直角三角形存在性問(wèn)題專(zhuān)題攻略

課題內(nèi)容直角三角形存在性問(wèn)題一、專(zhuān)題攻略1、解直角三角形的存在性問(wèn)題，一般分三個(gè)步驟第一步尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根。2、解直角三角形的問(wèn)題，常常和相似三角形、三角比的問(wèn)題聯(lián)系在一起。3、一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類(lèi)，然后按照三角比或勾股定理列方程。4、在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式常常用得到。5、有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡(jiǎn)便。二、典型例題例、如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x2十2x+3的圖象與，軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為P.如果點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)三、針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC．設(shè)AB=x，若△ABC為直角三角形，求x的值．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．【專(zhuān)題】分類(lèi)討論．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，即可得到關(guān)于x的不等式組，求出x的取值范圍，再根據(jù)勾股定理，即可列方程求解．【解答】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2；①若AC為斜邊，則1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，無(wú)解，②若AB為斜邊，則x2=（3﹣x）2+1，解得x=，滿足1＜x＜2，③若BC為斜邊，則（3﹣x）2=1+x2，解得x=，滿足1＜x＜2，故x的值為：或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及勾股定理，正確理解分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，P是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且△ABP是直角三角形．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B、P三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果第（2）小題中求得的二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)該函數(shù)圖象上的點(diǎn)C，點(diǎn)P的直線與x軸交于點(diǎn)D，試比較∠BPD與∠BAP的大小，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專(zhuān)題】綜合題．【分析】（1）先求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再分析△ABP滿足是直角三角形時(shí)P點(diǎn)的情況，可分為AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況作答．（2）對(duì)（1）求得的P點(diǎn)坐標(biāo)分別討論是否滿足二次函數(shù)拋物線，求得二次函數(shù)的解析式．（3）由點(diǎn)的坐標(biāo)可證得△PBD∽△APD，則∠BPD與∠BAP滿足相等．【解答】解：（1）由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．（i）當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，x=2，y=1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，1）；（ii）當(dāng)∠APB=90°時(shí)，PA2+PB2=AB2，即（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16①．又由，可得y2=，代入①解得：（負(fù)值不合題意，舍去）．當(dāng)時(shí)，．∴點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，1）或（，）．（2）設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），（i）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，點(diǎn)A、B、P不可能在同一個(gè)二次函數(shù)圖象上；（ii）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時(shí)，代入A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，解得：∴所求的二次函數(shù)解析式為．（3）∠BPD=∠BAP．證明如下：∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，），∴直線PC的表達(dá)式為．∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0）．∴PD=2，BD=，AD=．，∴．∵∠PDB=∠ADP，∴△PBD∽△APD．∴∠BPD=∠BAP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)是求解函數(shù)的解析式．3．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于兩點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP是以BD為斜邊的直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）過(guò)P作x軸的平行線交Y軸于E點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作X軸的垂線交EP的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，利用三角形相似得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用△AMN∽△CDB，當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)分別得出即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于兩點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），∴0=a+b﹣3，0=9a+3b﹣3，解得：a=﹣1，b=4，∴y=﹣x2+4x﹣3；（2）如圖1，過(guò)P作x軸的平行線交Y軸于E點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作X軸的垂線交EP的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），當(dāng)P點(diǎn)在第一象限時(shí)，則DE=﹣t2+4t，PF=3﹣t，PE=t，BF=﹣t2+4t﹣3，可證△DEP∽△PFB，，，可求得，所以P（，），同理，當(dāng)P點(diǎn)在第四象限時(shí)，可求得P（，）；（3）如圖2，設(shè)N（m，0）則M（m，﹣m2+4m﹣3），MN=m2﹣4m+3若△AMN∽△CDB，，當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)AN=1﹣m，，m=0或m=1（舍），所以M（0，﹣3），當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)AN=m﹣1，，m=6或m=1（舍），所以M（6，﹣15），若△MAN∽△CDB，，當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)AN=1﹣m，，m=（舍）或m=1（舍），所以此時(shí)M不存在，當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)AN=m﹣1，，m=或m=1（舍），所以M（，），綜上M1（0，﹣3）M2（6，﹣15）M3（，）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（2）（3）小題中，都用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．四、三年真題4．（15宜賓24）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別相交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P．