2025屆西寧第十四中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆西寧第十四中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.2.雙曲線:(),左焦點到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.4.在中,角的對邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.5.中,點在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.6.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.7.已知集合,,則()A. B.C. D.8.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15609.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.10.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.11.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值12.已知直線:過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________.14.在某批次的某種燈泡中,隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.15.已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值等于__________,此時a=____________.16.一個房間的地面是由12個正方形所組成,如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面,已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形,即或,則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點.(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.18.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.19.(12分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于,兩點,為坐標原點.(1)若直線過橢圓的上頂點,求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點,直線,,的斜率分別為,,,求的值.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時,fx+a21.(12分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當(dāng)直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.22.(10分)管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,).(1)請用角表示清潔棒的長;(2)若想讓清潔棒通過該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.2、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點為,一條漸近線的方程為,由左焦點到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點到直線的距離公式,屬于中檔題.3、D【解析】

由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過點可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.4、A【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】

求出集合,計算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項公式和前項和,利用累加法求得數(shù)列的通項公式,進而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設(shè)該數(shù)列為,令,設(shè)的前項和為,又令,設(shè)的前項和為.易,,進而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.9、C【解析】

作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.10、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用,考查計算能力.11、D【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因為,所以平面,又因為平面,所以,故正確;B.因為,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因為為定值,到平面的距離為,所以為定值,故正確;D.當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以異面直線所成角為,且,當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算,難度較難.注意求解異面直線所成角時,將直線平移至同一平面內(nèi).12、A【解析】

根據(jù)直線:過雙曲線的一個焦點,得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因為直線:過雙曲線的一個焦點,所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.14、10【解析】

先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最小值為3,此時.故答案為:3;.【點睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎(chǔ)題.16、11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定,再由此進行分類,在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進行分類,在其中會有相同元素的排列問題,需用到“縮倍法”.采用分類計數(shù)原理,求得總的方法數(shù).【詳解】(1)先貼如圖這塊瓷磚,然后再貼剩下的部分,按如下分類:5個:,3個,2個:,1個,4個:,(2)左側(cè)兩列如圖貼磚,然后貼剩下的部分:3個:,1個,2個:,綜上,一共有(種).故答案為:11.【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理,排列問題,其中涉及到相同元素的排列,用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)分別取,的中點,,連接,,,,,要證明平面,只需證明面∥面即可.(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標系,分別計算面的法向量,面的法向量可取,并判斷二面角為銳角,再利用計算即可.【詳解】(1)證明:分別取,的中點,,連接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標系由面,所以面的法向量可取,點,點,點,,,設(shè)面的法向量,所以,取,二面角的平面角為,則為銳角.所以【點睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查學(xué)生的運算能力,在做此類題時,一定要準確寫出點的坐標.18、(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】

(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設(shè)存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,即,解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數(shù)列,則,即,整理,得,即,此方程無正整數(shù)解,故不存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.若選則②,,則,若,,成等比數(shù)列,則,即,整理得,因為為正整數(shù),所以.故存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和,涉及到等比數(shù)列的性質(zhì),是一道中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)拋物線的焦點求得橢圓的焦點,由此求得,結(jié)合橢圓離心率求得,進而求得,從而求得橢圓的標準方程,求得橢圓上頂點的坐標,由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得兩點的縱坐標,由此求得的面積.(2)求得兩點的坐標,設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,由此求得的值,根據(jù)在橢圓上求得的值,由此求得的值.【詳解】(1)因為拋物線的焦點坐標為,所以橢圓的右焦點的坐標為,所以,因為橢圓的離心率為,所以,解得,所以,故橢圓的標準方程為.其上頂點為,所以直線:,聯(lián)立,消去整理得,解得,,所以的面積.(2)由題知,,,設(shè),.由題還可知,直線的斜率不為0,故可設(shè):.由,消去,得,所以所以,又因為點在橢圓上,所以,所以.【點睛】本小題主要考查拋物線的焦點,橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓,三角形的面積等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.20、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】

(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論,即可得出單調(diào)性.

(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時,0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時,a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時,x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時,f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在綜上:當(dāng)a≤0時,f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1e時,f(x)在(-∞,lna),自a=1e時,f(x)在當(dāng)a>1e時,f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因為xex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時,0≤-1當(dāng)x>-1時,a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因為h'(x)=e即hx=e又因為h0=0,所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上,a的取值范圍為-∞,1.解法二:(1)同解法一;(2)令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時,g'(x)≥0,則g(x)在所以g(x)≥

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