高等數(shù)學(xué)課件：常微分方程

高等數(shù)學(xué)常微分方程

第一節(jié)常微分方程的基本概念

第二節(jié)

一階線性微分方程

第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程

第一節(jié)常微分方程的基本概念

在科學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中，經(jīng)常要探尋表示客觀事物的變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系往往不能直接得到，但可以得到含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，即通常所說的微分方程，微分方程是描述客觀事物的數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型。本章主要討論簡單的線性微分方程的解法，了解利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題一般思想方法。一、引例

例1

一曲線通過點(diǎn)，且在該曲線上任意點(diǎn)處的切線的斜率為，求該曲線的方程。解

設(shè)該曲線的方程為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有

或此外還滿足

兩端積分，得其中為任意常數(shù)。代入，得。將代入得：即為所求曲線的方程。

例2

把質(zhì)量為的物體以初速度垂直下拋，設(shè)該物體運(yùn)動只受重力影響，試求物體下落距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．解

如圖7—1所示，設(shè)物體的運(yùn)動方程為：因?yàn)?，而，所?/p>

又因?yàn)槲矬w只受重力作用，且重力加速度的方向與物體運(yùn)動方向相同，所以，故即

兩端積分得兩端再次積分得

這里C1，C2都是任意的常數(shù)．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，此時(shí)初速度為，即分別代入，得

，所以，將，代入式，所求得的運(yùn)動方程圖7—1二、基本概念

上面兩個(gè)例子都與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)。對于這種方程，給出如下定義。

定義1

含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程，稱為微分方程．只含有一個(gè)自變量的微分方程，稱為常微分方程．自變量多于一個(gè)的微分方程，稱為偏微分方程．微分方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程．在微分方程中，可以不含自變量或自變量的未知函數(shù)，但必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。例如，，，都是一階微分方程．，y″+2y′+y=4都是二階微分方程．定義2

若某個(gè)函數(shù)代入微分方程，能使該方程成為恒等式，則稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解．例如，與都是微分方程的解．

定義3

若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，且任意常數(shù)是獨(dú)立的，則稱此解為該方程的通解或一般解．在通解中給任意常數(shù)一確定的值而得到的解稱為特解．什么是獨(dú)立的任意常數(shù)？函數(shù)顯然為方程

的解。這時(shí)的，就不是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，因?yàn)樵摵瘮?shù)能寫成

這種能合并成一個(gè)的任意常數(shù)，只能算一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。為了準(zhǔn)確地描述這一問題，引入下面的定義。定義4

設(shè)函數(shù)，是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個(gè)不完全為零的數(shù)，,使得對于內(nèi)的任一恒有成立，則稱函數(shù)，在內(nèi)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。可見，線性相關(guān)的充要條件是在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù)。若不恒為常數(shù)，則，線性無關(guān)。例如，與線性無關(guān)，與線性相關(guān)。

當(dāng)與線性無關(guān)時(shí)，函數(shù)中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)和。例如，是微分方程的通解；

是微分方程的通解；

是微分方程的通解（自己驗(yàn)證）；

與都是的特解．為了得到滿足題目條件的特解，一般在許多實(shí)際問題中，在提出微分方程的同時(shí)，還給出方程中的未知函數(shù)所必須滿足的一些條件（或初始狀態(tài)）．常見的是給出未知函數(shù)對應(yīng)于自變量某個(gè)確定值的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，稱為微分方程的定解條件或初始條件.例如,例1中給出的當(dāng)x=1時(shí),y=4即y|x=1=4，就是微分方程的初始條件．例3

驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解．解因?yàn)椋?

