湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：武漢市第十七中學(xué)命題教師：黃沖審題教師：楊昌環(huán)考試時(shí)間：2024年11月14日8:00-10:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，然后結(jié)合傾斜角與斜率關(guān)系即可求解．【詳解】由題意得直線的斜率為．設(shè)直線的傾斜角為，則，由，得，故選：B．2.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓列出不等式組求解即可.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.3.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，約3000年以前，我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己計(jì)數(shù)方法．十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍．下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法．例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來(lái)后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個(gè)數(shù)作答.【詳解】1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個(gè)，其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14，41，23，32，共4個(gè)，所以所求概率為．故選：A4.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形的面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)線距公式建立方程，解之即可.【詳解】由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.故選：C5.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概念可判斷AB；取特例可判斷C；由PA=PAB+PA【詳解】對(duì)于A，由可知A，B為互斥事件，概率不一定相等，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可知A，B相互獨(dú)立，與概率大小無(wú)關(guān)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，拋擲一顆骰子，記擲出點(diǎn)數(shù)為事件A，擲出點(diǎn)數(shù)為事件B，則事件表示擲出點(diǎn)數(shù)為，為不可能事件，所以，，，顯然，由推不出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，若，則，即，反之亦然，故的充要條件是，D正確.故選：D6.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開(kāi)始傳球，作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：傳球的方式有以下形式，，所求概率為.故選：C7.橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線AP，AQ的斜率之積列方程，求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】，設(shè)Px1,y1，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓C的離心率為．故選：C8.直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A.5 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】判斷已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并確定過(guò)定點(diǎn)的直線與圓所成弦長(zhǎng)的范圍，結(jié)合圓的對(duì)稱性確定弦的條數(shù).【詳解】依題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，且圓心到該點(diǎn)的距離，當(dāng)直線與、的連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短為，而最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑為，因此所有弦的弦長(zhǎng)范圍為，所以相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，弦長(zhǎng)為，根據(jù)圓的對(duì)稱性，弦長(zhǎng)為各有2條，弦長(zhǎng)為2的只有1條，所以共有9條.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知直線：和直線：，下列說(shuō)法正確的是（

）A.始終過(guò)定點(diǎn) B.若，則或C.若，則或2 D.當(dāng)時(shí)，始終不過(guò)第三象限【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A可由含參直線定點(diǎn)坐標(biāo)求法可得；選項(xiàng)B當(dāng)時(shí)，，重合；選項(xiàng)C由一般方程垂直時(shí)系數(shù)關(guān)系可得；選項(xiàng)D化為斜截式后，由斜率和和軸上的截距可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：：，令，得，過(guò)點(diǎn)，A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，重合，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，得或2，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，：始終過(guò)，斜率負(fù)，不會(huì)過(guò)第三象限，故D正確.故選：ACD10.已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，A，B為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，若，則滿足條件的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】由題意，已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，其中為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，當(dāng)為左右兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，所以，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得解得，則，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，則，此時(shí)橢圓的方程為.故選：BCD.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實(shí)數(shù)使得【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，對(duì)于A，計(jì)算的值即可判斷；對(duì)于B，計(jì)算的值即可判斷；對(duì)于C，先計(jì)算得，接著計(jì)算，再由和平面且結(jié)合錐體體積公式即可計(jì)算求解；對(duì)于D，由計(jì)算求出即可得解.【詳解】由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，對(duì)于A，，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，由上，所以，所以即，又，所以，因?yàn)?，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系解決立體幾何中的問(wèn)題是一種常用方法，它的思維量小，計(jì)算量雖多但是計(jì)算簡(jiǎn)單，解法直接自然和簡(jiǎn)單，本題根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征建立了空間直角坐標(biāo)系，接著計(jì)算所需向量坐標(biāo)，從而根據(jù)各個(gè)問(wèn)題的向量法理論公式直接計(jì)算即可判斷求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，，則圓的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得線段中垂線方程為，聯(lián)立已知直線求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得半徑，即可得圓的方程.