2024北京五十五中高一（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京五十五中高一（上）期中數(shù)學(xué)本試卷共4頁，共150分，考試時長100分鐘第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)，把答案填在答題紙上）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)命題，，則為A. B.C. D.3.若函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋敲春瘮?shù)y=fx的圖象可能是（）A.B.C.D.4.設(shè)，，則（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)，則值為（）A.7 B.9 C.11 D.156.如果偶函數(shù)在上是減函數(shù)且最小值是4，那么在上是（）A.減函數(shù)且最小值是4 B.減函數(shù)且最大值是4C.增函數(shù)且最小值是4 D.增函數(shù)且最大值是47.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“在區(qū)間上單調(diào)遞增”是“在區(qū)間上的最大值為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.若一元二次不等式的解集為，則的最小值為（）A. B. C.2 D.49.已知函數(shù)的圖象與直線恰有2個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10.用表示非空集合中的元素的個數(shù)，定義，若，，若，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合.則（）A.6 B.5 C.4 D.3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．12.已知集合，，若滿足，則實(shí)數(shù)a的值為______．13.已知函數(shù)，對一切實(shí)數(shù)，恒成立，則的一個值可以為________．14.定義為，，中的最大值，設(shè)，則的最小值為________．15.函數(shù)，給出下列四個結(jié)論①的值域是；②任意且，都有；③任意且，都有；④規(guī)定，其中，則．其中，所有正確結(jié)論的序號是______________．三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16.已知集合，．（1）當(dāng)時，求和；（2）若，求m的取值范圍．17.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；（2）用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式，并直接在本題給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象18.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（3）當(dāng)時，的最小值為3，求的值.19.已知二次函數(shù)的最小值為1，且．（1）求的解析式；（2）解關(guān)于的不等式：，其中；（3）當(dāng)時，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．20.已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還需另外投入16萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)萬件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬件產(chǎn)品的銷售收入為萬元，且已知（1）求利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式：（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時？公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，并求出最大利潤.21.已知集合，且集合具有以下性質(zhì)：①中的元素有正整數(shù)，也有負(fù)整數(shù)；②中的元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；③若，則；④,回答下列問題.（1）若，求證：；（2）判斷集合是有限集還是無限集，并說明理由；（3）判斷0和2與集合的關(guān)系，并說明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)，把答案填在答題紙上）1.【答案】C【分析】求出,再求解與的交集.【詳解】根據(jù)題意可得，則.故選：C2.【答案】B【詳解】命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題即：故選3.【答案】C【分析】根據(jù)各選項(xiàng)一一判斷其定義域與值域，即可得解.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，但是值域不是，故A錯誤；對于B：函數(shù)的定義域不是，值域?yàn)?，故B錯誤；對于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋蔆正確；對于D：不滿足函數(shù)的定義，不是一個函數(shù)的圖象，故D錯誤.故選：C4.【答案】C【分析】由，可得，A錯；利用作差法判斷B錯；利用基本不等式可得C正確；由，而，可得D錯．【詳解】，，故A錯；，，即，可得，，故B錯；，，且，則，故C正確；，，而，則，故D錯.故選：C5.【答案】D【分析】令，結(jié)合題意即可求解.【詳解】令，得，所以.故選：.6.【答案】C【分析】由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反求解即可.【詳解】偶函數(shù)在上是減函數(shù)且最小值是4，所以，則在上是增函數(shù)且最小值為，故選：C7.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、最值以及充分和必要條件等知識確定正確答案.【詳解】若“在區(qū)間上單調(diào)遞增”，則“在區(qū)間上的最大值為”；若“在區(qū)間上的最大值為”，則在區(qū)間上不一定單調(diào).所以“在區(qū)間上單調(diào)遞增”是“在區(qū)間上的最大值為”的充分不必要條件.故選：A8.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的解集求得與a的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】一元二次不等式的解集為，即為的兩實(shí)數(shù)根，故-1+2=-ba-1×2=則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，即的最小值為4.故選：D9.【答案】A【分析】將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為令，有兩個零點(diǎn)，注意到或，從而對分類討論即可求解.【詳解】令，則，由題意有兩個零點(diǎn)，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為.故選：A.10.【答案】B【分析】先求得的可能取值，然后對進(jìn)行分類討論來求得，進(jìn)而求得.【詳解】，要使，則或.當(dāng)時，，滿足.當(dāng)時，首先有兩個不同的解或，其次，對于，，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，，此時，滿足.