《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》教學(xué)大綱

《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》教學(xué)大綱適用范圍：202X版本科人才培養(yǎng)方案課程代碼：13140021課程性質(zhì)：專(zhuān)業(yè)必修課學(xué)分：3.5學(xué)分學(xué)時(shí)：56學(xué)時(shí)（理論56學(xué)時(shí)）先修課程：高等數(shù)學(xué)、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)后續(xù)課程：金融風(fēng)險(xiǎn)管理、金融時(shí)間序列分析、期貨與期權(quán)適用專(zhuān)業(yè)：金融數(shù)學(xué)開(kāi)課單位：理學(xué)部一、課程說(shuō)明《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》是金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)必修課。本課程主要講授隨“時(shí)間”演變的隨機(jī)現(xiàn)象相關(guān)的數(shù)學(xué)理論和方法及其在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用。本課程的教學(xué)內(nèi)容主要包括概率論基礎(chǔ)和幾類(lèi)具有很強(qiáng)金融背景的隨機(jī)過(guò)程：Markov鏈、Poisson過(guò)程、Gauss過(guò)程、Brown運(yùn)動(dòng)過(guò)程、鞅以及隨機(jī)分析初步內(nèi)容等。本課程旨在幫助學(xué)生掌握隨機(jī)過(guò)程的基本理論以及在金融中應(yīng)用隨機(jī)手段分析金融問(wèn)題的正確方法和基本理念，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)金融實(shí)踐進(jìn)行量化分析并提供解決方案的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)金融學(xué)后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、課程目標(biāo)通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生達(dá)到如下目標(biāo)：課程目標(biāo)1：了解隨機(jī)過(guò)程的基本概念與統(tǒng)計(jì)描述，掌握Poisson過(guò)程和Brown運(yùn)動(dòng)的概念和統(tǒng)計(jì)特性。理解Markov鏈的無(wú)后效性，掌握Markov鏈的概率分布與轉(zhuǎn)移概率的確定方法，理解Markov鏈的遍歷性。掌握鞅和Brown運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)，理解隨機(jī)積分的概念，掌握It?公式的運(yùn)用。課程目標(biāo)2：能夠具有抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，并具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。課程目標(biāo)3：通過(guò)經(jīng)濟(jì)、金融、及管理等相關(guān)例題的討論使學(xué)生初步掌握利用隨機(jī)過(guò)程理論來(lái)分析和解決金融和其它社會(huì)問(wèn)題的能力。課程目標(biāo)4：能夠具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和團(tuán)隊(duì)合作精神，樹(shù)立、形成辯證唯物主義世界觀和方法論。三、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》課程教學(xué)目標(biāo)對(duì)金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)要求的支撐見(jiàn)表1。表1課程教學(xué)目標(biāo)與畢業(yè)要求關(guān)系畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)課程目標(biāo)支撐強(qiáng)度1.學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí)1.1掌握數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí)，理解金融領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題的數(shù)理本質(zhì)及其表述方法。課程目標(biāo)1：了解隨機(jī)過(guò)程的基本概念與統(tǒng)計(jì)描述，掌握Poisson過(guò)程和Brown運(yùn)動(dòng)的概念和統(tǒng)計(jì)特性。理解Markov鏈的無(wú)后效性，掌握Markov鏈的概率分布與轉(zhuǎn)移概率的確定方法，理解Markov鏈的遍歷性。掌握鞅和Brown運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)，理解隨機(jī)積分的概念，掌握It?公式的運(yùn)用。課程目標(biāo)2：能夠具有抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，并具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。H1.2能夠?qū)W(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí)方法用于金融領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題的識(shí)別、推演、分析。