【詳解】由題設(shè)，且中點(diǎn)為，故線段中垂線方程為，由題意知，圓心也在上，聯(lián)立，可得圓心為，所以半徑，故圓的方程為.故答案為：13.王先生忘記了自己電腦的密碼，但記得密碼是由兩個(gè)3，一個(gè)6和一個(gè)9組成的四位數(shù)，于是他用這四個(gè)數(shù)字隨意排成一個(gè)四位數(shù)輸入電腦，則其能一次就打開(kāi)電腦的概率是________．【答案】【解析】【分析】利用古典概率模型即可求解.【詳解】由題可知，密碼的可能情況有：3369,3396,3639,3693,3936,3963,6339,6393,6933,9336,9363,9633共有12種情況，其中只有1個(gè)密碼正確，所以能一次就打開(kāi)電腦的概率是，故答案為:.14.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為．”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓的離心率為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有，，令，進(jìn)而有且，結(jié)合已知列橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】由題設(shè)，，令代入橢圓，有，令，則過(guò)該點(diǎn)的切線，即為，所以，而，故，所以，則，即，又，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線方程.【小問(wèn)1詳解】由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.【小問(wèn)2詳解】由點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，于是邊的中點(diǎn)在直線上，因此，解得，即得點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.16.垃圾分類（Garbageclassification），一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．垃圾分類具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益．小明和小亮組成“明亮隊(duì)”參加垃圾分類有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由小明和小亮各答一個(gè)題，已知小明每輪答對(duì)的概率為p，小亮每輪答對(duì)的概率為且在每輪答題中小明和小亮答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知一輪活動(dòng)中，“明亮隊(duì)”至少答對(duì)1道題概率為．（1）求p的值；（2）求“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)“一輪活動(dòng)中，“明亮隊(duì)”至少答對(duì)的1道題”，利用對(duì)立事件兩人都沒(méi)有答對(duì)可求解.（2）設(shè)“兩輪活動(dòng)中小明答對(duì)了1道題”，“兩輪活動(dòng)中小亮答對(duì)了1道題”，，1，2，分別求出其概率，設(shè)“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題”，則從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“一輪活動(dòng)中小明答對(duì)一題”，“一輪活動(dòng)中小亮答對(duì)一題”，則，.設(shè)“一輪活動(dòng)中，“明亮隊(duì)”至少答對(duì)的1道題”，則，由于每輪答題中小明和小亮答對(duì)與否不影響，所以A與B相互獨(dú)立，從而與相互獨(dú)立，所以，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)“兩輪活動(dòng)中小明答對(duì)了1道題”，“兩輪活動(dòng)中小亮答對(duì)了1道題”，，1，2.由題意得，，，設(shè)“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題”，則.由于和相互獨(dú)立，則與互斥，所以.所以，“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率為.17.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）點(diǎn)Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）若分別為中點(diǎn)，連接，易得、、、，再應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)得面，由線面垂直的性質(zhì)證、，最后綜合線面垂直的性質(zhì)及判斷定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，首先根據(jù)線面角的向量求法列方程求Q位置，再應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】若分別為中點(diǎn)，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內(nèi)，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內(nèi)，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓C:x2a2+（1）求的方程；（2）若直線與相交于不同于的，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，①求證：為直角．②求的值．【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上及焦距列方程求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）①由題設(shè)有，結(jié)合，有，即可證結(jié)論；②設(shè)，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及列方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，且，則，所以橢圓；【小問(wèn)2詳解】①在中，又，兩點(diǎn)不同于，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以為直角，得證；②設(shè)，聯(lián)立，整理得，則，所以，則，，由，綜上，將韋達(dá)公式代入上式整理得，可得或，而時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合題設(shè)，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以.19.在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，（1）設(shè)集合，記中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；（2）記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值；（3）記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W．求W的體積的值．【答案】（1），；（2），；（3）16.【解析】【分析】（1）分析題意進(jìn)行解答，分別表示出集合代表的點(diǎn)，得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可.（2）根據(jù)（1）分析得為截去三棱錐所剩下的部分，用割補(bǔ)法求解體積即可.（3）根據(jù)題設(shè)，判斷幾何體的組成，再應(yīng)用棱錐、棱柱體積公式求體積.【小問(wèn)1詳解】集合表示平面上所有的點(diǎn)，表示這八個(gè)頂點(diǎn)形成的正方體內(nèi)所有的點(diǎn)，而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它是邊長(zhǎng)為2的正方形，因此.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，表示經(jīng)過(guò)，，的平面在第一象限的部分.由對(duì)稱性，知Q表示，，，這六個(gè)頂點(diǎn)形成的正八面體內(nèi)所有的點(diǎn).而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn)，它是邊長(zhǎng)為