2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.1.1離散型隨機變量學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE2．1離散型隨機變量及其分布列2．1.1離散型隨機變量內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會分析隨機變量的意義，知道隨機變量與函數(shù)的區(qū)分與聯(lián)系．2.能區(qū)分別散型與非離散型隨機變量，能舉出離散型隨機變量的例子．3.能理解隨機變量所表示的試驗結(jié)果的含義，并恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量.利用數(shù)學(xué)抽象提升數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第24頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點一隨機變量eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P44，思索并完成以下問題)(1)擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)可以用數(shù)字1,2,3,4,5,6來表示．那么擲一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字來表示呢？提示：擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面對上、反面對上兩種結(jié)果．雖然這個隨機試驗的結(jié)果不是數(shù)字，但我們可以用數(shù)1和0分別表示正面對上和反面對上．(2)在一塊地里種10棵樹苗，成活的棵數(shù)為x，則x可取哪些數(shù)字？提示：x可取0,1,2,3，…，10.學(xué)問梳理1.隨機變量的定義在隨機試驗中，可以確定一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)學(xué)表示，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的改變而改變，像這種隨著試驗結(jié)果改變而改變的變量稱為隨機變量．2．隨機變量常用字母X，Y，∈，η，…表示．3．隨機變量與函數(shù)的關(guān)系相同點隨機變量和函數(shù)都是一種一一對應(yīng)關(guān)系區(qū)分隨機變量是隨機試驗的結(jié)果到實數(shù)的一一對應(yīng)，函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應(yīng)聯(lián)系隨機試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域?qū)W問點二離散型隨機變量學(xué)問梳理1.定義：全部取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量．2．特征：(1)可用數(shù)字表示．(2)試驗之前可以推斷其出現(xiàn)的全部值．(3)在試驗之前不能確定取何值．(4)試驗結(jié)果能一一列出．[自我檢測]1.已知6件同類產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，從中任取1件，則可以作為隨機變量的是()A．取到的產(chǎn)品個數(shù)B．取到的正品個數(shù)C．取到正品的概率D．取到次品的概率答案：B2．一個口袋內(nèi)裝有除顏色外其他都相同的3個紅球，2個藍(lán)球，從中任取3個，用X表示所取球中紅球的個數(shù)，則X的全部可能取值為________．答案：1,2,3授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第25頁探究一隨機變量的概念[閱讀教材P45練習(xí)1改編]下列隨機試驗的結(jié)果能否用隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值．(1)拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和；(2)某足球隊在5次點球中射進(jìn)的球數(shù)；(3)隨意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料，其實際量與規(guī)定量之差．解析：(1)能用隨機變量表示，可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.(2)能用隨機變量表示，可能取值為0,1,2,3,4,5.(3)能用隨機變量表示，可能取值為－2500≤x≤2500.[例1]推斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由：(1)北京國際機場候機廳中某天的旅客數(shù)量；(2)2019年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(3)2018年6月1日濟(jì)南到北京的某次動車到北京站的時間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．[解析](1)旅客人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨機變量．(2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨機變量．(3)動車到達(dá)的時間是在某一區(qū)間內(nèi)的隨意一值，是隨機的，因此是隨機變量．(4)當(dāng)球的體積為1000cm3時，半徑為定值，不是隨機變量．方法技巧1.隨機變量的取值是將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化；2．隨機變量的取值對應(yīng)于某隨機試驗的某一次隨機事務(wù)；3．有些隨機試驗的結(jié)果不具有數(shù)量關(guān)系，但我們?nèi)钥梢杂脭?shù)量表示它；4．對隨機變量的全部可能取值都要明確，不能重復(fù)也不能遺漏．在一次隨機試驗中，隨機變量的取值實質(zhì)上是隨機試驗的結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)，且這個數(shù)全部可能的取值是預(yù)先知道的，但不知道原委會出現(xiàn)哪一個．跟蹤探究1.指出下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)隨意擲一枚勻稱硬幣5次，出現(xiàn)正面對上的次數(shù)；(2)投一顆質(zhì)地勻稱的骰子出現(xiàn)的點數(shù)(最上面的數(shù)字)；(3)某個人的屬相隨年齡的改變；(4)在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，水在0℃解析：(1)隨意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面對上也可能出現(xiàn)反面對上，因此投擲5次硬幣，出現(xiàn)正面對上的次數(shù)可能是0,1,2,3,4,5，而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機的，是隨機變量．(2)投一顆骰子出現(xiàn)的結(jié)果是1點，2點，3點，4點，5點，6點中的一個且出現(xiàn)哪個結(jié)果是隨機的，因此是隨機變量．(3)屬相是誕生時便定的，不隨年齡的改變而改變，不是隨機變量．(4)標(biāo)準(zhǔn)狀況下，在0℃探究二離散型隨機變量的判定[閱讀教材P49習(xí)題2.1A組1題]下列隨機試驗的結(jié)果能否用離散型隨機變量表示？