高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-下冊(cè)第2版）課件：二重積分

二重積分

二重積分的概念和性質(zhì)一、引例二、二重積分的定義三、二重積分的幾何意義四、二重積分的性質(zhì)五、小結(jié)（3）如何計(jì)算定積分？定積分答：“分割、近似、求和、取極限”復(fù)習(xí)（1）定積分是用來解決哪一類問題？答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？問題：現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體的量的求和問題所計(jì)算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關(guān)被積函數(shù)推廣二元函數(shù)三元函數(shù)平面區(qū)域積分范圍空間區(qū)域一段曲線一片曲面積分類型二重積分三重積分曲線積分曲面積分一、引例1、曲頂柱體的體積柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂曲頂柱體解法:類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z

軸的柱面求其體積.“分割、近似、求和、取極限”(1)分割用任意曲線網(wǎng)分D為

n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)(2)近似在每個(gè)(3)求和則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體(4)取極限定義的直徑為令則2、平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域D

,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D

的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密

“分割、近似、求和、取極限”解決.（1）分割用任意曲線網(wǎng)分D

為n

個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.若（常數(shù)）(2)近似(3)求和(4)取極限則第k小塊的質(zhì)量在每個(gè)中任取一點(diǎn)令兩個(gè)問題的共性：(1)

解決問題的步驟相同(2)

所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割、近似、求和、取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:均為特殊的和式取極限的形式.設(shè)是定義在有界區(qū)域

D上的有界函數(shù),定義將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I

,使可積

,

在D上的二重積分.積分和積分區(qū)域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作二、二重積分的定義則稱稱I為稱為積分變量引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果

在D上可積,也常記作二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,

因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃說明:(1)

積分存在時(shí)，其值與區(qū)域的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)不能用代替？(2)

存在條件（充分條件）當(dāng)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在以后總假定在所論有界閉區(qū)域D上連續(xù),從而二重積分都是存在的(3)

在D上有界是二重積分存在的必要條件在D上連續(xù)是二重積分存在的充分條件3.當(dāng)在D上變號(hào)，為曲頂

柱體體積的代數(shù)和三、二重積分的幾何意義1.當(dāng)時(shí)，2.當(dāng)時(shí)，15/242024/11/28例1利用幾何意義計(jì)算下列二重積分，其中D由及兩坐標(biāo)軸圍成四、二重積分的性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）性質(zhì)１設(shè)、為常數(shù)，則性質(zhì)2(積分區(qū)域可加性)性質(zhì)3若為D的面積,則性質(zhì)5(二重積分估值定理)設(shè)M、m分別是在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則

性質(zhì)4（二重積分比較定理）特殊地若在D上則有性質(zhì)6（二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得

證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)使因此想想，在幾何上如何解釋？解例2估計(jì)的值，其中在區(qū)域D上的最大值為最小值為且區(qū)域的面積為因此由二重積分估值定理可得例3比較下面兩個(gè)二重積分的大?。浩渲蟹e分區(qū)域D為直線與兩坐標(biāo)軸所圍成.解在積分區(qū)域D，有故由二重積分的比較定理，有比較兩個(gè)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的大小即可.它與x軸交于點(diǎn)(1,0),與直線相切.而區(qū)域D位于直線的上方，故在D上從而例4比較下列積分大小其中解:積分域D的邊界為圓周解例5判斷的符號(hào)五、小結(jié)1、

二重積分的定義(和式的極限)2、二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）3、二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)二重積分

在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、積分區(qū)域的類型二、二重積分的計(jì)算三、小結(jié)復(fù)習(xí)平行截面面積為已知的立體的體積的求法（1）二重積分（2）一元函數(shù)定積分的幾何應(yīng)用在點(diǎn)處的平行截面的面積為：體積元素體積為其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).1.【X型區(qū)域】【X型區(qū)域的特點(diǎn)】

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).一、

積分區(qū)域的類型2.【Y型區(qū)域】【Y型區(qū)域的特點(diǎn)】穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).3.【既非X型區(qū)域也非Y型區(qū)域】

