2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)第五十中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)第五十中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3?4i，則z的虛部為(

)A.3i B.?3i C.3 D.?32.已知集合A=x∣x?2≤0,B=x∣x2A.?1,2 B.?3,1 C.?∞,2 D.?∞,33.函數(shù)fx=3sinωx?π6ω>0，fx1=?3，fA.12 B.1 C.2 D.4.已知向量a=1,1,b=x,?1，則“x=?1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件5.在?ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA.π6 B.π3 C.2π36.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若aA.{an}有最大項，{Sn}有最大項 B.{an}有最大項，{Sn}有最小項7.在等腰梯形ABCD中，AB=?2CD．M為BC的中點，則AM=A.12AB+12AD B.38.已知函數(shù)fx=aex?x在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，則實數(shù)A.e2 B.e C.e?1 9.點M,N分別是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中棱BC,CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1A.2,5 B.322,10.已知函數(shù)fx=x2?x,x≤0,x?alnx,x>0,若?x1A.?∞,0∪e,+∞ B.e,+∞

C.0,e 二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.二項式(x?2x)12.函數(shù)f(x)=1x+1?x13.已知命題p：?x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命題p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

14.已知等邊?ABC的邊長為4，E?,?F分別是AB?,?AC的中點，則EF?EA=

；若M?,?N是線段BC上的動點，且MN=1，則EM?15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABCD①D②存在一點P，D1③若D1O⊥OP，則△D④若P到直線D1C1的距離與到點B其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.在?ABC中a=1，?b=2．(1)若c=22，求(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使?ABC存在，求∠A．條件①：∠B=2∠A；條件②：∠B=π3+∠A；條件③：17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，?AC=CD=5(1)求證：PD⊥AB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說明理由．18.人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數(shù)學(xué)知識并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫A，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計“一”與其后面一個字(或標(biāo)點)的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個字(或標(biāo)點)的搭配情況頻數(shù)“一個”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他a假設(shè)用頻率估計概率．(1)求a的值，并估計甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現(xiàn)的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；(3)另外隨機選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫B進行統(tǒng)計，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時，“一個”和“一格”誰在前面更合適？(結(jié)論不要求證明)19.已知橢圓E:x2a2+y(1)求橢圓E的方程；(2)過點G0,2作直線l交橢圓E于不同的兩點A,B，直線PA交y軸于點M，直線PB交y軸于點N.若GM?GN=220.已知函數(shù)fx=x(1)求曲線y=fx在點0,f(2)求fx在區(qū)間?1,1(3)當(dāng)a=1時，求證：fx≥21.對于數(shù)列A:a1，a2，a3，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B:b1，b2，b3，其中bi=ai?ai+1(i=1,2)，且b(1)直接寫出A:2，6，4經(jīng)過1次“T變換”得到的數(shù)列B，及B再經(jīng)過3次“T變換”得到的數(shù)列E；(2)若A經(jīng)過n次“T變換”后變換結(jié)束，求n的最大值；(3)設(shè)A:a1,a2,a3ai∈N,i=1,2,3，B=T(A).已知B:2，a，b，且B的各項之和為2022，若B參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

11.60

12.(?∞,0)∪(0,1]

13.0,1

14.2

；

；

；

；

；

；1115.①③

16.(1)由題意可知a=1，b=2，c=2所以cosC=又因為C∈0,π，所以C∈所以sinC=所以S?ABC(2)若選①，則有∠B=2∠A且a=1，b=2，由asinA=所以1cosA=1因為0<A<π，故無解，不滿足題意；若選②，則有∠B=π3+∠A且a=1由asinA=所以2sin即32sinA?又因為A∈0,π，解得A=若選③，則有∠C=2∠A且a=1，?b=2，由asinA=所以c=2cos所以cosA=b2因為a<b，所以A不可能為鈍角或直角，只能為銳角，所以cosA=3綜上，選②或選③，A=π

17.(1)因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因為PD?平面PAD，所以AB⊥PD，(2)取AD的中點O，連結(jié)PO，CO，因為PA=PD，所以PO⊥AD．又因為PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO．因為AC=CD，所以CO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC,OA,OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，由題意得，A0,1,0，B1,1,0，C2,0,0，D設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)n?PD令z=2，則x=1，y=?2．所以n=又PB=1,1,?1，所以所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為3(3)設(shè)M是棱PA上一點，則存在λ∈0,1使得AM因此點M0,1?λ,λ，BM因為BM?平面PCD，所以BM//平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BM?即?1,?λ,λ?1,?2,2=0所以在棱PA上存在點M使得BM//平面PCD，此時AMAP

