s近/s=走d，則s「s,十邑=31-近)2+無〃=正，

,224-4341234442

即(/+，一〃=2,由余弦定理得cos8=———,整理得accosB=l,貝Ijcos3>0,又sin8二?，

lac3

貝118sB=Ji-(：)二平,次丁-=乎'貝USABc=gacsinB=q；

V\3J3cosB428

30

上=q=,，則上一=-=>^=4=2,貝|J-=2

（2）由正弦定理得:

sinBsin4sinCsiirBsinAsinCsinAsinCV24sinB2

~T

Z,=-sinB=-.

22

12.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）在./BC中，角A、B、C所對的邊長分別為。、b、c,〃=。+1,c=a+2..

(1)若2sinC=3sin4,求叢8c的面積;

（2）是否存在正整數(shù)。，使得/8C為鈍角三角形?若存在，求出〃的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）及且；（2）存在，且。=2.

4

【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3〃，結(jié)合己知條件求出”的值，進一步可求得/八。的值，利用余弦定理以及

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果;

（2）分析可知，角C為鈍角，由msCv。結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)。的值.

【詳解】(1)因為2sinC=3sin4,則2c=2(a+2)=3a,則々=4,故〃=5,c=6,

cosC="+〃_—=-,所以，C為銳角,則sinC=J1-cos?C=,

2ab88

m.Lbc_1i,Ac_\5百

IZjIHS9oA=—absinC=-x4x5x-----=------；

△A曲NR2284

(2)顯然c>b>a,若/8C為鈍角三角形，則C為鈍角，

a2+b2-c2_?r+(a+l『-(。+2),a2-la-3

由余弦定理可得cosC=<0,

lab2a(a+1)2a(a+1)

解得-l<a<3,則0<a<3,

由三角形三邊關(guān)系可得a+a+1>a+2,可得a>l,aeZ,故a=2.

3⑵22?全國?統(tǒng)考高考真題）記一板的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知信

⑴若C=斗，求B；

⑵求土與匕的最小值.

c~

【答案】（1）［；

6

⑵4人-5?

cosAsin25

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成cos（A+8）=sin8,再結(jié)合

1+sinAI+cos2B

0<B<p即可求出;

（2）由⑴知'C=>B,A=-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將今化成—+高-5.然

后利用基本不等式即可解出.

【詳解】⑴因為品=事=喏泮翳即

sin4=cosAcos8-sinAsinB=cos(A+4)=-cosC=；,

而0<8<1,所以8=?

26

TTJT

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以5<C<花.0<8<,,

而sinB=-cosC=sinC--|,

<2)

所以C=571+B,即有4=5兀-28,所以7T與:

224J

a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以

sin2Ccos-B

(2cos2B-l)+1-COS2^.2

----------L--------------=4cos2B+一522癢5=4五—5?

COS"Bcos2B

當且僅當=￥時取等號'所以F的最小值為4&-5.

14.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）記.5BC的內(nèi)角A&C的對邊分別為a/,c,已知.HBC的面積為石，D為BC中

點，且AO=1.

⑴若Z4￡)C=g,求lanB：

⑵若ZZ+c=g,求"c.

【答案】(1)乎；

(2)b=c=2.

【詳解】（1）方法1：在A8C中，因為。為8c中點，ZADC=^,AD=\t

J

如亭邛邛'解得"4,

07T

在△AB。中，/ADB=T，由余弦定理得/=B廳+AD2-2B/>/WCOSN4OB,

J

BP?=4+l-2x2xlx(-l)=7,解得「=",貝?。輈osB=l^zl=配,

22V7x214

所以3八皿二業(yè).

cos85

方法2：在，工BC中，因為。為8c中點，ZADC=^tAD=1t

則S\oc=Z.ADC=--xI%—ay.--=—~a=—5,=解得a=4,

/1i7i222282BC2

在ACD中，由余弦定理得〃=C￡)2+AD2-2CO">COSZ/W8,

222

即〃=4+l—2x2xlx：=3,解得b=6,AC+AD=4=CDf貝ljNCAO=￡,

C=3,過A作4￡_L8C于E,^>CE=4CcosC=-,>4E=4CsinC=—,BE="

6222

所以tanB=^=立.

