第7章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

第7章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)第一節(jié)數(shù)制與編碼第二節(jié)邏輯函數(shù)的表示方法第三節(jié)邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則第四節(jié)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達式第五節(jié)邏輯函數(shù)的化簡教學(xué)目的及要求：

1.掌握常用的數(shù)制及其數(shù)值之間的相互轉(zhuǎn)換2.常用BCD碼3.掌握幾種基本的邏輯運算和導(dǎo)出的邏輯運算教學(xué)重點：數(shù)值間的相互轉(zhuǎn)換；與、或、非及幾種導(dǎo)出的運算教學(xué)難點：數(shù)值間的相互轉(zhuǎn)換；與、或、非及幾種導(dǎo)出的運算第7章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)權(quán)權(quán)權(quán)特點：1)基數(shù)10，逢十進一，即9+1=103)不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值10i。

4)任意一個十進制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項式的形式按權(quán)展開式

2)有0-9十個數(shù)字符號，數(shù)碼Ki從0-9(276)D=2×102+7×101+6×100

1.十進制數(shù):第一節(jié)數(shù)制與編碼

2.二進制數(shù)1）基數(shù)2，逢二進一，即1+1=103）不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值2i。4）任意一個二進制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項式的形式2)有0-1兩個數(shù)字符號，數(shù)碼Ki從0-1

例7-1四位二進制數(shù)1011，可以表示成

(1101)2=1×23+1×22+0×21+1×20=

8+4+0+1=（13）10

二進制數(shù)的運算規(guī)則：加法0+0=00+1=1+0=11+1=10

乘法0×0=00×1=1×0=01×1=1

從以上可知，二進制數(shù)比較簡單，只有0和1兩個數(shù)碼，并且算術(shù)運算也很簡單，所以二進制數(shù)在數(shù)字電路中獲得廣泛應(yīng)用。但是二進制數(shù)也有缺點：用二進制表示一個數(shù)時，位數(shù)多，讀寫不方便，而且也難記憶。

式中，下標(biāo)“O”表示八進制數(shù)，Ki表示第i位的系數(shù)，可取0~7這8個數(shù)；8i為第i位的權(quán)；n為原數(shù)總位數(shù)。例如，（128）8=（1×82+2×81+8×80）10=（64+16+8）10=（88）10

3.八進制數(shù)八進制數(shù)是以8為基數(shù)的計數(shù)體制，采用“逢八進一”的計數(shù)規(guī)律。

任意一個八進制數(shù)(N)8可寫成按權(quán)展開式

4.十六進制數(shù)十六進制數(shù)是以16為基數(shù)的計數(shù)體制，它用0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)這16個數(shù)碼表示，采用“逢十六進一”的計數(shù)規(guī)律。四位二進制碼可用一位十六進制碼表示。任意一個十六進制數(shù)(N)H可以寫成按權(quán)展開式(8-4)例如（4E6）16=4×162+14×161+6×160=（1254）10幾種數(shù)制對照表二、數(shù)制的轉(zhuǎn)換1.非十進制轉(zhuǎn)換成十進制將一個二進制、八進制或十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，只要寫出該進制數(shù)的按權(quán)展開式，然后按十進制數(shù)的計數(shù)規(guī)律相加，就可得到所求的十進制數(shù)。

(10011)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＝（19）D（128）8=（1×82+2×81+8×80）10=（64+16+8）10=（88）10（5D）16=（5×161+13×160）10=（80+13）10=（93）10

2.十進制數(shù)轉(zhuǎn)換二進制例7-2求[29]10=[]2?！俺?取余法”2222229147310…余1…余0…余1…余1…余1高位底位[29]10=[11101]23.二進制、八進制和十六進制的相互轉(zhuǎn)換1）二進制和八進制的相互轉(zhuǎn)換

一個二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制，只需把二進制數(shù)從小數(shù)點位置向兩邊按3位二進制數(shù)劃分開，不足3為的補0，然后把3位二進制數(shù)表示的八進制數(shù)寫出來就是對應(yīng)的八進制數(shù)。如：（101011100101）2=（101

011

100

101）2=（5345）8將一個八進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制，只要把八進制數(shù)的每一位用3位二進制數(shù)表示出來即為對應(yīng)的二進制數(shù),如：（6574）8=（110

