2024年安徽省天域全國協(xié)作體高考數(shù)學二模試卷

2024年安徽省天域全國名校協(xié)作體高考數(shù)學二模試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?安徽二模）已知A,8是全集U的非空子集，且AGCuB,則（）

A.BGAB.C.CuAGCuBD.AGB

2.（5分）（2024?安徽二模）我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時

難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象

來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)/（%）=島■的

圖象大致為（）

3.（5分）（2024?安徽二模）已知復數(shù)z-4+加（小虎R）且/-（4+2/）戶4+3—0有實

數(shù)根。，則H=（）

A.2>/3B.12C.2向D.20

4.（5分）（2024?安徽二模）已知等邊△ABC的邊長為2,點/）,E分別為AB,的中點，

若法=2EF,則后??品二（）

5.（5分）（2024?安徽二模）已知為，放是雙曲線藍一瓦=l（a>0,b>0）的左、右焦點，

若雙曲線上存在點。滿足P22-PPi=-2a2,則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.V3D.V2

6.（5分）（2024?安徽二模）在數(shù)列｛斯｝中,S〃為其前〃項和，首項m=l,且函數(shù)fCO

=9-a”+isinx+（2an+l）x+\的導函數(shù)有唯一零點，則S5=（）

A.26B.63C.57D.25

7.（5分）（2024?安徽二碳）已知函數(shù)/（X）的定義域為R,且/（x+2）-2為奇函數(shù)，f

（3x+l）為偶函數(shù)，/（I）=0,則粢腎f（k）=（）

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.（5分）（2024?安徽二模）己知直線/：Ar+B>+C=0（4+爐工0）與曲線W：-x有

三個交點。、E、F,且|QE1=|EQ=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標是（）

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）（2024?安徽二模）已知由樣本數(shù)據(jù)<：xi,yi）（i=l,2,3,10）組成

的一個樣本，得到回歸直線方程為y=-x+3,.且工=4.剔除一個偏離直線較大的異常

點（-5,-1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過點（6,-4）.則下列說法正確的是（）

A.相關(guān)變量x,），具有正相關(guān)關(guān)系

B.剔除該異常點后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大

C.剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點（5,-1）

D.剔除該異常點后，隨x值增加相關(guān)變量），值減小速度變小

（多選）10.（6分）（2024?安徽二模）在平面直角坐標系xQv中，角。以坐標原點。為頂

點，以4軸的非負半軸為始邊,其終邊經(jīng)過點正4"）,|。洶=〃?（〃?工0），定義/'（。）=絆，

ill

g（e）=臀，則（）

A.魔）+96）=1

B.f（9）t/2（6）20

C.若￡^=2,則sE29=1

D./（0）g（9）是周期函數(shù)

（多選）11.（6分）（2024?安徽二模）如圖，多面體PS-48C。由正四棱錐P-A8C。和

正四面體S-P8C組合而成，其中PS=1,則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）

A.該幾何體的體積為:

B.該幾何體為七面體

C.二面角A-P4-C的余弦值為一/

D.該幾何體為三棱柱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）（2024?安徽二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取11個，其尺寸值為43,45,

45,45,49,50,50,51,51,53,57（單位：〃[〃?），現(xiàn)從這11個零件中任取3個，則

3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率

為?

13.（5分）（2024?安徽二模）已知偶函數(shù)/（x）=sin（wx+（p）（u）＞0）的圖像關(guān)于點杳，。）

中心對稱，且在區(qū)間[0，*上單調(diào)，則3=.

14.（5分）（2024?安徽二模）若實數(shù)羽丁滿足/+）2=25,則J50+8x+6y+，50+8x-6y

的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）（2024?安徽二模）已知函數(shù)/（x）=hix+^-QX，4WR.

（1）若/（外在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

（2）當QV2時，求/（外的極值點.

16.（15分）（2024?安徽二模）據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100

次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，

多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設；中國航天科技集團有限公司計劃安排近70次宇航發(fā)射任

務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大，程任務.由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前

景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試

其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離5663717990102110117

損壞零件數(shù)），（個）617390105119136149163

參考數(shù)據(jù)：x=86,歹=112,S?=i芍%=82743,￡篙xf=62680.