課程目標(biāo)2：能夠具有抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，并具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。課程目標(biāo)3：通過(guò)經(jīng)濟(jì)、金融、及管理等相關(guān)例題的討論使學(xué)生初步掌握利用隨機(jī)過(guò)程理論來(lái)分析和解決金融和其它社會(huì)問(wèn)題的能力。H2.問(wèn)題分析2.1能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)和原理，識(shí)別、判斷并表達(dá)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)、銀行業(yè)務(wù)、證券業(yè)務(wù)、公司財(cái)務(wù)等金融領(lǐng)域的相關(guān)問(wèn)題。課程目標(biāo)1：了解隨機(jī)過(guò)程的基本概念與統(tǒng)計(jì)描述，掌握Poisson過(guò)程和Brown運(yùn)動(dòng)的概念和統(tǒng)計(jì)特性。理解Markov鏈的無(wú)后效性，掌握Markov鏈的概率分布與轉(zhuǎn)移概率的確定方法，理解Markov鏈的遍歷性。掌握鞅和Brown運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)，理解隨機(jī)積分的概念，掌握It?公式的運(yùn)用。課程目標(biāo)3：通過(guò)經(jīng)濟(jì)、金融、及管理等相關(guān)例題的討論使學(xué)生初步掌握利用隨機(jī)過(guò)程理論來(lái)分析和解決金融和其它社會(huì)問(wèn)題的能力。H2.2能根據(jù)相關(guān)知識(shí)和原理，分析金融領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題，獲得多種解決方案。課程目標(biāo)2：能夠具有抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，并具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。課程目標(biāo)3：通過(guò)經(jīng)濟(jì)、金融、及管理等相關(guān)例題的討論使學(xué)生初步掌握利用隨機(jī)過(guò)程理論來(lái)分析和解決金融和其它社會(huì)問(wèn)題的能力。課程目標(biāo)4：能夠具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和團(tuán)隊(duì)合作精神，樹(shù)立、形成辯證唯物主義世界觀和方法論。H注：表中“H（高）、M（中）”表示課程與相關(guān)畢業(yè)要求的關(guān)聯(lián)度。四、教學(xué)內(nèi)容、基本要求與學(xué)時(shí)分配理論部分理論部分的教學(xué)內(nèi)容、基本要求與學(xué)時(shí)分配見(jiàn)表2。表2教學(xué)內(nèi)容、基本要求與學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容教學(xué)要求，教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)理論學(xué)時(shí)對(duì)應(yīng)的課程目標(biāo)1.隨機(jī)過(guò)程的概率論基礎(chǔ)1.1概率空間1.2隨機(jī)變量與分布函數(shù)1.3數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)1.4收斂性1.5獨(dú)立性與條件期望教學(xué)要求：（1）復(fù)習(xí)隨機(jī)變量、分布函數(shù)、分布律和概率密度函數(shù)的概念，條件分布，函數(shù)的分布求法，常見(jiàn)的離散型與連續(xù)型分布，隨機(jī)變量的幾種收斂方式以及多維隨機(jī)變量的知識(shí)；（2）復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、矩、協(xié)方差與協(xié)方差陣、相關(guān)系數(shù)的定義及計(jì)算；（3）掌握條件數(shù)學(xué)期望的求法，全期望公式的意義與應(yīng)用；（4）掌握隨機(jī)變量特征函數(shù)的定義、性質(zhì)與求法以及特征函數(shù)與隨機(jī)變量分布的關(guān)系。重點(diǎn)：隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望、方差、矩、協(xié)方差與協(xié)方差陣、相關(guān)系數(shù)的定義及計(jì)算。難點(diǎn)：條件數(shù)學(xué)期望的求法，全期望公式的意義與應(yīng)用。隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義、性質(zhì)與求法。81、2、42.隨機(jī)過(guò)程的基本概念和基本類(lèi)型2.1基本概念2.2有限維分布與Kolmogorov定理2.3隨機(jī)過(guò)程的基本類(lèi)型教學(xué)要求：（1）掌握隨機(jī)過(guò)程的背景、定義及分類(lèi)；（2）掌握隨機(jī)過(guò)程的一維、二維分布函數(shù)、有限維分布函數(shù)、均值函數(shù)、方差函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)等重要的數(shù)字特征；（3）了解隨機(jī)過(guò)程按物理架構(gòu)分類(lèi)、按概率特性分類(lèi)及幾種常見(jiàn)隨機(jī)過(guò)程，如二階矩過(guò)程，獨(dú)立增量過(guò)程等。