101

111

100）2=（110101111100）2

2）二進制和十六進制的相互轉(zhuǎn)換一個二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進制，只需把二進制數(shù)從小數(shù)點位置向兩邊按4位二進制數(shù)劃分開，不足4為的補0，然后把4位二進制數(shù)表示的八進制數(shù)寫出來就是對應(yīng)的十六進制數(shù)。十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制，只需將每一位十六進制數(shù)用四位二進制數(shù)表示即可。如（10111010110）2=（010111010110）2=（5D6）16（9A7E）16=（1001101001111110）2=（1001101001111110）2三、編碼數(shù)字設(shè)備只能識別0和1，為了溝通人—機聯(lián)系，用一定位數(shù)的二進制數(shù)碼的組合來表示十進制數(shù)碼和字母等符號。這種特寫的0和1的組合稱為代碼，建立代碼與信息之間的一一對應(yīng)關(guān)系稱為編碼。1、二—十進制編碼(BCD碼)

二—十進制編碼是用四位二進制碼的10種組合表示十進制數(shù)0~9，簡稱BCD碼。這種編碼至少需要用四位二進制碼元，而四位二進制碼元可以有

16種組合。當(dāng)用這些組合表示十進制數(shù)0~9時，有六種組合不用，所以二—十進制編碼有多種，常見的有8421BCD碼、2421BCD碼和5421BCD碼。如表7-1所示：1）8421BCD碼

8421BCD碼是最基本和最常用的BCD碼，它和四位自然二進制碼相似，各位的權(quán)值為8、4、2、1，故稱為有權(quán)BCD碼。和四位自然二進制碼不同的是，它只選用了四位二進制碼中前10組代碼，即用0000~1001分別代表它所對應(yīng)的十進制數(shù)，余下的六組代碼不用2、可靠性代碼代碼在數(shù)字系統(tǒng)或計算機中形成與傳送過程中，都可能發(fā)生錯誤。為使代碼不易出錯，或者出錯時容易發(fā)現(xiàn)，甚至能查出錯誤的位置，除提高計算機本身的可靠性外，人們還采用可靠性編碼。常用的可靠性代碼有格雷碼、奇偶校驗碼。1）格雷碼（Gray）

Gray碼也稱循環(huán)碼，最基本的特性是任何相鄰的兩組代碼中，僅有一位數(shù)碼不同，因而又叫單位距離碼。從表中看出，這種代碼除了具有單位距離碼的特點外，還有一個特點就是具有反射特性，即按表中所示的對稱軸為界，除最高位互補反射外，其余低位數(shù)沿對稱軸鏡像對稱。

利用這一反射特性可以方便地構(gòu)成位數(shù)不同的Gray碼。2）奇偶校驗碼組成

信

息位：需要傳送的信息本身。

1位奇偶檢驗位：取值為0或1，以使整個代碼中“1”的個數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)。

使“1”的個數(shù)為奇數(shù)的稱奇校驗，為偶數(shù)的稱偶校驗。

00110101106001011010151010000100400011100113100100001021000100001100000100000校驗碼信息碼校驗碼信息碼偶校驗碼奇校驗碼十進制數(shù)第二節(jié)邏輯函數(shù)的表示方法一、三種基本邏輯運算與邏輯運算或邏輯運算非邏輯運算1.與運算2.或運算3.非運算二、復(fù)合邏輯運算

1.與非邏輯與非邏輯運算的實質(zhì)是對與運算的結(jié)果再進行非運算。其邏輯表達式為：條件A條件B結(jié)果Y001101011110與非邏輯的運算法則是：有0出1，全1出0

2.或非邏輯“或”和“非”的復(fù)合運算稱為或非運算，先“或”后“非”。邏輯表達式為條件A條件B結(jié)果Y001101011000或非邏輯運算法則是：有1出0，全0出1

3.與或非邏輯“與”、“或”和“非”的復(fù)合運算稱為與或非運算。先“與”后“或”再“非”。邏輯表達式：

4.異或運算所謂異或運算，是指兩個輸入變量取值相同時輸出為0，取值不相同時輸出為1。邏輯表達式：異或運算ABY101101001100異或邏輯運算的規(guī)則：相同為0，相異為1。5.同或運算

所謂同或運算，是指兩個輸入變量取值相同時輸出為1，取值不相同時輸出為0。邏輯表達式：式中，符號“⊙”表示同或運算，讀作“同或”。ABY101101000011同或運算同或邏輯運算的規(guī)則：相同為1，相異為0三、邏輯函數(shù)及其表示方法

1.邏輯變量和邏輯函數(shù)

在數(shù)字系統(tǒng)中，開關(guān)的接通與斷開，電壓的高和低，信號的有和無，晶體管的導(dǎo)通與截止等兩種穩(wěn)定的物理狀態(tài)，均可用1和0這兩種不同的邏輯值來表征，這種僅有兩個取值的自變量稱為邏輯變量，通常用字母A、B、C…來表示。如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為：

