數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、向量共線的概念及共線的條件1.向量共線的概念如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或互相平行。2.向量共線的條件——平行向量定理平行向量定理:如果a=λb,則a∥b;反之,如果a∥b（b≠0)，則一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a=λb。注意:（1)本定理由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以直接推知.（2）本定理深刻地揭示了平面內(nèi)全體與非零向量b共線的向量的基本結(jié)構(gòu)。【例1】判斷向量a=—2e與b=2e是否共線.思路分析：要分e=0與e≠0兩種情況分析。解:(1）當(dāng)e=0時(shí)，則a=—2e=0.由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時(shí)a與b共線.（2)當(dāng)e≠0時(shí),則a=-2e≠0，b=2e≠0.∴b=—a(這時(shí)滿足定理中的a≠0及有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ（λ=—1)，使得b=λa成立）?！郺與b共線.綜合(1)（2)可知,a與b共線。各個(gè)擊破類題演練1已知向量a=2e1—3e2,b=2e1+3e2,其中e1，e2不共線,向量c=2e1-9e2,問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ,使d=λa+μb與c共線？思路分析:根據(jù)向量共線條件列式求解.解：設(shè)存在λ,μ使得d與c共線，并設(shè)m(2e1—9e2）=λ（2e1—3e2）+μ(2e1+3e2），則m=λ+μ且m=，解得λ=—2μ，即存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d=λa+μb與c共線.變式提升1設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不是平行向量，試確定實(shí)數(shù)k的值，使ke1+e2和e1+ke2是兩個(gè)平行向量。思路分析:運(yùn)用平行向量定理列式求解.解：因?yàn)?ke1+e2)∥(e1+ke2),所以存在唯一實(shí)數(shù)p使ke1+e2=p(e1+ke2)成立,所以（k-p）e1=（pk—1）e2,因?yàn)閑1與e2不是平行向量，且為非零向量,所以k-p=0且pk—1=0，所以k=±1。溫馨提示(1)向量共線的充要條件:a與b共線存在唯一λ使b=λa(a≠0).（2)利用兩個(gè)向量共線的充要條件證明多點(diǎn)共線，通常是采用列方程(組)的方法.二、軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算關(guān)于這部分內(nèi)容要注意:1。軸上兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等;軸上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的坐標(biāo)的和。2。設(shè)e是軸l上的一個(gè)基向量.的坐標(biāo)又常用表示，這時(shí)=ABe。3。在數(shù)軸x上,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則AB=x2-x1。即軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).這樣，又可以得到數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式:|AB|=|x2-x1｜.【例2】已知軸上三點(diǎn)A，B，C,且AC=2，BC=-2,則AB等于(）A。0B.4C.-4解析：AB=AC—BC=2-（—2)=4。答案：B類題演練2已知數(shù)軸上兩點(diǎn)M,N，且｜MN|=4，若xm=—3,則xn等于（）A。1B。2C.—7解析：據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式,得|MN｜=｜xn-xm|=4，又xm=-3，∴｜xn+3｜=4.∴xn=1或-7。答案：D變式提升2A,B，C，D是軸上任意四點(diǎn),求證：AB+BC+CD+DA=0。證明:設(shè)軸l上的點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為x1,x2,x3，x4，則AB+BC+CD+DA=（x2—x1)+（x3—x2)+(x4-x3)+（x1-x4）=0。故原題得證。三、三點(diǎn)共線問(wèn)題【例3】如圖所示,在ABCD中,=a，=b,M是AB中點(diǎn),點(diǎn)N是BD上一點(diǎn),|｜=|｜。求證:M、N、C三點(diǎn)共線.思路分析:將點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量共線問(wèn)題，即證明=3。證明:∵=a,=b,∴=-=a—b。∴=+=b+=b+(a—b）=a+b=(2a+b).又∵=+=b+a=（2a+b），∴=3.又與有共同起點(diǎn),∴M、N、C三點(diǎn)共線.溫馨提示幾何中證明三點(diǎn)共線,通常以三點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)確定兩個(gè)向量，然后看能否找到唯一的實(shí)數(shù)λ,使得一個(gè)向量等于另一個(gè)向量的λ倍，把三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量共線的問(wèn)題。類題演練3設(shè)e1、e2是不共線的向量.已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2。若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.解:∵=—=（2e1—e2)—（e1+3e2)=e1—4e2，又由題設(shè)A、B、D三點(diǎn)共線,得存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,∴2e1+ke2e2=λ（e1—4e2)?！唳?2，k=—4λ=-8。變式提升3已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求證：A、B、D三點(diǎn)共線.證明：∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6（2e1+3e2）=6，∴向量與共線。又與有共同起點(diǎn)A，∴A、B、D三點(diǎn)共線。溫馨提示證明三點(diǎn)共線問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行，這是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn),但要弄清兩向量平行的含義,即兩