（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別在線段OB、OC上向點(diǎn)B、C方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)H．①當(dāng)四邊形OMHN為矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；②是否存在這樣的點(diǎn)F，使△PFB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入拋物線y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；（2）①表示出ON、MH，運(yùn)用ON=MH，列方程求解即可；②存在，先求出BC的解析式，根據(jù)互相垂直的直線一次項(xiàng)系數(shù)積等于﹣1，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，待定系數(shù)法求出直線PF的解析式，求直線BC與直線PF的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：解得：b=1，c=4，∴y=﹣x2+x+4；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），B（4，0）∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，①根據(jù)題意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4∵ON∥MH∴當(dāng)ON=MH時(shí)，四邊形OMHN為矩形，即t=﹣t2+t+4解得：t=2或t=﹣2（不合題意舍去）把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2∴H（2，2）；②存在，當(dāng)PF⊥BC時(shí)，∵直線BC的解析式為y=﹣x+4，∴設(shè)PF的解析式為y=x+b，又點(diǎn)P（1，）代入求得b=，∴根據(jù)題意列方程組：解得：∴F（，）當(dāng)PF⊥BP時(shí)，∵點(diǎn)P（1，），B（4，0），∴直線BP的解析式為：y=﹣x+6，∴設(shè)PF的解析式為y=x+b，又點(diǎn)P（1，）代入求得b=，∴根據(jù)題意列方程組：解得：∴F（，），綜上所述：△PFB為直角三角形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）或（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求直線和拋物線解析式，求頂點(diǎn)坐標(biāo)，矩形的判定與性質(zhì)以及兩直線互相垂直的性質(zhì)，本題有一定的綜合性，難度不大，關(guān)鍵是掌握兩直線互相垂直的性質(zhì)．5．（16白銀張掖28）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線，直線解析式；（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可；（3）確定出面積達(dá)到最大時(shí)，直線PC和拋物線相交于唯一點(diǎn)，從而確定出直線PC解析式為y=﹣x+，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD，計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；（2）由運(yùn)動(dòng)得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=1；（3）如圖，存在，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y=﹣x+3，∴設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b，聯(lián)立，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0∴△=9﹣4（b﹣3）=0∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴P（，）．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PC，∴直線BD解析式為y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=3S最大=AB×BD=×3×=．即：存在面積最大，最大是，此時(shí)點(diǎn)P（，）．【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的解析式的確定方法，互相垂直的直線解析式的確定方法，解本題的關(guān)鍵是確定出△PAB面積最大時(shí)點(diǎn)P的特點(diǎn)．6．（16重慶B卷26）如圖1，二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48．（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），使GH+BH的值最小，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點(diǎn)K（3，4），將二次函數(shù)y=x2﹣2x+1沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，點(diǎn)C′；當(dāng)△A′C′K是直角三角形時(shí)，求t的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)S△AMO：S四邊形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比為1：7，從而求出BN，繼而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線解析式．（2）先判斷出PE×PF最大時(shí)，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大時(shí)G（5，），再簡(jiǎn)單的計(jì)算即可；（3）由平移的特點(diǎn)及坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，最后分三種情況計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C是二次函數(shù)y=x2﹣2x+1圖象的頂點(diǎn)，∴C（2，﹣1），∵PE⊥x軸，BN⊥x軸，∴△MAO∽△MBN，∵S△AMO：S四邊形AONB=1：48，∴S△AMO：S△BMN=1：49，∴OA：BN=1：7，∵OA=1∴BN=7，把y=7代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1，∴x1=﹣2（舍），x2=6∴B（6，7），∵A的坐標(biāo)為（0，1），∴直線AB解析式為y=x+1，∵C（2，﹣1），B（6，7），∴直線BC解析式為y=2x﹣5．（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)P（x0，x0+1），∴D（，x0+1），∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，∵∠DPF固定不變，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF最大時(shí)，PE×PD也最大，PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，∴當(dāng)x0=時(shí)，PE×PD最大，即：PE×PF最大．此時(shí)G（5，）∵△MNB是等腰直角三角形，過(guò)B作x軸的平行線，∴BH=B1H，GH+BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值，∴當(dāng)GH和HB1在一條直線上時(shí)，GH+HB1的值最小，此時(shí)H（5，6），最小值為7﹣=（3）令直線BC與x軸交于點(diǎn)I，∴I（，0）∴IN=，IN：BN=1：2，∴沿直線BC平移時(shí)，橫坐標(biāo)平移m時(shí)，縱坐標(biāo)則平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，當(dāng)∠A′KC′=90°時(shí)，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此時(shí)t=m=2±；當(dāng)∠KC′A′=90°時(shí)，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此時(shí)t=m=4；當(dāng)∠KA′C′=90°時(shí)，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此時(shí)t=0．【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，解本題的關(guān)鍵是相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．