數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、向量a=的坐標(biāo)如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj。我們把（x，y）叫做向量a的(直角）坐標(biāo)，記作a=(x，y).（*)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，＊式叫做向量的坐標(biāo)表示.由相等向量的定義可以得到任意與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x,y)。特別地,i=(1，0），j=(0,1）,0=（0,0).【例1】在直角坐標(biāo)系xOy中,向量a、b、c的方向和長(zhǎng)度如圖所示,分別求它們的坐標(biāo).思路分析：利用任意角的三角函數(shù)定義,若a=（a1，a2）,a的方向相對(duì)于x軸正向的轉(zhuǎn)角為θ,則有解：設(shè)a=（a1，a2)，b=(b1,b2),c=(c1，c2)，則a1=|a｜c(diǎn)os45°=2×=,a2=|a｜sin45°=2×=，b1=|b｜c(diǎn)os120°=3×（—)=，b2=｜b|sin120°=3×，c1=|c｜c(diǎn)os(—30°）=4×,c2=|c|sin(—30°）=4×(-)=—2，因此a=（,）,b=（）,c=（，—2）.各個(gè)擊破類題演練1已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，｜｜=，∠x(chóng)OA=60°,求向量的坐標(biāo)。思路分析：要求向量的坐標(biāo)，就是要求在x、y軸上的坐標(biāo)，為此可通過(guò)三角函數(shù)求解。解:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,y），則x=｜|·cos60°=×，y=||sin60°=×=6,即A（，6）.∴=（,6）.變式提升1如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),PECF是矩形，用向量證明PA=EF.思路分析：用向量的坐標(biāo)法證明，只要寫出PA與EF的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間距離公式就可得證.問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何建立坐標(biāo)系,考慮到四邊形ABCD，故可以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DC、AD邊所在直線分別為x、y軸,建立坐標(biāo)系.證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,||=λ（λ>0)，則A(0，a),P（λ,λ）,E(a,λ）,F（λ，0）,∴=(λ,a—λ),=（λ-a,λ).∵|｜2=λ2—aλ+a2,||2=λ2—aλ+a2,∴｜|2=｜｜2,故PA=EF。二、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算（1)若a=(a1,a2）,b=(b1，b2）,則a+b=(a1+b1,a2+b2)，即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和。（2)若a=（a1，a2),b=（b1,b2）,則a—b=（a1-b1，a2—b2），即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差。（3)若A(x1，y1)，B（x2，y2）,則=（x2—x1，y2—y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)。(4）若a=(a1,a2),λ∈R，則λa=(λa1，λa2），即向量數(shù)乘積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積.【例2】已知點(diǎn)A（-1,2），B(2，8)及=,=-,求點(diǎn)C、D和的坐標(biāo).思路分析：根據(jù)題意可設(shè)C（x1,y1）,D(x2,y2），然后利用=和=—相等關(guān)系可得關(guān)于x1、y1及x2、y2的方程組，可得C、D點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)。解:設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(x1，y1）、（x2，y2)，由題意可得=(x1+1,y1-2)，=(3，6），=(—1—x2，2—y2）,=（—3,—6)，∵=,=—,∴(x1+1,y1-2)=(3，6)，（-1-x2，2—y2)=-（-3,-6),也就是(x1+1,y1-2)=(1，2），(—1-x2，2-y2）=（1,2)?！唷唷郈、D的坐標(biāo)分別為（0，4）、(-2，0）。因此=(-2,—4)。類題演練2（1)設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是（-1,2)、（3,-5）,求a+b，a-b,3a,2a+3（2)設(shè)向量a、b、c的坐標(biāo)分別為(1,—3）、(-2，4）、(0,5)，求3a-b+c解:(1）a+b=（-1，2）+（3，—5)=（-1+3，2—5）=(2,-3），a—b=（—1,2）—(3,—5)=(-1—3,2+5）=（—4,7）,3a2a+3b(2）3a-b+c變式提升2用坐標(biāo)法證明++=0。思路分析：先設(shè)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)，求出、和的坐標(biāo),再運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算證明等式。證明:設(shè)A(a1,a2)、B（b1,b2）、C(c1，c2），則=（b1—a1，b2—a2），=(c1-b1,c2-b2),=（a1—c1，a2—c2)，∴++=（b1—a1，b2—a2）+（c1—b1，c2-b2）+（a1—c1，a2—c2)=（b1-a1+c1—b1+a1-c1，b2-a2+c2—b2+a2—c2)=(0,0).∴++=0.溫馨提示這個(gè)證明過(guò)程完全是三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算，無(wú)須考慮三個(gè)點(diǎn)A、B、C是否共線。這個(gè)結(jié)論的更一般形式：幾個(gè)向量首尾順次相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量.三、向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一,幾何圖形中的法則是代數(shù)運(yùn)算的幾何含義，坐標(biāo)運(yùn)算是圖形關(guān)系的精確表示，二者的法則互為補(bǔ)充。因此,向量的坐標(biāo)運(yùn)算是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，為我們解決科學(xué)問(wèn)題又提供了一個(gè)嶄新的方法.【例3】已知A（1，-2)，B（2，1），C（3,2),D（-2,3）,以，為一組基底表示++.思路分析：求解時(shí)，首先由點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)求得向量，，，,的坐標(biāo)。然后根據(jù)平面向量基本定理設(shè)++=m+n.最后列出關(guān)于m,n的方程組求解。解：=(1,3)，=（2，4），=（-3,5），=（-4,2），=（-5，1）.設(shè)++=m+n，∴（—12，8)=m（1，3)+n(2，4）,即（-12,8)=（m+2n,3m+4n）.∴++=32—22.溫馨提示（1)本題主要練習(xí)向量的坐標(biāo)表示，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量基本定理以及待定系數(shù)法等知識(shí)。（2)要加強(qiáng)向量的坐標(biāo)與該向量起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系的理解，增強(qiáng)坐標(biāo)運(yùn)算的靈活運(yùn)用能力.類題演練3已知向量a=(x+3,x—3y-4）與相等，若A（1，2）,B(3,2），求x、y的值。解:=—=(3，2）—（1,2）=（2，0）.∵a=，∴故x=-1,y=.溫馨提示由于向量之間的關(guān)系與這些向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系是一致的，解向量問(wèn)題，通常都要把向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)的方程（組）。變式提升3如圖,在ABCD中,M、N分別為DC、BC的中點(diǎn),已知=c,=d，試用c、d表示和。思路分析