（1）建立y關(guān)于x的回歸模型y=bx+a，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關(guān)于x的回

歸方程（b精確到0.1,a精確到1）：

（2）該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取1（）0臺進行等距離飛行

測試，對其中60臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器

占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.0l的獨立性檢驗,

能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)？

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢20

未報廢

合計60100

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=乙皿-------^―,

（勺一牙）

A2

a=ybx,K2=(Q+b)普d)"c)g+d)，〃_">c+4

P(K22ko)0.250.10.050.0250.010.001

ko1.3232.7063.8415.0246.63510.828

17.（15分）（2024?安徽二模）在三棱錐尸-ABC中，PBJ_平面ABC,AB=BC=BP=2,

點E在平面ABC內(nèi)，且滿足平面用E_L平面PBE,BA垂直于BC.

（1）當/48￡€蛤，引時，求點E的軌跡長度；

（2）當二面角E-%-3的余弦值為（■時，求三棱性E-PC6的體枳.

p

18.（17分）（2024?安徽二模）在平面直角坐標系xO），中，橢圓W：各技=l（a>8>0）的

離心率為e,已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且橢圓W過點（1,e）.

（1）求橢圓卬的方程；

（2）已知平行四邊形八8c。的四個頂點均在卬上，求平行四邊形A4co的面積S的最

大值.

19.（17分）（2024?安徽二模）對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義.

若一個平面圖形K在小（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具

有對稱性，并記小為K的一個對稱變換.例如，正三角形R在〃，（繞中心。作120°

的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以如是R的一個對稱變換，考

慮到變換前后R的三個頂點間的對應關(guān)系，記mi?3\乂如，在人（關(guān)于對

稱軸”所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（婦圖1圖3所示），所以人也是R的

一個對稱變換，類似地，記。=（：；》.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合5.

一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足：

I.Vd,bE.G>ciC）bEG；

II.Vd,b,c￡G,（t/O/?）Oc=aO（/?Oc）；

111.3e￡G,PaCG,aOe=eOa=a；

IV.VaCG,BalEG,aOai=alOa=e.

對于一個群G,稱HI中的e為群G的單位元，稱IV中的，?為。在群G中的逆元.

一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如〃對于G的代數(shù)運算。來說作成

一個群.

（1）直接寫出集合S:用符號語言表示S中的元素）；

⑵同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如恤=?23\/132\

'DJL乙/乙JL/

1^?）=（?7D=（7l）=（??；）.對于集合S中的元素，定義一種新

XO乙，'人乙I，、乙。工，'乙XO*

運算*,規(guī)則如下避弓凱管3-W

b2,加}={。|,Cl,C3}={1,2,3}.

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；

②已知〃是群G的一個子群，e,一分別是G,”的單位元，aEH,a],af分別是a

在群G,群〃中的逆元.猜想e,1之間的關(guān)系以及/la'之間的關(guān)系，并給出證明；

③寫出群S的所有子群.

2024年安徽省天域全國名校協(xié)作體高考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?安徽二模）已知A,R是全集U的非空子集，且AGCuB，則（）

A.B^AB.8工CuAC.CuACCuBD.

【考點】子集與真子集；補集及其運算；集合的包含關(guān)系判斷及應用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)子集定義即可判斷.

【解答】解：人GCuB,說明人的所有元素都不屬于8,等價于8的所有元素都不屬于A,

【點評】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?安徽二模）我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時

難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象

來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)/（%）=島?的

圖象大致為（）

O1X

-1-

A.

O

B.

【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解即可.

【解答】解：函數(shù)/（幻=含的定義域為R，

f（r）=（二3=-導=所以函數(shù)/（外為奇函數(shù)，排除A,B選項，

又因為當x>0時，/?=477>0,排除C選項，選項。滿足題意.

xz4-l

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)圖象的判斷，是基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?安徽二模）已知復數(shù)2=〃+萬（小左R）且f-（4+2/）x+4+ai=0有實

數(shù)根4則朗=（）

A.25/3B.12C.2代D.20

【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】。

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)相等的條件，以及復數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：/?（4+2/）x+4+R=0有實數(shù)根b,

則/?2-（4+2，）b+4+s=0,即（俗一2）2=0,解得〃=4,b=2,

ka-2b=0

故z=4+2i,

所以貝I］團=|z|2=42+22=20.

