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可降階的二階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、依次通過

2

次積分,可得含

2個(gè)任意常數(shù)的通解.型的微分方程

例1.解:

例2試求解:由題意有如下關(guān)系式:①由②得因此所求曲線方程為②由①得相切的積分曲線.的經(jīng)過點(diǎn)M(0,1)且與直線例3設(shè)一物體質(zhì)量為m，以初速度解:由牛頓第二定律得:初始條件為即摩擦系數(shù)為,試求物體在下，若斜面的傾角為從一斜面頂端推斜面上移動(dòng)的距離和時(shí)間的關(guān)系.兩次積分后，將初始條件代入，解得關(guān)系式：型的微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、例4.求方程解:代入方程得于是有兩端再積分得設(shè)解得例5.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為設(shè)令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解則型的微分方程三、例6.求解代入方程得兩端積分得(可分離變量)故所求通解為解:例7在地面以初速度解:以物體的出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.因物體射出后,因此顯然h=0,F=mg,其中h是物體到地面的高度,R是地球半徑,k是比例系數(shù).地球的引力與物體到地心的距離的平方成反比，求垂直向上射出一個(gè)物體，若在運(yùn)動(dòng)過程中僅受地球引力F的作用，而于是物體可能達(dá)到的最大高度.由牛頓第二定律得即代入方程得分離變量積分得所以初始條件設(shè)將初始條件代入得當(dāng)物體達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)v=0,于是此時(shí)要脫離地球引力,即故最大高度即當(dāng)發(fā)射物體的初始速度時(shí),物體可脫離地球引力，這個(gè)速度就是第二宇宙速度.內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時(shí)用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答

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