BE5

c2=—a'+l-2x—axlxcos(7r-Z/\DC)

(2)方法1：在AABO與aAS中，由余弦定理得);；,

b2=—a2+1-2x—6/x1xcosZ.ADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而〃+。2=8,貝跖=26，

又Swc='xGxlxsin/AOC=近，解得sinZADC=1,而OvZADCv兀，于是NAQC=V，

ADC222

所以〃=c=jA￡>2+C￡>2=2?

方法2：在工AC中，因為。為AC中點，則2A￡>=A4+Ad，又CB=A8-A。,

4AD~+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(b2+c2)=16，即4+/=16,解得。=26,

又Sux='xV?x|xsinNAOC=^^，解得sinZA￡)C—1,rfo0<ZADC<n,于是NA℃=g,

,/\u\.222

所以b=c=，AD2+CD?=2?

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.(2023秋?吉林遼源?高三校聯(lián)考期末)在/8C中，/A、N8、/C所對的邊分別為。，仇c,若/A=1,a=瓜

6=2,則NN=()

7i-兀-3兀一冗口3兀

A.-B.-C.—D.一或一

64444

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合大邊對大角，即可求N8的大小.

【詳解】由正弦定理‘?；=一，，得,加/?_加inA_，x了一夜，

sinAsinBs,n0---

aV62

又b<Q,所以8<A,則角3為銳角，所以NB=%

4

故選：B.

2.（2023?北京?高三專題練習(xí)）在以BC中，a=2限,b=2c,cosA=-；,則S八班=（）

3j

A.-715B.4C.V15D.25/15

【答案】C

【分析】利用余弦定理得到。=2,b=4f利用同角三角函數(shù)基本公式得到sinA=羋，然后利用面積公式求面積即

4

可.

【詳解】a-2>/6>b=2c,cosA=----—=--,所以4。_J_解得。=2,b=4,

2bc44c2=4t

因為Aw（0,九），所以sinA=m5,SMe=g8csinA=gx2x4x[^=

故選：C.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)/8C的內(nèi)角A,B,3所對的邊分別為a,b,c,若/cosAsinB=〃sinAcos仇則

乂8c的形狀為（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得sin2A=sin28,進而由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

（詳解]由a?cosAsinB=b?sinAcosB得crbcosA=ab?cosBn4cosA=bcosBnsinAcosA=sinBcosB,

由二倍角公式可得sin2A=sin2B=>2A=28+2E或"+2B=n+2htykeZ,

由于在乂BC,Ae（0,兀）,3e（0,兀），所以A=A或4+故48C為等腰三角形或直角三角形

故選：B

4.（2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一ABC中，內(nèi)角4,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若.工的面積是

6僅2+<?―/）,則從二（）

4

it-2兀-兀-5兀

A.-B.—C.—D.—

3366

【答案】A

【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡計算即可.

【詳解】由余弦定理可得：h2+c2-a1=2Z?ccosA,Ae（0,兀）

由條件及正弦定理可得：

222

1yf3（b+c-a）內(nèi)

S=—bcsinA=--------------------=——加cosA>

242

所以tanA=>/3f貝!1A=?.

故選：A

5.（2023?四川成都?成都七中?？级＃┮籄BC的內(nèi)角所對的邊分別為兄4c,且sanB=w，bsiM=4,則。的

值為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理可得“sing=4,再結(jié)合同角商數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系，最后求得

【詳解】由「~；二」^.如114=4得癡115=4,又atanB=與，所以cos3=W，從而sinB=g,所以〃=5.

sin4sin?353

故選：B

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)

文化底蘊與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特

殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。等特殊角度下.為了判斷“冬”的

彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點繪制了△A8O,測得A8=5,BD=6,AC=Vl4，AD=3,

若點C恰好在邊8。上，請幫忙計算sin/ACD的值（）

【答案】C

【分析】先根據(jù)三條邊求出cos乙仞心，利用平方關(guān)系得到sinZAQB,結(jié)合正弦定理可得sinZACD.

【詳解】由題意，在△A3。中，由余弦定理可得,

份+附一69+36-255

cosZADB=

2ADBD2x3x69

因為NA/Me（O,兀），所以sin/A￡>8=Ji^嬴芝礪=

ACAD

在.46中，由正弦定理

sinNAD8sinZACD

加二3

即2717sinZACD，解得sinZACD=-.

---3

9

故選：C.

