高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類(lèi)-上冊(cè)第2版）課件：數(shù)列的極限

極限

數(shù)列的極限一、引例二、數(shù)列的有關(guān)概念三、數(shù)列極限的定義四、數(shù)列極限的性質(zhì)五、數(shù)列極限的四則運(yùn)算六、小結(jié)一、引例

極限的概念是在探求很多具體問(wèn)題中產(chǎn)生的，例如我國(guó)極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元3世紀(jì))利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.例1設(shè)一單位圓，圓的面積

.用其內(nèi)接正

邊形的面積來(lái)逼近(劉徽割圓術(shù))首先作圓內(nèi)接正三邊形，面積記為再作圓內(nèi)接正六邊形，面積記為第三次作圓內(nèi)接正十二邊形，面積記為圓內(nèi)接正

邊形，面積記為易得……解：二、數(shù)列的有關(guān)概念以正整數(shù)集

為定義域的函數(shù)

按

排列的一列數(shù)，稱(chēng)為數(shù)列，通常用

表示，其中，簡(jiǎn)寫(xiě)成.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，稱(chēng)為通項(xiàng)或一般項(xiàng).例如：若存在數(shù)

和，對(duì)所有的都滿足，則稱(chēng)數(shù)列為有界數(shù)列，否則稱(chēng)為無(wú)界數(shù)列數(shù)列有界的等價(jià)條件是數(shù)列既有上界又有下界若存在實(shí)數(shù)

，對(duì)一切都滿足，稱(chēng)為下有界是的一個(gè)下界是的一個(gè)上界若存在實(shí)數(shù)

，對(duì)一切都滿足，稱(chēng)為上有界在保持?jǐn)?shù)列

原有順序情況下，任取其中無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列

的子數(shù)列，簡(jiǎn)稱(chēng)子列，子數(shù)列一般記為,其中

的下標(biāo)

是子數(shù)列的項(xiàng)的序號(hào)(即子列的第

項(xiàng)的序號(hào)).下面兩個(gè)特殊的子列分別稱(chēng)為數(shù)列

的奇子列和偶子列.三、數(shù)列極限的定義觀察數(shù)列51020501001000100001.201.11.051.021.011.0011.0001當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列

無(wú)限接近于1.數(shù)列

，存在一個(gè)常數(shù)，使當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，與數(shù)無(wú)限接近，則稱(chēng)數(shù)是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.數(shù)列

與1無(wú)限接近，可用小于某個(gè)正數(shù)（可任意小）來(lái)表示，在逐漸增大的中，確實(shí)存在某一時(shí)刻（項(xiàng)），從此時(shí)刻（項(xiàng)）起，以后的所有項(xiàng)都能使不等式

恒成立.如從第項(xiàng)以后（即）的所有項(xiàng)，都使成立.如取，則，即從第項(xiàng)以后的所有項(xiàng)的所有項(xiàng)都能使恒成立；若取，則，即從第

項(xiàng)以后的所有項(xiàng)的所有項(xiàng)都能使恒成立；若給定任意，要使恒成立，只需滿足

即可，取，當(dāng)時(shí)，有恒成立.因此，數(shù)列以

為極限使得當(dāng)時(shí)，恒有成立.定義1

設(shè)有數(shù)列

，若存在常數(shù)，對(duì)任給的，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱(chēng)數(shù)列以為極限.記為，或數(shù)列極限的精確定義.例1

用數(shù)列的定義證明數(shù)列分析令即要證明,使得當(dāng)時(shí),恒有證明由于對(duì)于,使得當(dāng)時(shí),恒有要使,只需,取,因此例1

用數(shù)列的定義證明數(shù)列例2已知

，證明

證明（1）當(dāng)

時(shí)，結(jié)論顯然成立,（2）當(dāng)

時(shí)，由于，因此對(duì)，要使，所以，即，由于，故取，當(dāng)時(shí),恒有綜上，當(dāng)時(shí)，四、數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì)2

（有界性）收斂數(shù)列必定有界．性質(zhì)1（唯一性）數(shù)列

收斂，那么它的極限必唯一．性質(zhì)3

若

，且

，則必存在正整數(shù)

，當(dāng)時(shí)，恒有推論1

若

，且從某項(xiàng)起有

，那么定理1

數(shù)列

收斂

的充分必要條件是它的任何一個(gè)子數(shù)列也收斂于定理2

數(shù)列

收斂

的充分必要條件是它的奇子列和偶子列也都收斂于，即五、數(shù)列極限四則運(yùn)算法則定理3

如果

，，那