故選：。.

【點評】本題主要考查復數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2024?安徽二模）已知等邊△ABC的邊長為2,點D,E分別為4B,BC的中點,

若茄=2淳，則余?品=（）

465

A.1B.-C.-D.-

554

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】由平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解.

【解答】解：己知等選△A8C的邊長為2,點。，后分別為A8,3c的中點,

又法=2EF,

則命"AF=^DE?（公+而

=^1DfE\ArD+^3DrE）

13心

-+-

44

1T4T

=^ACAB+-^AC2

11?

=_X2X2X_+_X22

=1.

故選：A.

【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔

題.

%2y2

5.（5分）（2024?安徽二模）已知尸尸2是雙曲線o?—￡7=l（a>0,b>0）的左、右焦點，

若雙曲線上存在點尸滿足「句=一2。2,則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.V3D.企

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】設夕的坐標，代入雙曲線的方程，求出數(shù)量積P%「P%2=宗］-廬/?『

-‘2-廬=-廬，再由橢圓可得”,”的關(guān)系，進而求出離心率的最小信.

%2y2

【解答】解：設尸(x,)，)，則|x|2a,所以f-77=l(a>0,b>0),

adb￡

由題意可得21(-c,0),Fi(c,0),

TT%2

所以P&?PF=Cx+cy)(x-c,y)=r-c2+y2=x2-c2+(--I)b2=

2t好aL

?a2-c2-Z>2=-序,

所以?2屋》?廬，即2,，W〃2,所以離心率e=「=|>VS.

a1次

故選：C.

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及數(shù)量積的運算，屬于中檔題.

6.(5分)(2024?安徽二模)在數(shù)列｛〃〃｝中，S〃為其前〃項和，首項m=l,且函數(shù)/a)

=9-a〃+isiiu+(2a〃+l)x+1的導函數(shù)有唯一零點，則S5=()

A.26B.63C.57D.25

【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；等差數(shù)列與等比

數(shù)列：數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)/(X),分析可得/(公為偶函數(shù)，由此可得/

(0)=-a“+i+2a〃+l=0,即a〃+i=2a〃+l,由此求出。2、。3、04、45的值,進而計算可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=/-〃〃+isinx+(2a〃+l)x+1,其導數(shù)/'(x)=3.v2

-an+1cosx+(2a”+1),

易得，a)的定義域為R,

且，(-%)=/(x),則廣(x)為偶函數(shù)，

若函數(shù)/<A)=X3-〃〃+i$inx+(2a“+l)x+l的導函數(shù)有唯一零點，必有f(0)=-a〃+i+2a〃+l

=0,

則有cin+1=2a〃+11

故42=2/1+1=3,03=2f/24-1=7,44=243+1=15,公=2。4+1=31,

故55=1+3+7+15+31=57.

故選：C.

【點評】本題考查數(shù)列的遞推公式，涉及導數(shù)的計算，屬于中檔題.

7.(5分)(2024?安徽二噗)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+2)-2為奇函數(shù)，f

(3x+l)為偶函數(shù)，/(I)=0,則%字f(k)=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【考點】抽象函數(shù)及其應用：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】計算題；方程思想：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，先由函數(shù)的對稱性分析函數(shù)的周期，結(jié)合對稱性可得f(I)力，(3)

=4,/(2)4/(4)=4.即/(I)4/(2)4/(3)V(4)=8,結(jié)合周期性分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若/(x+2)-2為奇函數(shù)，則有/(-x+2)4/G+2)=4,

故/(#的圖象關(guān)于點(2,2)對稱，

又由/(3x+l)為偶函數(shù)，則/(-3x+l)=/(3x+l),

變形可得：/(-x)=f(x+2),則/(x)的圖象關(guān)于直線工=1對稱，

又由/(7+2)4/(X+2)=4,則有/(-幻4/(-x+2)=4,變形可得/Cr)4/G+2)

=4①，

由此可得：f(x+2)+/(x+4)=4(2),

聯(lián)立①②可得：/(x+4)=f(x),則/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

由于/(x)+f(x+2)=4,則/(I)4/(3)=4,/(2)+f(4)=4,

故/(I)V(2)4/(3)4/(4)=8,

故》曾"(2)4/(3)4/(4)+……4/(2024)=506X(/(1)+/(2)+f

(3)V<4)1=506X8=4048.