若能，則寫出各隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)從學(xué)?；丶乙?jīng)過5個紅綠燈口，可能遇到紅燈的次數(shù)；(2)在優(yōu)、良、中、及格、不及格5個等級的測試中，某同學(xué)可能取得的成果．解析：(1)能用離散型隨機變量表示．設(shè)能遇到的紅燈個數(shù)為X，它可能取值為0,1,2,3,4,5.事務(wù){(diào)x＝0}表示5個路口遇到的都不是紅燈．事務(wù){(diào)x＝1}表示5個路口其中1個路口遇到紅燈．其余4個路口都不是紅燈．事務(wù){(diào)x＝2}表示5個路口，其中2個路口遇到紅燈，其余3個路口都不是紅燈．事務(wù){(diào)x＝3}表示5個路口，其中3個路口遇到紅燈，其余2個路口都不是紅燈．事務(wù){(diào)x＝4}表示5個路口，其中4個路口遇到紅燈，其余1個路口不是紅燈．事務(wù){(diào)x＝5}表示5個路口全部遇到紅燈．(2)能用離散型隨機變量表示X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，成果不及格,2，成果及格,3，成果中,4，成果良,5，成果優(yōu)))則X是一個離散型隨機變量，可能的值為1,2,3,4,5.事務(wù){(diào)x＝1}表示該同學(xué)取得的成果為不及格．事務(wù){(diào)x＝2}表示該同學(xué)取得的成果為及格．事務(wù){(diào)x＝3}表示該同學(xué)取得的成果為中．事務(wù){(diào)x＝4}表示該同學(xué)取得的成果為良．事務(wù){(diào)x＝5}表示該同學(xué)取得的成果為優(yōu)．[例2]下面給出四個隨機變量：①某高速馬路上某收費站在將來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個隨機變量；②一個沿直線y＝x進(jìn)行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置Y是一個隨機變量；③某網(wǎng)站將來1小時內(nèi)的點擊量；④一天內(nèi)的溫度η.其中是離散型隨機變量的為()A．①② B．③④C．①③ D．②④[解析]①收費站在將來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X有限且可一一列出，是離散型隨機變量；同理③也是；而②④都是不行一一列出的連續(xù)改變的數(shù)，不符合離散型隨機變量的定義．[答案]C方法技巧“三步法”判定離散型隨機變量(1)依據(jù)詳細(xì)情境分析變量是否為隨機變量．(2)由條件求解隨機變量的值域．(3)推斷變量的取值能否一一列舉出來，若能，則是離散型隨機變量；否則，不是離散型隨機變量．跟蹤探究2.指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由：(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數(shù)；(2)一個袋中裝有大小相同的5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)；(3)某林場中的樹木最高達(dá)30m，則此林場中樹木的高度；(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差．解析：(1)是離散型隨機變量．因為只要取出一張，便有一個號碼，所以被取出的卡片號數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義．(2)是離散型隨機變量．因為從10個球中取3個球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球．所以所含白球的個數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義．(3)不是離散型隨機變量．因為林場中樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0,30]內(nèi)的一切值，無法一一列出，所以不是離散型隨機變量．(4)不是離散型隨機變量．因為實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，所以不是離散型隨機變量．探究三用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果[例3]寫出下列隨機變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，取后不放回，直到取出的球是白球為止，所須要的取球次數(shù)；(2)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X.[解析](1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1,2,3,4，…，11.(2)X的全部可能取值為0,1,2,3.X＝0表示取5個球全是紅球；X＝1表示取1個白球，4個紅球；X＝2表示取2個白球，3個紅球；X＝3表示取3個白球，2個紅球．方法技巧解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機變量的全部可能的取值，以及其取每一個值時對應(yīng)的意義，即一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機試驗的結(jié)果，解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果．跟蹤探究3.寫出下列隨機變量X可能取的值，并說明隨機變量X＝4所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)從10張已編號的卡片(編號從1號到10號)中任取2張(一次性取出)，被取出的卡片的較大編號為X；(2)某足球隊在點球大戰(zhàn)中5次點球射進(jìn)的球數(shù)為X.解析：(1)X的全部可能取值為2,3,4，…，10.其中X＝4表示的試驗結(jié)果為“取出的兩張卡片中的較大編號為4”．基本領(lǐng)件有如下三種：取出的兩張卡片上的編號分別為1和4,2和4,3和4.(2)X的全部可能取值為0,1,2,3,4,5.其中X＝4表示的試驗結(jié)果為“5次點球射進(jìn)4個球”．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第26頁[課后小結(jié)](1)所謂的隨機變量就是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系，隨機變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)于隨機試驗的某一個隨機事務(wù)．(2)寫隨機變量表示的結(jié)果，要看三個特征：①可用數(shù)來表示；②試驗之前可以推斷其可能出現(xiàn)的全部值；③在試驗之前不能確定取值．[素養(yǎng)培優(yōu)]隨機變量中因忽視題目中的條件而致錯小王參與一次競賽，競賽共設(shè)三關(guān)，第一、其次關(guān)各有兩個必答題．假如每關(guān)兩個問題都答對，可進(jìn)入下一關(guān)，第三關(guān)有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關(guān)勝利．每過一關(guān)可一次性獲得價值分別為1000元，3000元，6000元的獎品(不重復(fù)得獎)，小王對三關(guān)中每個問題回答正確的概率依次為eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，且每個問題回答正