所以邏輯函數(shù)是用有限個與、或、非等邏輯運算符，應(yīng)用邏輯關(guān)系將若干個邏輯變量A、B、C等連接起來的表達式。

注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。2.邏輯函數(shù)的表示方法1)真值表真值表是用數(shù)字符號表示邏輯函數(shù)的一種方法。它反映了各輸入邏輯變量的取值組合與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。對一個確定的邏輯函數(shù)來說，它的真值表也惟一被確定。特點：能夠直觀、明了地反映變量取值與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。

A

B

CYA

B

CY0

0

001

0

000

0

101

0

110

1

001

1

010

1

111

1

11例7-3一個多數(shù)表決電路，有三個輸入端，一個輸出端，它的功能是輸出與輸入的多數(shù)一致。試列出該電路的真值表。解：根據(jù)題意，設(shè)三個輸入變量為A、B、C，輸出為Y。當(dāng)三個輸入變量中有兩個及兩個以上為1時，輸出為1；輸入有兩個及兩個以上為0時，輸出為0。由此，可列出真值表。2)邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式是用與、或、非等運算關(guān)系組合起來的邏輯代數(shù)式。它是數(shù)字電路輸入量與輸出量之間邏輯函數(shù)關(guān)系的表達式，也稱函數(shù)式或代數(shù)式。優(yōu)點：形式簡潔，書寫方便，直接反映了變量間的運算關(guān)系，便于用邏輯圖實現(xiàn)該函數(shù)。例7-4?寫出如圖所示邏輯圖的函數(shù)表達式。解：根據(jù)門電路的邏輯符號和對應(yīng)的邏輯運算，由前向后逐級推算，即可寫出輸出函數(shù)Y的表達式3)邏輯圖

邏輯圖是用邏輯符號表示邏輯函數(shù)的方法。特點：邏輯符號與數(shù)字電路器件有明顯的對應(yīng)關(guān)系，比較接近于工程實際。它可以把實際電路的組成和功能清楚地表示出來，另外又可以從已知的邏輯圖方便地選取電路器件，制作成實際數(shù)字電路。

例7-5畫出與函數(shù)式Y(jié)=AB+BC+AC對應(yīng)的邏輯圖。解：分析表達式，并根據(jù)運算順序，首先應(yīng)用三個與門分別實現(xiàn)A與B、B與C和A與C，然后再用或門將三個與項相加。4)波形圖波形圖反映了邏輯變量的取值時間變化的規(guī)律，所以也叫做時序圖。波形圖可以直觀地表達輸入變量與輸出變之間的邏輯關(guān)系。第三節(jié)

邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則一、基本公式

根據(jù)基本邏輯運算，可以推導(dǎo)出邏輯代數(shù)的基本公式與定律，這些公式、定律的正確性可借助真值表來驗證。1、邏輯常量運算公式三、基本規(guī)則

邏輯代數(shù)有3條重要規(guī)則，即代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則1、代入規(guī)則任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。例如，給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用(C+D)代替，則該邏輯等式仍然成立，即

2、反演規(guī)則對于任意一個邏輯函數(shù)式F，做如下處理：1）若把式中的運算符“.”換成“+”,“+”

換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；3）原變量換成反變量，反變量換成原變量；那么得到的新函數(shù)式為原函數(shù)式F的反函數(shù)式F。應(yīng)用反演規(guī)則時注意：（1）保持原函數(shù)的運算次序--先與后或，必要時適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?；?）不屬于單個變量上的非號的兩種處理方法：非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換。3.對偶規(guī)則對偶式,對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：1）若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；得到的新函數(shù)為原函數(shù)F的對偶式F′，也稱對偶函數(shù)。對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。即若F1=F2則F1′=F2′。若兩個邏輯函數(shù)表達式F和G相等，則其對偶式F’和G’也相等。這一規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例7-7第四節(jié)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達式一、邏輯函數(shù)的常見形式（最簡的概念）（1）與或表達式：

（2）或與表達式：Y（3）與非-與非表達式：Y（4）或非-或非表達式：Y（5）與或非表達式：Y其中，與或表達式、或與表達式是邏輯函數(shù)的兩種最基本表達形式。

對于不同類型的表達式，最簡的標(biāo)準(zhǔn)也不一樣。最常見的表達式是“與或”式，由它可以比較容易地轉(zhuǎn)換成其它類型的