故選：。.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于中檔題.

8.(5分)(2024?安徽二模)已知直線/：Ax+By+C=0(AM2^0)與曲線VV：y=.p-x有

三個交點。、E、F,且|OE|=|EQ=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標是()

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【考點】曲線與方程.

【專題】對應思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】由函數(shù)y=F-x的性質(zhì)可得曲線卬的對稱中心(()，())，即得七(0,0),再根

據(jù)給定長度求出由D的坐標即得.

【解答】解：顯然函數(shù)/（x）的定義域為R,

/（-x）=（-x）3-（-x）=-/（x）,即函數(shù)/（1）是奇函數(shù)，

因此曲線W的對稱中心為（0,0）,

由直線/與曲線卬的三個交點。，E,尸滿足|。￡|=|￡￡1=2,得E（0,0）,

設。（》,X3-X）,則，+（A3-X）2=4,

令f=f,貝|J有％3-2戶+21?4=0,

即（P+2）（r-2）=0,解得/=2,即X=±&，

因此點。（或，夜）或。［一VL-V2）,ED=（V2,或）或前=（一&，-V2）,

選項中只有坐標為（I,I）的向量與訪共線，能作為直線/的方向向量的坐標是（1,1）.

故選：C.

【點評】本題考查了曲線與方程的應用，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）（2024?安徽二模）已知由樣本數(shù)據(jù)5,yi）（/=!,2,3,…，10）組成

的一個樣本，得到回歸直線方程為y=-x+3,且5=4.剔除一個偏離直線較大的異常

點（?5,?1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過點（6,-4）.則下列說法正確的是（）

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.剔除該異常點后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大

C.剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點（5,-1）

D.剔除該異常點后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小

【考點】線性回歸方程.

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】BC

【分析】利用回歸直線方程的斜率判斷A;根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷從求出去除異

常點后的回歸直線方程，再分別計算判斷CD.

【解答】解：由回歸直線方程的斜率為-1,知變量力y具有負相關(guān)關(guān)系，A錯誤；

剔除一個偏離直線較大的異常點（-5,-1）后，擬合程度變大，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕

對值變大，8正確；

回歸直線方程為y=-%+3,且M=4,則歹二一1,

剔除一個偏離直線較大的異常點（-5,-1）后，

得到新的歹=4''5=5,歹=-*+1=一],

故剔除該異常點后的叵歸直線方程經(jīng)過點（5,-1）,C正確；

新的回歸直線經(jīng)過點（6,-4）,

r**a

列方程組一l=bx5+a,解得。=]〃b=-3,

—4=匕x6+a

故剔除該異常點后的叵歸直線方程為y=-3x+14,

斜率由-1變成-3,所以剔除該異常點后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變大，。

錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查回歸方程的應用，屬于中檔題.

（多選）10.（6分）（2024?安徽二模）在平面直角坐標系中，角8以坐標原點。為頂

點，以工軸的非負半軸為始邊,其終邊經(jīng)過點加（4,8）,[0歷1=〃?（〃?^0）,定義/（。）=等，

g（8）=譬，則（）

A.r哈）+.9/）=1

B.y（e）t/2（0）2o

C.若=2,則sE26=i

g（。）5

D./（9）g（0）是周期函數(shù)

【考點】任意角的三角函數(shù)的定義.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算.

【答案】ACD

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義可得/（0）=sin0+cose,（0）=sin0-cos0.再

利用三角函數(shù)的性質(zhì)對四個選項逐一分析可得答案.

【解答】解：’?,/（。）=^^=sin8+cos。，g（O）==sin0-cos0.