2sinZ?sinC

7.（2023?四川南充?統(tǒng)考二模）在“BC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，b2+c2=2023a2,則

tanAsiiiA

的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理有2—左后C=濁"包工.一s4=等-，再根據(jù)條件整體代換即可.

tanAsinAsin-Aa'2bc

【詳解】因為從+。2=202%2,

則根據(jù)正弦定理和余弦定理有

2sin4sinC2sinBsinC.2bcb2+c2-a22022a2____

---------------=---------；-------cosA=-；------------------=-----；—=2022?

tan>4sinAsin-Aa'2bca

故選：B.

8.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级＃┕绫恚嵌攘咳沼伴L度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成.

圭表和日暮一樣，也是利用日影進行測量的占代天文儀器.所謂高表測影法，通俗的說，就是垂直于地面立一根桿，

通過觀察記錄它正午時影子的長短變化來確定季節(jié)的變化.垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以

測量影長的標尺叫“圭”，如圖I，利用正午時太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令.已知某地夏至和冬至正

午時，太陽光線與地面所成角分別約為。，P,如圖2,若影長之差CO=〃尺，則表高A8為（）尺.

夏至a

?(tana-tan/y)tana-tan

B.----------------

tanatanpatanatanp

alanatanptanatan°

D，”(tanatan/?)

"tana-tan

【答案】C

【分析】根據(jù)題設(shè)定義及c°二麗-百石,將公式轉(zhuǎn)化變形即可得結(jié)果.

ABABtan-tan/?_則正網(wǎng)空叱。。atanatanp

【詳解】由題設(shè)。。=-----------------=----------------?A4B

tanptanatanatanptana-tan/?tan?-tan/?

故選：C

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在..ABC中，b=2acosC,則.工8。為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰二角形D.等腰百角二角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理及三角恒等變換計算即可.

【詳解】由正弦定理可得：sin^=2sinAcosC,WA+/i+c=nf

所以sin8=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

貝ij2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC,BpsinAcosC=cosAsinC

易知8SAHO,COSCHO,所以tanA=tanC

在三角形中A、CI（0,兀），所以4=C.

故選：C.

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知在非RtZLABC中，AB=6AC=2,且sin2A—2cos2A=2,則△ABC的

面積為（）

A.1B.x/5C.2D.3

【答案】C

【分析】首先由sin2A-2cos2A=2及工8c不是直角三角形得出cosA=gsinA,再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系

求出sinA,代入面積計算公式即可.

【詳解】sin2/\-2cos2/1=2,

2sinAcosA=2（1+cos2>4）=4cos?A,

又JBC不是直角三角形，

.?.COSAHO,

sinA-2cosA-0,BPcosA=—sinA,

2

??

又sinA+cosA=\t

/.sin2A+-sin2A=l,解得sinA=±必，

45

Ae（O,n）,即sinA>0,

.42X/5

,?sinA=-----9

5

:.SARC=-sinAABAC=-x^-x>!5x2=2f

ABC225

故選：C.

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在JRC中，。是8C邊的中點，且A8=3,AC=2,AD=&,則A8C的形狀

為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角=角形D.無法確定

【答案】C

【分析】分別在△A8。和A8中，利用余弦定理得到兩個等式，然后兩式相加，得到8C，然后在工中，由

余弦定理判斷.

【詳解】解：在△A8O中，由余弦定理得442=A￡＞2+6￡＞2-2AO4OCOSZAO4,

在_4CD中，由余弦定理得AC?=AD2+DC2-2AD-DC-cosAADC,

兩式相加得力。2=7,則。C=巫，BC=A，

2

AB2+AC2-BC2

在ABC中，由余弦定理得cosA=--<0,

2AB^AC12

所以是鈍角三角形,

故選：C

3

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在./BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為小力，c,^?=c（2cosi?+I）,sinC=-,

則sin5=()

94

A,史B.一c.一D

252525--I

【答案】B

【分析】運用正弦定理與和差公式求解.

【詳解】因為a=c(2cos8+l),由正弦定理得：sinA=sinC(2cosl?+l),A=n-(B+C),

.".sin(/?+C)=sinC(2cosfi+l),&psinBcosC-cosBsinC=sinC,sin(/?-C)=sinC,

又0＜8＜兀,。＜。＜冗，所以一兀＜3—。＜兀，即8-C=C或8—。=不一。，

得8=2。或8=乃（舍）,

X0<Ii<n,B=2C,:.()<C<—,sinC=-,cosC=71-sin2C=-

255

24

所以sinB=sin2c=2sinCcosC=—?