又C是任意常數(shù)，所以是該微分方程的通解例4求解方程y'''=ex–cosx．

解

積分一次，得繼續(xù)積分，得所以原方程的通解為:

第二節(jié)

一階線性微分方程一、變量分離方程若一階微分方程可以化為形如g(y)dy=f(x)dx，的形式，則稱該微分方程為變量分離方程．

對上式兩端積分，便求得x和y的關(guān)系式，即解出了微分方程．例1

求解微分方程

解分離變量得 ydy=x2dx，

兩端積分得

所以其通解為

例2

質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受外力作用由靜止開始作直線運(yùn)動，外力與時(shí)間成正比，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的二次方成反比（比例系數(shù)為20）。求質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)。解設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)為，因?yàn)?，，所以又因?yàn)榕c成正比，與的二次方成反比（比例系數(shù)為20），所以，，兩端積分，

得（）即又由初始條件，得所以將代入，故所求質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)為例3解微分方程解

此方程顯然不能直接分離變量，但通過代換可化為分離變量方程令，則，于是即兩端積分

得將代入，得原方程的通解為：二、一階線性微分方程形如 的方程稱為一階線性微分方程．它對于未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)都是一次的，右邊是已知函數(shù)Q(x)，稱為自由項(xiàng)．當(dāng)Q(x)≡0時(shí)，稱方程是齊次的；當(dāng)Q(x)0時(shí)，稱方程是非齊次的．下面討論一階線性齊次方程與一階線性非齊次方程的求解方法．對于, 分離變量，得 , 兩邊積分，得所以 即方程的通解．在本章內(nèi)容中，約定不定積分符號只是表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，如是P(x)的一個(gè)原函數(shù)．對一階線性微分方程，常常采用常數(shù)變易法，其想法是：當(dāng)C是任意常數(shù)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，恰等于該函數(shù)乘上–P(x)，從而得出齊次方程的通解．對非齊次方程的解，它的導(dǎo)數(shù)不能恰等于它與–P(x)的乘積，而要多出一項(xiàng)Q(x)來．聯(lián)系到乘積的導(dǎo)數(shù)公式，把齊次方程解中的常數(shù)C改為函數(shù)C(x)，即令是方程非齊次方程的通解，這樣求非齊次方程解的問題就變成尋找一個(gè)待定函數(shù)C(x)了．把上式代入方程，得即兩邊積分，得

因此，線性非齊次方程的通解為這種把對應(yīng)的齊次方程通解中的常數(shù)C變換為待定函數(shù)C(x)，然后求得對應(yīng)線性非齊次方程的通解的方法，稱為常數(shù)變易法．上述通解可改寫成兩項(xiàng)之和，即容易看出，上式右端第一項(xiàng)是對應(yīng)的線性齊次方程的通解，第二項(xiàng)是線性非齊次方程的一個(gè)特解．一階線性非齊次方程的通解等于對應(yīng)的線性齊次方程的通解與該線性非齊次方程的一個(gè)特解之和．這是一階線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)．例4

求方程的通解解

原方程變形為此方程為一階線性非齊次方程。首先對對應(yīng)的齊次方程求解，分離變量，得兩端積分，得

即所以，齊次方程的通解為將通解中的任意常數(shù)換成待定函數(shù)，即令為方程的通解，將其代入方程得，于是所以將所求的代入，得原方程的通解為例5

求方程的通解．解顯然x+2≠0．將方程變形，得這是一階線性非齊次方程，其中所以，原方程的通解為y=(x+2)5(ex+C)．例6

求微分方程滿足初始條件y|x=π=1的特解．解方程中，，所以由x=π，y=1，得C=π．所以，所求特解為．

我們可以看到,常數(shù)變易法實(shí)際上是一種變量變換的方法,通過變換可將方程化為變量分離方程。它不但適用于一階線性方程，而且也適用于高階線性方程和線性方程組。第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為其中p，q是實(shí)常數(shù)，f(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)．

若f(x)=0，即y″+py′+qy=0，稱它為二階常系數(shù)線性齊次方程；若f(x)≠0，稱它為二階常系數(shù)線性非齊次方程．一、二階常系數(shù)線性齊次方程由于指數(shù)函數(shù)y=erx(r是常數(shù))與它的各階導(dǎo)數(shù)只差一個(gè)常數(shù)因子，因此，可以推測上面的齊次方程具有指數(shù)函數(shù)的解，我們用來代入方程，確定出r．對求導(dǎo)，得y′=re，y″=re，rx2rx代入齊次方程得e(r+pr+q)=0

rx2

因?yàn)閑rx≠0，故r2+pr+q=0．由此可知，若r是此二次代數(shù)方程的一個(gè)根，則y=erx就是齊次方程的一個(gè)特解．將方程r2+pr+q=0稱為齊次方程的特征方程．可以看到，r2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)正好就是齊次微分方程中y″，y′及y的系數(shù)．特征方程r+pr+q=0有兩個(gè)根r1和r2，可由公式2求得．在求解過程中，可能出現(xiàn)下述三種情況：