7vzm八

；?f（看）+g。=2sin-=1,A正確；

令r=f⑹=sinO+cosO=VZsin令+今)e[-V2,V5],

2

則/⑹+Z（0）=/+P=（Z+l）2-1>_1（當且僅當仁一細取等號），B錯誤:

N44N

?/(0)sE8+cos8

若兩=sini產(chǎn)則sinO=3cos。，即tan0=3.

2sE8cos8_2tan863

.*.sin28=。正確;

sin^e+cos2^tan20-Vl105'

V/(6)g(0)=(sin0+cos0)(sine-cosG)=sin20-cos20=-cos20?

???/（。）g（0）是周期函數(shù)（最小正周期周期為71）,。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義及其應用，屬于中檔題.

（多選）11.（6分）（2024?安徽二模）如圖，多面體PS-4BCD由正四棱錐P-ABCQ和

正四面體S-P8C組合而成，其中PS=1,則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）

A.該幾何體的體積為二

B.該幾何體為七面體

C.二面角A-P4-C的余弦值為一之

D.該幾何體為三棱柱

【考點】二面角的平面角及求法；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】對應思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】ACD

【分析】選項A,可以分別求正四棱錐P-A5CO和正四面體S?P6C的體積即可；

選項C,先確定二面角4-P8-C的平面角為N4PC，在三角形中利用余弦定理可得；

選項B,通過計算易判斷平面PBS與PBA為同一平面，平面POC和平面PDS也為同一

平面即可；

選項。，先根據(jù)二面角A-PB-C與二面角S-PB-C的關(guān)系確定P,A,B,S四點共面，

再證得平面SC8〃平面PAD,三個側(cè)面都是平行四邊形即可.

【解答】解，如圖，在正四面體中S?"8C.中，G為/力的中點,

連接CG,連接SG,作SOJ_CG于。則。為△P8C的中心，50為正四面體中S-P8C

的高，

22

因PS=1,CG=與,CO=|CG=*,SO=y/SC-CO=,VS_PBC=|x|x

P^xCGxSO=|x|xlx^x^y=j|,

在正四面體中S-PBC中，G為PB的中點，所以SG_LPB,CGA.PB,

故4GS為二面角S-P3-C的一個平面角，

cos/CGS嚏=巖=雪J

-j"

如圖，在正四棱錐P-A4co中，由題意PC=CB=1,

連接AC,RD交于點E,連接PE,則PF為正四棱錐P-/WCD的高,

則CE=*CB=寺,PE=VPC2-CE2=Jl2-（孝）2=孝，

所以Vp—.CD=|xCDx5CxPE=|xlxlx^=^,

該幾何體的體積為UpSTBCD=^S-PBC+^P-ABCD==*,故人正確,

對于C,取P8的中點F,連接AF,CF,

由題意正四棱錐尸-A8CD的棱長都為1,所以4凡LPB,CFLPB,

故Z1FC即為二面角A-P4-C的一個平面角，

其中4尸=CF=字8C=苧，AC=y[2BC=V2,

/1；A一二-2（孚a+（,）2-（、②2]

在△AFC中，cosZAFC=_2ArcF=?%—=一可故C正確,

對于4,因cos/CGS=2=-cos41FC,可知二面角S-C與二面角4-PB-C所

成角互補，

故平面PBS與PBA為同一平面，同理，平面PDC和平面PCS也為同一平面，

故該幾何體有5個面，故8錯誤；

對于。，因P,A,B,S四點共面，且△POC和aPCS都為等邊三角形，

易知SC〃PD,HSC=PD,故側(cè)面尸。CS為平行四邊形，

又尸Qu平面抄1。，SC<t平面外。，所以SC〃平面以。，

同理58〃平面力。，且則面以BS為平行四邊形，

乂SCnSB=S,SCu平面SCB,SBu平面5CB,

所以平面SC8〃平面陰。，又側(cè)面ABCD為正方形，

故多面體PS-48CO因為三棱柱ADP-BCS,故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了判斷幾何體是否為棱柱，求組合體的體枳，判斷面面平行，求二面

角，屬于中檔題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）（2024?安徽二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取II個，其尺寸值為43,45,

45,45,49,50,50,51,51,53,57（單位：〃〃〃），現(xiàn)從這11個零件中任取3個,則

3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為三.