在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是X型區(qū)域(或Y型區(qū)域)必須分割區(qū)域D由二重積分積分區(qū)域的可加性得1.積分區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域時(shí)：且設(shè)二、二重積分的計(jì)算根據(jù)二重積分的幾何意義以及計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來求.方法則的值等于以D為底，以曲面為曲頂?shù)那斨w的體積.即得公式1(1)通過體積作為過渡，實(shí)現(xiàn)了二重積分的一種計(jì)算方法：

計(jì)算兩次定積分（單積分）來求解.投影穿線法(2)二重積分計(jì)算的關(guān)鍵是定限：說明：后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(穿線)

先交下限寫后交上限見aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐標(biāo)軸且同向定限口訣公式22.積分區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域時(shí)：即化二重積分為先對(duì)x后對(duì)y的二次積分.(1)使用公式1必須是X型區(qū)域，公式2必須是Y型區(qū)域.(2)若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域，則選擇容易積分的區(qū)域類型,必要時(shí)還可交換積分次序.(3)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X型區(qū)域（或Y型區(qū)域）【說明】(4)二重積分的計(jì)算步驟①畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計(jì)算?！菊f明】看作X型區(qū)域看作Y型區(qū)域例1解法1：解法2：將D看作Y型區(qū)域例2解：解法1：D既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域：先求交點(diǎn)由則必須分割解法2：將D看作X型區(qū)域由二重積分的性質(zhì)，有解法2計(jì)算量大！在計(jì)算中要選擇合適的積分區(qū)域類型！例3求二重積分，其中D是由直線解：顯然，D既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域.由二重積分的性質(zhì)，有令及x軸所圍成的閉區(qū)域.將D看作X型區(qū)域，則計(jì)算時(shí)，若將區(qū)域看成Y型區(qū)域，可以計(jì)算嗎？例3求二重積分，其中D是由直線解：及x軸所圍成的閉區(qū)域.將D看作Y型區(qū)域，則計(jì)算時(shí)，若將區(qū)域看成X型區(qū)域，可以計(jì)算嗎？故有以上三例說明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡(jiǎn)便計(jì)算需恰當(dāng)選擇積分區(qū)域；既要考慮積分區(qū)域D

的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)說明：由上述二次積分可知，其對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域?yàn)槔?交換積分次序，并求值.解：交換積分次序，有交換積分次序，即是把原來的X型區(qū)域看成Y型，把原來的Y型區(qū)域看成X型.有時(shí)，交換積分次序能達(dá)到積分簡(jiǎn)化的目的.四、簡(jiǎn)單應(yīng)用例5求以面上的圓域?yàn)榈?，圓柱面為側(cè)面，拋物面為頂?shù)那斨w的體積。所求曲頂柱體的體積為解：其中積分區(qū)域D可表示為由二重積分的幾何意義，有利用二重積分計(jì)算曲頂柱體的體積時(shí)，要找曲頂柱體的“頂”和“底”.例6城市A受地理?xiàng)l件的限制呈三角形分布，斜邊臨一座山。由于地理位置的關(guān)系，城市區(qū)域發(fā)展不太均衡，這一點(diǎn)主要從稅收的情況反映出來。以兩直角邊為坐標(biāo)軸腳力直角坐標(biāo)系，位于軸和軸上的城市長(zhǎng)度分別為24千米和16千米，且稅收情況與地理位置的關(guān)系為（萬元/平方千米），試計(jì)算該市總的稅收收入.解：這是一個(gè)二重積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。其中積分區(qū)域D由軸和軸及直線圍成.其中D可以表示為故稅收總收入為（萬元）即該市總的稅收收入為66560萬元.二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（化為二次積分）（在積分中要正確選擇積分次序）五、小結(jié)［Y型區(qū)域］［X型區(qū)域］二重積分在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、極坐標(biāo)系下二重積分的表達(dá)式三、小結(jié)二、極坐標(biāo)系下二重積分化二次積分知識(shí)點(diǎn)回顧（1）直角坐標(biāo)下累次積分的計(jì)算公式［Y型區(qū)域］［X型區(qū)域］確定累次積分限關(guān)鍵直角坐標(biāo)系下的面積元素知識(shí)點(diǎn)回顧（2）交換二次積分的積分次序畫出積分區(qū)域形狀，確定新的二次積分限關(guān)鍵本節(jié)重點(diǎn)本節(jié)關(guān)鍵如何將二重積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分確定積分限是關(guān)鍵極坐標(biāo)系下的面積元素如何表示？在極坐標(biāo)系下一、