(1)當(dāng)p2–4q>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1與r2，即(2)當(dāng)p2–4q=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即r1=r2=

；(3)當(dāng)p2–4q<0時(shí)，方程有一對共軛復(fù)根r1與r2，即按照上述出現(xiàn)的三種情況，分別討論齊次微分方程的通解．情況(1)：特征方程具有兩個(gè)不相等的實(shí)根．此時(shí)，因?yàn)閞1≠r2，所以及是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解．因此方程的通解為例1

求方程的通解.解所給方程的特征方程為其根為

所以原方程的通解為

情況(2)：特征方程具有兩個(gè)相等實(shí)根．由于此時(shí)r1=r2=r，所以只能求得齊次方程的一個(gè)解y1=erx，下面需求出另一解,且常數(shù),設(shè),即將代入方程,得整理,得由于

,所以

因?yàn)槭翘卣鞣匠痰亩馗?所以從而有

因?yàn)橹恍枰粋€(gè)不為常數(shù)的解,不妨取,可得到齊次方程的另一個(gè)解那么,方程的通解為

即

例2

求微分方程y″-4y′+4y=0滿足初始條件y|x=0=0，y′|x=0=1的特解．解先求通解．特征方程r2+4r+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1=r2=2，故方程的通解為y=(C1+C2x)e2x．代入初始條件y|x=0=0，y′|x=0=1，求得C1=0，C2=1．所以原方程滿足初始條件的特解為y=xe2x．情況(3)：特征方程具有一對共軛復(fù)根．此時(shí)r1=α+iβ，r2=α–iβ，其中α=,．容易驗(yàn)證y1=eαxcosβx,y2=eαxsinβx是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，因此通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)．例3

求微分方程y″+2y′+10y=0的通解

解特征方程為r2+2r+10=0有一對共軛復(fù)根r1,2=–1±3i，因此所求微分方程的通解為y=e(C1cos3x+C2sin3x)．–x綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟歸納如下

(1)寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0；(2)求出特征方程的兩個(gè)根r1,r2；(3)根據(jù)特征根的不同情況，按下表寫出微分方程的通解:特征方程r2+pr+q=0的兩個(gè)根r1，r2微分方程y″+py′+qy=0的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根r1，r2兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2=ry=(C1+C2x)erx一對共軛復(fù)根r1，r2=α±βiy=eαx(C1cosβx+C2sinβx)二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程定理設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y″+py′+qy=f(x)對應(yīng)的齊次方程的通解為，則非齊次微分方程的通解為齊次方程解已經(jīng)確定，現(xiàn)在的問題是尋求特解y*．顯然y*與函數(shù)f(x)有關(guān)．若f(x)為一般初等函數(shù)，y*也不容易求得；若f(x)為指數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、正余弦函數(shù)，則特解y*較易確定．我們只討論型的解法,其中為常數(shù),是關(guān)于的一個(gè)次多項(xiàng)式.的一個(gè)特解為y*，

方程右端是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘積，它的的導(dǎo)數(shù)仍為同一類型函數(shù),因此方程的特解可能為,其中是某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù).把

代入方程并消去,得以下分三種不同的情形,分別討論函數(shù)的確定方法:(1)若不是方程的特征方程的根,即,要使上式的兩端恒等,可令為另一個(gè)次多項(xiàng)式:代入,并比較兩端關(guān)于同次冪的系數(shù),就得到關(guān)于未知數(shù)的個(gè)方程.聯(lián)立解方程組可以確定出.從而得到所求方程的特解為(2)若是特征方程的單根,即,要使方程成立,則必須要是次多項(xiàng)式函數(shù),于是令用同樣的方法來確定的系數(shù)

(3)若是特征方程