【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】卷.

【分析】分別求出11個零件的平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45,然后分另L求出

取出3個零件有165種，3個零件符合平均數(shù)、第六I百分位數(shù)、眾數(shù)有6種情況，再

利用占典概率從而可求解.

【解答】解：由題意知II個零件的平均數(shù)為

43+454-45+45+49+50+50+51+51+53+57

-------------------------------------=49,

11

第六十百分位數(shù)的位置為IIX6（）%=6.6,即取第7位數(shù)50,故第六十百分位數(shù)為50,

由題可知眾數(shù)為45,

所以當從II中取出3個零件共有仃】=165種情況，

則3個數(shù)分別為平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45共有C1C，C；=6種情況，

62

所以其概率為

1655o

故答案為：卷.

【點評】本題主要考查了平均數(shù)、百分位數(shù)和眾數(shù)的定義，考查了古典概型的概率公式，

屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）（2024?安徽二模）已知偶函數(shù)/（x）=sin（u）x+（p）（w>0）的圖像關(guān)于點卷，0）

3

中心對稱，且在區(qū)間［0,勺上單調(diào)，則3=巖

【考點】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算.

3

【答案】3

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可得.

【解答】解：由/（X）是偶函數(shù)，得/（?x）=/（A）,即函數(shù)/（公的圖像關(guān)于），軸對

稱，

所以/（x）在x=0時取得最值，即sin（p=l或-I,取9=*,

由了（幻的圖像關(guān)于點段，0）中心對稱,

可知$譏（亨3+，）=0,-0）+—=kn,AGZ,解得3=3女—9（k￡Z）,

又/（x）在區(qū)間［0,勺上是單調(diào)函數(shù)，所以即

所以（oW4,Xa）>0,所以當％=1時，u）=i.

故答案為：|.

【點評】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?安徽二模）若實數(shù)x,），滿足/+『=25,則J50+8x+6y+,50+8x-6y

的最大值為_6V10.

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算.

【答案】6\/10.

【分析】由題意可知，V50+8x+6y+V50+8x-6y=V(x+4)2+(y+3)2+

jQ+4)2+(y_3)2,幾何意義為圓?+/=25上的任意一點到點A(-4,-3)與6

(-4,3)的距離和，畫出圖形，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.

【解答】解：因為實數(shù)x,y滿足『+/=25,

所以J50+8x+6y+,50+8--6y=+y2+版+6y+25+

222222

Vx+y+8x-6y4-25=J(x4-4)+(y+3)+A/(x+4)+(y-3),

該式子的幾何意義為圓入2+產(chǎn)=25上的任意一點到點A(-4,-3)與3(-4,3)的距

離和，如圖所示：

則|4Q|=|AQ|=口+(4+5==3710,又因為|A陰=6,

由z\BQ\Z+\AQ\2-\AB\Z90+90-364

所以8SNAQB=詼命Q|一匚=2x333同=耳’

當點P在圓Ay2=25上運動時，始終有NAQ8=NAP氏

4

所以COS/APB=￡

設抬尸|=/〃，18Pl=〃，

則由余弦定理可得，cosNAP8=病,第36=￡

所以"2+"2_36=5mn,

所以(〃?+〃)2-2mn-36=fmn，

所以mn=-jg(rn+n)^—1以

又因為機>0,〃>o,則〃?，修結(jié)式，當且僅當用=〃時，等號成立,

4

所以卷(m+九)2一小誓必，

解得機+〃<6VT5，當且僅當m=〃=3VT5時，等號成立，

即J50+8十+6y+j50+8x-6y的最大值為6710.

故答案為：6國.

【點評】本題主要考查了兩點間距離公式的應用，考查了余弦定理和基本不等式的應用，

屬于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)(2024?安徽二模)已知函數(shù)/(%)=濟x+W-QX，

(1)若/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)當QV；時，求的極值點.