18.解：(1)由題意可得a=30?6?4?2?2=16

，故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為301200(2)由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，搭配“一個”出現(xiàn)的概率為P=6則X～B(2,15)，則P(X=0)=P(X=2)=C故X的分布列為：X012P1681則E(X)=2×1(3)由題意知樣本語料庫B中“一格”出現(xiàn)的概率為2800甲類題材中“一個”出現(xiàn)的概率為61200由于1200>1

19.(1)將點P?2,1,Q22,0坐標(biāo)代入橢圓E的方程，得4a(2)若直線l的斜率不存在，即直線l為x=0時，A和M重合，B和N點重合，分別為橢圓的上下頂點0,20,?若直線l斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，Ax1,y1Bx2,y2xx1+x2=?16k4k2+1由GM?GN=2得2y1?1x1即2k?124k2?8k+3=1，因為k>12綜上所述，直線l的方程為y=x+2或x=0．

20.解：(1)f′x=1+axeax

，

f′0所以曲線

y=fx

在點

0,f0

處的切線方程為

y=x(2)f′x=1+axeax當(dāng)

0<a≤1

時，

f′x≥0

在區(qū)間

?1,1

上恒成立，

fx

在區(qū)間

所以函數(shù)

fx

的最小值為

f(?1)=?e?a

，最大值為

當(dāng)

a>1

時，令

f′x=0

，得

x=?

在區(qū)間

?1,?1a

上f′x<0，函數(shù)

在區(qū)間

?1a,1上，

f′x>0所以函數(shù)

fx

的最小值為

f?f(?1)=?e?a

，

f1=ea

，顯然

f1>f?1

綜上可知，當(dāng)

0<a≤1

時，函數(shù)

fx

的最小值為

f(?1)=?e?a

，最大值為

當(dāng)

a>1

時，函數(shù)

fx

的最小值為

f?1a=?1(3)當(dāng)

a=1

時，

fx=xex

，即證明不等式設(shè)

gx=xex?lnx?x?1

，

設(shè)

?x=ex?1x

，

所以

?x

在

0,+∞上

單調(diào)遞增，并且

?12=e所以函數(shù)

?x

在

12,1

上存在唯一零點

x0

，使即

g′x0=0

，則在區(qū)間

0,x0

，

g′x在區(qū)間

x0,+∞

，

g′x>0

，所以

gx

的最小值為

gx由

?x0=ex0?1x0所以

gx0所以

gx=xex?ln

21.(1)B=T(A)A:2，6，4經(jīng)過1次“T變換”得B：4，2，2，B：4，2，2，經(jīng)過1次“T變換”得2，0，2；B經(jīng)過第2次“T變換”得2，2，0；B經(jīng)過第3次“T變換”得0，2，2.即E：0，2，2．(2)n的最大值為1①先證明n可以為1構(gòu)造A：1，1，1，則T(A)：0，0，0，變換結(jié)束，此時n=1．②再證明n≤1反證法：假設(shè)n≥2設(shè)經(jīng)過n?1次“T變換”后得到的數(shù)列為x,y,z，且x,y,z不全為0．因為A經(jīng)過n次“T變換”后變換結(jié)束，所以x?y=y?z=z?x=0，所以設(shè)x,y,z(即t,t,t)由x1,y則x不妨設(shè)x所以x所以x1?z綜上，n的最大值為1(3)因為B的各項之和為2+a+b=2022，不妨設(shè)a≤b，所以b為B的最大項即a1?a3當(dāng)a1≥所以2+a=b，則a=1009,b=1011當(dāng)a1≤所以2+a=b，則a=1009,b=1011定義：若一個數(shù)列有三項，且最小項為2，較大兩項相差2，則稱此數(shù)列與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)相同”．若數(shù)列B的三項為x+2,x,2(x≥2)，則無論其順序如何，經(jīng)過“T變換”得到的數(shù)列的三項為x,x?2,2(不考慮順序)所以與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)相同”的數(shù)