25

故選：B.

13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在加C中，NBAC=T，/8AC的角平分線A。交8。于點。，△A8O的面枳是

△AZX?面積的3倍，則tan3=（）

行7

Br

55

【答案】A

【分析】利用面積之比可得c=3〃，，作邊上高，垂足為H,即可求lanB.

C

D

【詳解】

H1B

A

9-ABADsinZBAD

AB

因為

S"-.ACADsinCADAC

2

即c=3b,在工BC中，作AB邊上高，垂足為”,

CHbsinZCAHbsinZCAH

貝miQltanBn=——=--------------上包

BHAB+AHAB+hcosZCAH，7

2

故選:A.

二、多選題

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在“BC中，a,b,。為三個內(nèi)角A,B,C的對邊，若（/+/一好tan3=6比，

則角8=（）

A.30°B.60°

C.150°D.120°

【答案】BD

【分析】由余弦定理化邊為角即得.

【詳解】由題得

lac2

根據(jù)余弦定理可知cosBlanB=sinB=—,

2

:.6=6（尸或5=120°.

故選：BD.

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在WBC中，角A,B,C的對邊分別為若。2=從+。2_&^,且B=2A,

則.ABC不可能為（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】BCD

【解析】由余弦定理求出4=g,然后可得角〃，然后可選出答案.

4

【詳解】由余弦定理cosA='+c2一居=立,所以A=f,又B=?A=；,所以。=￡,

2bc2424

故一/8C為等腰直角三角形.

故選：BCD

【點睛】本題考查的是利用余弦定理解三角形，較筒單.

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某貨輪在A處看燈塔8在貨輪北偏東75。，距離為126nmi怕：在A處看燈塔。在貨

輪的北偏西30。，距離為8G〃〃”/e.貨輪由A處向正北航行到。處時：再看燈塔H在南偏東60。，則下列說法正確的

是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmiIeB.燈塔C與。處之間的距離是8Gnmile

C.燈塔C在O處的西偏南60。D.。在燈塔3的北偏西30。

【答案】ABC

【分析】作圖，運用正弦定理和余弦定理解相應(yīng)的三角形即可.

【詳解】在△A3。中，由已知得4/）8=60",/DAB=75。，

貝l」N4=45,AB=1276.

'2后與

ABsinZB

由正弦定理得A。二=24,

sinNADB

所以A處與。處之間的距離為24nniile,故A正確;

在zMOC中，由余弦定理得,

CD2=AD1+AC2-2AD?ACcos30，

又AC=8G，

解得CD=8X/L

所以燈塔C與。處之間的距離為8Gnmile,故B正確,

vZlC=CD=8>/3,

/.ZCm=ZG4D=30°,

???燈塔C在。處的西偏南60。，故C正確；

,?,燈塔8在。的南偏東60。，

J.D在燈塔8的北偏西60。，故D錯誤；

故選：ABC.

17.（2023春?山東濟寧?高二校考階段練習(xí)）如圖,在平面四邊形4BCD中，已知/A+//）=IXO。，AB=2,BC=4五、

CD=4,AD=2y[5,下列四個結(jié)論中正確的是（）

B

A

D

A.ZB=ZD=90°B.四邊形ABC。的面積為4拒

C.AC=6D.四邊形ABC。的周長為6+4及+26

【答案】ACD

【分析】在工8C和A8中，分別利用余弦定理，得到《COSB=6COSO,結(jié)合NB+NO=180。，求得COSB=0,

得到？890?,可判定A正確；利用直角三角形的面積公式，可判定B不正確；在直角A8C中，利用勾股定理,

可判定C正確；求得四邊形A8c。的周長，可判定D正確.

【詳解】在48c中，可得AC2=A4+BC2—2ABBCCOS8=4+32-2X2X4GCOS8，

在ACD中，nf^AC2=/1D2+DC2-2/\DDCCOSD=20+16-2X275X4COSD,

可得36-16應(yīng)cos5=36-16x/5cosD?即&cosB=小cosD

因為NB+NO=180。，可得cosNB=-cosNO,可得cos4=0