【考點】利用導數(shù)研窮函數(shù)的極伯：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；分類法；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【答案】(1)成，+oo)；

I1—V1—4ci~

(2)當GWO時，/(x)無極值點；當OVQV多寸，函數(shù)/(外的極小值點為一：-----.極

【分析】(1)先由/久)在定義域內(nèi)是減函數(shù)得出對于(0,+8),f(%)W0恒成

立，進而分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，再利用基本不等式求解即可；

(2)分aWO和0VaV±兩種情況討論，在每一種情況中借助導數(shù)判斷函數(shù)/G)的單

調(diào)性即可求解.

【解答】解：⑴由/'(%)=mx+W-QX，則廣(x)=i-^-a=-^^(x>0).

因為/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以對于必正(0,+8),f(x)W0恒成立，

即對于VxW(0,+8),or2-x+a20恒成立.

則對Vxe(0,+8),。之々恒成立.

-v*_LA

因為x>0,所以％+當且僅當x=l時等號成立,

則0V—1工亍所以

每22

故。的取值范圍為核，十8).

aX+a

（2）因為廣（x）=[-苴-Q=-x2Xe（0,+oo）,

所以當時，/（.v）>0,則函數(shù)人力="X+三一。不在（0,+8）上單調(diào)遞增，此

時/（x）無極值點；

當0<aV*時，方程蘇-工+〃=0的判別式A=1-4c2=（1-2a）（1+2a）>0,

l-Vl-4a2l+Vl-4a2

令/(x)>0,解得

l+Jl-4a2

令/(A-)<0,解得kV

l-Jl-4a2

則函數(shù)/（x）在（0,?）上單調(diào)遞減,

在（I；”?,"J；：4a2）上單調(diào)遞增,在（l+Jl-4a2

，+8）上單調(diào)遞減,

1-Vl-4a21+vl-4a2

所以函數(shù)/a）的極小值點為一-——，極大值點為一-——.

2a2a

綜上，當aW0時，/（x）無極值點；

11—71—4a21+V1—4a2

當0VaV±時，函數(shù)/（外的極小值點為———,極大值點為一--.

【點評】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

與極值，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題.

16.（15分）（2024?安徽二模）據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100

次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，

多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設；中國航天科技集團有限公司計劃安排近70次宇航發(fā)射任

務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務.由于?航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前

景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試

其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離x（kkm）5663717990102110117

損壞零件數(shù)y（個）617390105119136149163

參考數(shù)據(jù):x=86,y=112,芍%=82743,Jf=i靖=62680.

（1）建立y關(guān)于x的回歸模型y=bx+a,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求），關(guān)于x的回

歸方程（b精確到0.1,a精確到1）；

（2）該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行

測試，對其中60臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器

占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗,

能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)？

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢20

未報廢

合計60100

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=刃

%C）

A2

Q=ybx,K2=（Q+b）（￡d）（a2）S+d），〃—a+Hc+出

P（片2依）0.250.10.050.0250.010.0C1

ko1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【考點】線性回歸方程.

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】（1）y=1.6X-26；

（2）補充2X2列聯(lián)表如下:

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢61420

未報廢542680

合計6040100

是否報廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯誤的概率不大丁0.01.

【分析】（1）根據(jù)最小二乘估計計算得到線性回歸方程即可;

（2）寫出2X2列聯(lián)表，根據(jù)獨立性檢驗公式計算比較即可.

82743-8x86x112

I解答】⑴由題意可知"=上尚警=

七『言「62680-8x86?

1.6

a=y-bx—26,

故），關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.6x-26.

（2）設零假設為M）：是否報廢與是否保養(yǎng)無關(guān)，

由題意，報廢推進器中保養(yǎng)過的共20X30%=6臺，未保養(yǎng)的推進器共20-6=14臺.

補充2X2列聯(lián)表如下：

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢61420

未報廢542680

合計6040100

川?2_100x(6x26-14x54)2

刑乂-20x40x60x80=9.375>6,635,

根于小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷〃。不成立，

即認為是否報廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯誤的概率不大于0.01.

【點評】本題考查回歸方程的應