7．（14年福州21）如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=秒時(shí)，則OP=，S△ABP=；（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ?BP=3．【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專(zhuān)題】幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；壓軸題．【分析】（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，有三種情形，需要分類(lèi)討論；（3）如答圖4所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關(guān)系證明結(jié)論．【解答】（1）解：當(dāng)t=秒時(shí)，OP=2t=2×=1．如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．在Rt△POD中，PD=OP?sin60°=1×=，∴S△ABP=AB?PD=×（2+1）×=．（2）解：當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此種情形不存在；②若∠B=90°，如答圖2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答圖3所示：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則OD=OP?sin30°=t，PD=OP?sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（負(fù)值舍去），∴t=．綜上所述，當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，t=1或t=．（3）證明：如答圖4，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AP，交PB于點(diǎn)E，則有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化簡(jiǎn)得：AQ?PB=3．【點(diǎn)評(píng)】本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)中，解題關(guān)鍵在于分類(lèi)討論思想的運(yùn)用；第（3）問(wèn)中，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，本問(wèn)有多種解法，可探究嘗試．五、兩年模擬8．（2015年曲靖麒麟?yún)^(qū)中考模擬第24題）如圖，過(guò)點(diǎn)C（0，2）的拋物線與直線AD交于A（﹣1，0），D（3，2）兩點(diǎn)．（1）求直線AD和拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，求MA+MC最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P使△PAD是直角三形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式分別為y=kx+b，y=ax2+bx+c，將函數(shù)圖象上的點(diǎn)代入，即可求函數(shù)解析式；（2）連接BC，與對(duì)稱(chēng)軸交于M，此時(shí)MA+MC最?。蟪鯞C解析式，將M點(diǎn)橫坐標(biāo)代入即可求出其縱坐標(biāo)；（3）分四種情況討論：①當(dāng)∠AP1D=90°時(shí)，△DCP1∽△P1OA；②∠AP2D=90°時(shí)，△AOP2∽△P2CD；③設(shè)AP3解析式為y=﹣2x+s，將A（﹣1，0）分別代入解析式，求出s的值；④設(shè)AP4解析式為y=﹣2x+t，將A（3，2）分別代入解析式得，t=8．【解答】解：（1）設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），D（3，2）分別代入解析式得，，解得，∴AD的解析式為y=x+．設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A（﹣1，0），C（0，2），D（3，2）分別代入解析式得，解得，，函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2．（2）如圖1，連接BC，與對(duì)稱(chēng)軸交于M，此時(shí)MA+MC最?。O(shè)BC解析式為y=ax+b，把B（4，0），C（0，2）代入解析式得，，解得，則y=﹣x+2，當(dāng)x=﹣=時(shí)，y=﹣×+2=，∴M（，）．（3）①當(dāng)∠AP1D=90°時(shí)，△DCP1∽△P1OA，∴=，即=，∴P1C2+2P1C=3，解得，P1C=1，P1C=﹣3（舍去）．∴P1O=3，∴P1（0，3）．②∠AP2D=90°時(shí)，△AOP2∽△P2CD，∴=，即=，∴P2O2+2P2O=3，解得，P2O=1，P2O=﹣3（舍去）．∴P2O=3，∴P2（0，﹣3）．③如圖3，∵AP3⊥AD，DP4⊥AD，且AD解析式為y=x+，設(shè)AP3解析式為y=﹣2x+s，將A（﹣1，0）分別代入解析式得，s=﹣2，解析式為y=﹣2x﹣2，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，則得P3（0，﹣2），④設(shè)AP4解析式為y=﹣2x+t，將A（3，2）分別代入解析式得，t=8，解析式為y=﹣2x+8，當(dāng)x=0時(shí)，y=8，則得P4（0，8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題、存在性問(wèn)題和相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．9．（2016年汕頭潮陽(yáng)區(qū)中考模擬第25題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現(xiàn)將Rt△AOB繞著直角頂點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△COD，已知一拋物線經(jīng)過(guò)C、D、B三點(diǎn)．（1）該拋物線的解析式為；（2）設(shè)點(diǎn)E是拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，并交直線AB于N，過(guò)點(diǎn)E再作EM⊥AB于點(diǎn)M，求△EMN周長(zhǎng)的最大值；（3）當(dāng)△EMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，在直線EF上是否存在點(diǎn)Q，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．由線段OA、OB的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由旋轉(zhuǎn)的特性可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）在Rt△AOB中，找出∠ABO的正弦余弦值，再根據(jù)相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，從而得出∠MEN=∠FBN，用EN的長(zhǎng)度來(lái)表示出EM和MN的長(zhǎng)度，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣+t+4）（0＜t＜4），即可找出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，﹣t+2），從而得出線段EN的長(zhǎng)度，將EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出EN的最大值，由此即可得出結(jié)論；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可知直線EF的解析式為x=，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°兩種情況來(lái)考慮，利用相似三角形的性質(zhì)找出相似邊的比例關(guān)系來(lái)找出線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)間的數(shù)量關(guān)系即可找出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．∵OA=2，OB=4，∴點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（4，0），由旋轉(zhuǎn)的特性可知：點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)D（0，4）．將點(diǎn)B（4，0）、點(diǎn)C（﹣2，0）、點(diǎn)D（0，4）代入到拋物線解析式得：，解得：．∴該拋物線的解析式為y=﹣+x+4．故答案為：y=﹣+x+4．（2）依照