數學課堂導學：從位移的合成到向量的加法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1。向量的加減法運算和運算律【例1】用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。思路分析：要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等。根據向量相等的意義，只需證其一組對邊對應向量相等即可.此問題是純文字敘述的問題，首先應轉化為符號語言描述.已知：如右圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于O,且AO=OC，DO=OB.求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：根據向量加法的三角形法則,有=+，,又∵=，，∴=。∴=，即AB與DC平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形.友情提示本題的證明方法是用向量表示四邊形中的邊，然后進行向量加法運算，得出相等向量,再利用向量相等的幾何意義說明四邊形的性質.各個擊破類題演練1如右圖,已知平行四邊形ABCD,=a,=b，用a、b分別表示向量、。解析：連結AC、DB，由求向量和的平行四邊形法則，則=+=a+b.依減法定義得=-=a—b。變式提升1①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必與a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有++=0;③若++=0,則A、B、C為一個三角形的三個頂點;④若a、b均為非零向量，則｜a+b｜與｜a｜+｜b|一定相等。其中正確的個數為（）A。0B。1C.2解析：①錯誤。當a+b=0時，命題不成立.②正確③錯誤。當A、B、C三點共線時也可以有++=0.④錯誤.只有當a與b同向時，相等，其他情況均為｜a|+｜b|＞｜a+b|.答案：B2。向量加減法的綜合應用【例2】已知向量a、b，比較｜a+b|與|a｜+｜b|的大小。思路分析:因為向量包含長度和方向，所以在比較向量長度的大小時，要考慮其方向.同時要注意特殊的向量零向量。解:(1)當a、b至少有一個為零向量時，有｜a+b｜=|a|+｜b｜。(2)當a、b為非零向量且a、b不共線時,有｜a+b｜＜|a|+｜b｜.（3）當a、b為非零向量且a、b同向共線時,有|a+b｜=｜a｜+｜b｜.（4）當a、b為非零向量且a、b異向共線時，有｜a+b｜＜｜a｜+|b|.友情提示解答本題可利用向量加法的三角形法則作出圖形輔助解答，關鍵是準確、恰當地進行分類。類題演練2若向量a、b滿足|a|=8，｜b｜=12，則｜a+b｜的最小值是________，|a—b|的最大值是________。解析:在a與b共線反向時，|a+b｜取最小值.a與b共線反向時，｜a-b|取最大值。答案：420變式提升2若a≠0，且b≠0，且|a｜=|b｜=｜a-b｜，求a與a+b所在直線的夾角.解析：∵｜a|=｜b｜=｜a—b|,∴∠BOA=60°。又∵=a+b，且在菱形OACB中,對角線OC平分∠BOA，如右圖，∴a與a+b所在直線的夾角為30°。3。向量減法運算【例3】化簡(-）—（-)。思路分析:混合運算可以統(tǒng)一成一種運算，即把加、減混合運算統(tǒng)一成加法運算.解：（-）—（-）=+++=（+）+（+）=+=0。友情提示做向量減法運算時，結果的箭頭方向容易出錯，要記住“在用三角形法則做向量減法時，連結兩向量終點,箭頭指向被減向量。”類題演練3在四邊形ABCD中，-—等于（）A。B.