當(dāng)時，，，此時，滿足.當(dāng)，即時，無解，不符合題意.當(dāng)，即或時，的解為或，不是的解，由，解得，當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，不符合題意.綜上所述，.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上）11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列不等式求函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)的定義域需滿足，解得：且，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：12.【答案】－3【分析】根據(jù)交集定義，若，則且，從而討論集合的情況，確定實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意可得，且，當(dāng)時，解得，此時，，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，，中元素不滿足互異性，不符合題意，舍去，當(dāng)時，，，，符合題意，綜上所述，，故答案為：－3.13.【答案】-1（答案不唯一）【分析】討論m的取值，解相應(yīng)不等式，求出符合題意的m的范圍，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，fx=-x<0,∴x>0當(dāng)時，對一切實(shí)數(shù)，恒成立，需滿足，解得，故的一個值可以為，故答案為：（答案不唯一）14.【答案】4【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象即可得到函數(shù)的最小值.【詳解】分別畫出的圖象，則函數(shù)的圖象為圖中實(shí)線部分，如圖，函數(shù)的最低點(diǎn)為，由，解得或，即，所以的最小值為4.故答案為：4.15.【答案】①②④【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的性質(zhì)、代入法逐一判斷即可；【詳解】①：當(dāng)時，，當(dāng)時，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，因此?dāng)時，；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，，所以有，所以的值域是，故①正確；②：不妨設(shè)，由，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，由①可知：該函數(shù)在時，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，符合題意，故②正確；③：當(dāng)任意且時，令，，，顯然，因此不成立，故③不正確；④：當(dāng)時，，，，，，于是有，因此，故④正確，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分式型函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）求出集合后根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）根據(jù)集合運(yùn)算得出集合間包含關(guān)系，再由包含關(guān)系求參數(shù)范圍．【小問1詳解】當(dāng)時，，因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，得或，所以m的取值范圍為或．17.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2），圖象見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷和證明.（2）根據(jù)絕對值的知識化簡的解析式，并畫出圖象.【小問1詳解】是奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域是，，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】依題意，由此畫出的圖象如下圖所示：18.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞減；證明見解析（3）1【分析】（1）代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得參數(shù)值得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明；（3）結(jié)合單調(diào)性得最小值從而可求解．【小問1詳解】由題意知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，故，解得，故；【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減；證明：設(shè)，且，則，因?yàn)?，故，即，故函?shù)在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由（2）知在是減函數(shù)，因此，解得或，又，所以．19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)，求得，即可得到函數(shù)的解析式；（2）原不等式等價(jià)于x2+a-2x>0（3）依題意可得不等式在區(qū)間上恒成立，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】由題意，函數(shù)是二次函數(shù)，且，可得函數(shù)的對稱軸為，又由最小值為，可設(shè)，又，即，解得，所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】fx因?yàn)?，所以，所以x2+a-2所以若，則關(guān)于的不等式：fx+2ax-3>0的解集為.【小問3詳解】因?yàn)楫?dāng)時，fx>2x+2m+1恒即當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，恒成立，設(shè)函數(shù)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上的最小值為，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.20.【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為32萬件時，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬元.【分析】（1）利用利潤等于收入減去成本，分兩種情況討論得到分段函數(shù)的解析式；（2）求出分段函數(shù)的每一段的最大值，再比較最大值即得解.【小問1詳解】由題得利潤等于收入減去成本.當(dāng)時，；當(dāng)時，.【小問2詳解】當(dāng)時，時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，時，的最大值為6104萬元，即當(dāng)年產(chǎn)量為32萬件時，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬元.21.【答案】（1）證明見解析（2）無限集，理由見解析（3）0是中元素，2不是中元素，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件③即可證明；（2）根據(jù)（1）的證明過程及條件③即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)條件取中的兩個元素即可判斷；結(jié)合①②中的條件，分情況假設(shè)，推出，與④矛盾，假設(shè)不