數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)【例1】已知:a=(cosα，sinα),b=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π）求證：a+b與a—b互相垂直.思路分析：要證（a+b）⊥（a-b），只要證兩者的數(shù)量積為0，解題過(guò)程中要用到三角函數(shù)知識(shí)證法一:由已知a=(cosα，sinα),b=(cosβ，sinβ)，有a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ),a-b=（cosα-cosβ，sinα—sinβ)，又(a+b)·（a—b)=（cosα+cosβ)(cosα—cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α—sin2β=0,所以(a+b）⊥(a—b).證法二：∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ,sinβ),∴（a+b）·（a—b）=a2—b2=｜a|2—|b｜2=（cos2α+sin2α)-（cos2β+sin2β）=1-1=0?！啵╝+b）⊥(a—b）.友情提示兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一。各個(gè)擊破類題演練1已知A(1，2），B（2，3），C（—2，5）,求證:△ABC是直角三角形證明:∵=（2-1，3-2)=（1，1),=（—2—1，5—2)=（—3，3），∴·=1×(—3）+1×3=0，∴⊥即AB⊥AC∴△ABC是直角三角形.變式提升1已知a=(4,2）,求與a垂直的單位向量的坐標(biāo)。解析：設(shè)b=(x,y）為所求單位向量則x2+y2=1①又∵a⊥b∴a·b=(4，2)·(x，y)=4x+2y=0∴4x+2y=0②由①②得∴b=(）或b=（）.2.建立向量與坐標(biāo)間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想【例2】已知a、b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足｜a｜=｜b|=｜a—b｜，求a與a+b的夾角。思路分析：本題思路較多.可以由條件求出a·(a+b)及|a+b|代入夾角公式.也可以運(yùn)用向量加法的幾何意義,構(gòu)造平行四邊形求解。解法一：根據(jù)|a|=｜b｜，有｜a｜2=|b|2，又由|b｜=｜a-b｜，得|b｜2=｜a|2—2a·b+|b｜2,∴a·b=｜a｜2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+｜b｜2=3|a|2∴|a+b|=|a|。設(shè)a與a+b的夾角為θ，則cosθ=，∴θ=30°.解法二：根據(jù)向量加法的幾何意義，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB.∵|a|=｜b｜，即|｜=||，∴OACB為菱形，OC平分∠AOB，這時(shí)=a+b，=a—b。而｜a|=|b|=|a-b|,即｜|=|｜=||?！唷鰽OB為正三角形，則∠AOB=60°，于是∠AOC=30°,即a與a+b的夾角為30°.友情提示本題的二種解法是基于平面向量的二種不同的表示方法而產(chǎn)生的，這一點(diǎn)需要大家認(rèn)真體會(huì)類題演練2已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為4和6,試用向量求兩直角邊上的中線所成鈍角的余弦值.解析：建立如右圖所示的坐標(biāo)系.則A（4，0），B（0，6），E（2，0)，F(xiàn)（0,3）.=(—4，3），=（2，—6）,｜|=5，|｜=,cos∠AO′B=?！鄡芍芯€所成鈍角的余弦值為。變式提升2設(shè)a=(4,-3），b=（2,1）,若a+tb與b的夾角為45°，求實(shí)數(shù)t的值。解析:a+tb=（4，-3)+t（2，1)=（4+2t，t—3），(a+tb)·b=(4+2t，t—3)·（2，1）=5t+5，|a+tb｜=.由（a+tb）·b=｜a+tb｜｜b|cos45°，得5t+5=,即t2+2t—3=0，∴t=-3或t=1.經(jīng)檢驗(yàn)知t=—3不合題意，舍去?！鄑=1.3.向量垂直的等價(jià)條件的應(yīng)用【例3】如右圖，已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,0）、（5，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A。（2，7）B。（，）C。(3,6）D。（，）思路分析：欲求點(diǎn)C的坐標(biāo),可設(shè)點(diǎn)C為（x，y)，然后利用條件建立x、y的方程組.注意到四邊形ABCD為正方形，所以⊥，且||=｜|，可用它們建立x、y的方程組.解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y），則=（4，3)，=（x—5,y—3）?！咚倪呅蜛BCD為正方形,∴⊥，｜|=||?！嘟獾糜帧逤點(diǎn)在第一象限，∴舍去。答案:A友情提示求點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)然后建立坐標(biāo)的方程組是解決這類題的常用方法.另外還可考慮幾何法，作BM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥x軸于點(diǎn)N，易得△ABM≌△DAN，可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(—2，4），然后利用=+，易得C點(diǎn)坐標(biāo).類題演練3如右圖，已知△ABC中,A（2，-1）,B（3，2），C（-3，—1)，AD是BC邊上的高，求及點(diǎn)D的坐標(biāo)。解析:設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y)∵AD⊥BC,∴⊥，與共線.又∵=（x—2，y+1),=(-6,-3）,=(x+3,y+1）.∴∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），∴=(—1，2）.變式提升3以原點(diǎn)O和A（4，2）為2個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，∠B=90°,求B的坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)。解析:如右圖，設(shè)B的坐標(biāo)為(x,y），則=(x，y),=(x-4,y-2)?！摺螧=90°,∴⊥，∴x（x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y.①設(shè)的中點(diǎn)為C