重點(diǎn)：隨機(jī)過(guò)程的背景、定義及分類(lèi)隨機(jī)過(guò)程的一維、二維分布函數(shù)、有限維分布函數(shù)、均值函數(shù)、方差函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)等重要的數(shù)字特征。難點(diǎn)：隨機(jī)過(guò)程的按物理架構(gòu)分類(lèi)、按概率特性分類(lèi)及幾種常見(jiàn)隨機(jī)過(guò)程，如二階矩過(guò)程，獨(dú)立增量過(guò)程等。61、3、43.Poisson過(guò)程3.1Poisson過(guò)程3.2與Poisson過(guò)程相聯(lián)系的若干分布3.3Poisson過(guò)程的推廣教學(xué)要求：（1）理解Poisson過(guò)程的背景與定義，以及Poisson過(guò)程的簡(jiǎn)單性質(zhì)；（2）掌握Poisson過(guò)程的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)的求法與應(yīng)用；（3）掌握到達(dá)時(shí)間間隔的分布函數(shù)、概率密度及有關(guān)概率的求法；（4）了解復(fù)合Poisson過(guò)程背景，定義與示例以及復(fù)合Poisson過(guò)程的簡(jiǎn)單性質(zhì)。重點(diǎn)：Poisson過(guò)程的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)的求法與應(yīng)用。難點(diǎn)：到達(dá)時(shí)間間隔的分布函數(shù)、概率密度及有關(guān)概率的求法。復(fù)合Poisson過(guò)程的簡(jiǎn)單性質(zhì)。61、2、3、44.Markov鏈4.1基本概念4.2狀態(tài)的分類(lèi)及性質(zhì)4.3極限定理及平穩(wěn)分布4.4Markov鏈的應(yīng)用4.5連續(xù)時(shí)間Markov鏈教學(xué)要求：（1）理解Markov鏈的背景與定義以及其基本性質(zhì)；（2）熟悉常見(jiàn)的Markov鏈；（3）理解齊次Markov鏈的一步、多步轉(zhuǎn)移概率，轉(zhuǎn)移概率矩陣與C-K方程；（4）掌握平穩(wěn)分布的證明和計(jì)算；（5）了解Markov鏈在金融學(xué)中的應(yīng)用。重點(diǎn)：Markov鏈的一步、多步轉(zhuǎn)移概率，轉(zhuǎn)移概率矩陣與C-K方程。難點(diǎn)：平穩(wěn)分布的證明和計(jì)算。101、2、3、45.鞅5.1基本概念5.2鞅的停時(shí)定理及其應(yīng)用5.3一致可積性5.4鞅收斂定理5.5連續(xù)鞅教學(xué)要求：（1）理解隨機(jī)游動(dòng)和鞅的背景與定義；（2）掌握停時(shí)定理及其實(shí)際運(yùn)用；（3）了解隨機(jī)游動(dòng)與鞅對(duì)金融現(xiàn)象的刻畫(huà)。重點(diǎn)：停時(shí)定理及其實(shí)際應(yīng)用。難點(diǎn)：停時(shí)定理及其應(yīng)用,一致可積性。101、2、3、46.Brown運(yùn)動(dòng)6.1基本概念和基本性質(zhì)6.2Gauss過(guò)程6.3Brown運(yùn)動(dòng)的鞅性質(zhì)6.4Brown運(yùn)動(dòng)的Markov性6.5Brown運(yùn)動(dòng)的最大值變量及反正弦律6.6Brown運(yùn)動(dòng)的幾種變化教學(xué)要求：（1）掌握Brown運(yùn)動(dòng)定義，會(huì)計(jì)算Brown運(yùn)動(dòng)的數(shù)字特征；（2）通過(guò)對(duì)比有限變差，理解Brown運(yùn)動(dòng)二次變差的特性；（3）了解最大值定律和布朗橋。重點(diǎn)：Brown運(yùn)動(dòng)定義，會(huì)計(jì)算Brown運(yùn)動(dòng)的數(shù)字特征。難點(diǎn)：對(duì)比有限變差，理解Brown運(yùn)動(dòng)二次變差的特性。101、2、3、47.隨機(jī)積分7.1基本概念7.2It?積分和It?公式7.3隨機(jī)積分在金融學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)要求：（1）掌握It?積分過(guò)程；（2）掌握It?積分公式；（3）了解It?公式在求解一些簡(jiǎn)單隨機(jī)微分方程的應(yīng)用。重點(diǎn)：It?積分過(guò)程和It?積分公式。難點(diǎn)：It?公式在求解一些簡(jiǎn)單隨機(jī)微分方程的應(yīng)用。61、2、3、4合計(jì)56五、教學(xué)方法及手段本課程以課堂講授為主，利用超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)優(yōu)質(zhì)視頻資源，配合多媒體課件，采用啟發(fā)式、討論式教學(xué)和案例教學(xué)等共同完成課堂授課內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生積極思考，開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；課下結(jié)合學(xué)習(xí)通資源和作業(yè)等形式，鞏固課堂所學(xué)知識(shí)；采用QQ、微信、釘釘?shù)冉涣鞴ぞ?，加?qiáng)和學(xué)生之間的交流和溝通。六、課程資源1.推薦教材：張波,商豪,鄧軍.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程(第5版)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2020.2.參考書(shū)：（1）SheldonM.Ross著,龔光魯譯.隨機(jī)過(guò)程(原書(shū)第2版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2013.