極坐標(biāo)系下二重積分的表達(dá)式極坐標(biāo)系下的區(qū)域如何表示？極坐標(biāo)系下被積函數(shù)如何表示？?1.極坐標(biāo)系下的面積元素利用扇形的面積公式面積元素極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積（用極坐標(biāo)曲線劃分D）計(jì)算小扇形的面積化邊界曲線化被積函數(shù)化面積元素應(yīng)用范圍：積分區(qū)域?yàn)閳A域(或一部分)，被積

函數(shù)含的用此簡(jiǎn)便.2.二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式的表達(dá)式

=

=

型：極坐標(biāo)系下的二次積分極坐標(biāo)系下區(qū)域如圖所示：二、極坐標(biāo)系下二重積分化二次積分方法：三線法確定極坐標(biāo)系下先

后積分的方法區(qū)域特征（1）如圖：極點(diǎn)在積分區(qū)域外二重積分化為二次積分的公式（１）二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征（2）如圖極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上.二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征（3）如圖極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部.二重積分化為二次積分的公式（4）區(qū)域特征（4）如圖極點(diǎn)在環(huán)形區(qū)域D的內(nèi)部.二重積分化為二次積分的公式（4）的特殊情形區(qū)域特征（4）如圖極點(diǎn)在環(huán)形區(qū)域D的內(nèi)部.思考:

下列各圖中區(qū)域D

分別與x

,

y軸相切于原點(diǎn),

試問

的變化范圍是什么?答:(1)(2)例1計(jì)算二重積分，其中積分區(qū)域解：積分區(qū)域化為極坐標(biāo)下表達(dá)式為故有例2寫出二重積分在極坐標(biāo)系下的二次積分，其中積分區(qū)域解：所以圓方程為直線方程為在極坐標(biāo)系下故有例3計(jì)算，其中D是由圓心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的封閉區(qū)域解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為注:利用上例可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式

如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，或被積函數(shù)f(x2+y2)形式，利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算.通常出現(xiàn)下面兩類問題：1.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分結(jié)論：極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟：1.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，需依下列步驟進(jìn)行：(1)將代入被積函數(shù).(2)將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，

確定相應(yīng)的積分限---關(guān)鍵！(3)將面積元dxdy

換為.2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與1相似，只需依反方向進(jìn)行.例4將直角坐標(biāo)系下的二次積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分。解：由已知的二次積分可知直角坐標(biāo)系下的積分區(qū)域D可表示為其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系下的區(qū)域D的表示為故有二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式三、

小結(jié)二重積分反常二重積分一、無界區(qū)域上的二重積分二、小結(jié)

在我們研究的二重積分都是在有界區(qū)域上或是被積函數(shù)是有界的，但是在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)會(huì)遇到積分區(qū)域或被積函數(shù)是無界的二重積分。因此，我們稱這樣的二重積分為反常二重積分。無界區(qū)域上的二重積分，它是在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有廣泛應(yīng)用的一種積分形式，它的計(jì)算方法與一元函數(shù)的反常積分的方法類似。一般先在有界區(qū)域內(nèi)計(jì)算積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解。如果極限存在則反常二重積分收斂，否則就發(fā)散。一、無界區(qū)域上的二重積分定義設(shè)D是xoy面上的無界區(qū)域，在D上連續(xù)且G是D上的任意一個(gè)有界閉區(qū)域。若G以任何方式無限擴(kuò)展且趨于D時(shí)，均有極限

存在，則稱此極限值I為在無界區(qū)域D上的反常二重積分，并記為

此時(shí)稱在D上可積或反常二重積分收斂，否