第一章 直角三角形的邊角關系（3個知識歸納）

第1章直角三角形的邊角關系（知識歸納）基礎知識歸納一、銳角三角函數1.正弦、余弦、正切的定義如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：(1)sinA=，這個比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，這個比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，這個比叫做∠A的正切.要點：(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質是兩條線段的比值，它只是一個數值，其大小只與銳角的大小有關，而與所在直角三角形的大小無關.(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示∠A三個三角函數值，書寫時習慣上省略符號“∠”，但不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數中符號“∠”不能省略，應寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數有時還可以表示成等.2.銳角三角函數的定義銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數.要點：1.函數值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是∠A的函數.同樣，cosA、tanA也是∠A的函數，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應的函數.其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．銳角三角函數之間的關系：余角三角函數關系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函數關系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30°、45°、60°角的三角函數值∠A30°45°60°sinAcosAtanA130°、45°、60°角的三角函數值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數值記熟練.二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據是直角三角形中各元素之間的一些相等關系，如圖：角角關系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；邊邊關系：勾股定理，即；邊角關系：銳角三角函數，即要點：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．三、解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數學模型，善于將某些實際問題中的數量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據題意畫出幾何圖形，建立數學模型.(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.(3)根據直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.(4)得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.2.常見應用問題(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角與俯角：要點：1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：把實際問題抽象成數學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯(lián)系轉化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關系．借助生活常識