（2）SheldonM.Ross著,龔光魯譯.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程:概率模型導(dǎo)論(第11版)[M].北京:人民郵電出版社,2020.（3）湯珂.隨機(jī)過(guò)程與金融衍生品[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2014.（4）鐘開(kāi)萊.概率論教程(英文版·第3版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2010.（5）EdwardP.C.Kao.隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)論(英文版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2003.3.期刊：（1）MarkBroadie,DevJoneja.AnapplicationofMarkovchainanalysistothegameofsquash[J].Decisionsciences,1993,24(5):1023-1035.（2）PeterA.W.Lewis,GeraldS.Shedler.SimulationofnonhomogeneousPoissonprocessesbythinning[J].Navalresearchlogistics,1979,26(3):403-413.（3）TheodoreJ.Sheskin.AMarkovchainpartitioningalgorithmforcomputingsteadystateprobabilities[J].OperationsResearch,1985,33(1):228-235.（4）RonaldW.Wolff.Poissonarrivalsseetimeaverages[J].Operationsresearch,1982,30(2):223-231.（5）JiaanYan.Aremarkonconditionalexpectations[J].Chinesesciencebulletin,1990,35(9):719-722.4.網(wǎng)絡(luò)資源：（1）郭軍義.隨機(jī)過(guò)程:南開(kāi)大學(xué)[Z/OL].杭州:網(wǎng)易公開(kāi)課,2021[2022]./newview/movie/free?pid=HHJOR7ND8&mid=QHJOR81C1.（2）張波,商豪.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程:肇慶學(xué)院[Z/OL].上海:嗶哩嗶哩,2021[2022].https://www./video/BV1Py4y1t7Qe?p=2&vd_source=1baf39be11cc82e27060d898fb979f67.（3）劉玉婷.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程:北京交通大學(xué)[Z/OL].上海:嗶哩嗶哩,2021[2022].https://www./video/BV1cL411876U?p=46&spm_id_from=pageDriver&vd_source=1baf39be11cc82e27060d898fb979f67.七、課程考核對(duì)課程目標(biāo)的支撐課程成績(jī)由過(guò)程性考核成績(jī)和期末考核成績(jī)兩部分構(gòu)成，具體考核/評(píng)價(jià)細(xì)則及對(duì)課程目標(biāo)的支撐關(guān)系見(jiàn)表3。表3課程考核對(duì)課程目標(biāo)的支撐考核環(huán)節(jié)占比考核/評(píng)價(jià)細(xì)則課程目標(biāo)1234過(guò)程性考核課堂表現(xiàn)10（1）根據(jù)課堂出勤情況和課堂回答問(wèn)題情況等進(jìn)行考核，滿(mǎn)分100分。（2）以平時(shí)考核成績(jī)乘以其在總評(píng)成績(jī)中所占的比例計(jì)入課程總評(píng)成績(jī)?！獭獭獭?222作業(yè)10（1）主要考核學(xué)生對(duì)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)、理解和掌握程度，滿(mǎn)分100分。（2）每次作業(yè)單獨(dú)評(píng)分，取各次成績(jī)的平均值作為此環(huán)節(jié)的最終成績(jī)。（3）以作業(yè)成績(jī)乘以其在總評(píng)成績(jī)中所占的比例計(jì)入課程總評(píng)成績(jī)?！獭獭?42階段測(cè)驗(yàn)20（1）根據(jù)每次階段測(cè)驗(yàn)情況單獨(dú)評(píng)分，滿(mǎn)分100分；（2）每次階段測(cè)驗(yàn)單獨(dú)評(píng)分，取各次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均值作為此環(huán)節(jié)的最終成績(jī)。（3）以階段測(cè)驗(yàn)成績(jī)乘以其在總評(píng)成績(jī)中所占的比例計(jì)入課程總評(píng)成績(jī)?！獭獭?84期末考核60（1）卷面成績(jī)100分，以卷面成績(jī)乘以其在總評(píng)成績(jī)中所占的比例計(jì)入課程總評(píng)成績(jī)。（2）主要考核概率論的全期望公式、隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)及其數(shù)字特征、Brown布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)、Poisson過(guò)程的性質(zhì)、鞅的性質(zhì)、Markov鏈的平穩(wěn)分布、極限分布和狀態(tài)分類(lèi)、It?公式等內(nèi)容。（3）考試題型為：填空題、選擇題、計(jì)算題和綜合題等。√√√301515合