高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)【導(dǎo)學(xué)案】

第二章I函數(shù)

第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示

函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

基礎(chǔ)扎牢基礎(chǔ)不牢?地動山搖

［由教材回扣基礎(chǔ)］

1.函數(shù)的基本概念

一般地，設(shè)4,3是非空的數(shù)集，如果對于集合4中的任意一個數(shù)x,按照

概念某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,在集合5中都有唯二確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就

稱/：Af5為從集合A到集合3的一個函數(shù)

對應(yīng)關(guān)系y=f(x),x^A,x為自變量

三要素定義域工的取值范圍

值域與x的值相對應(yīng)的j的值的集合{f(x)|xGA}

表示函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法.同一個函數(shù)可

方法以用不同的方法表示.

2.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).

3.分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

澄清微點?熟記結(jié)論

(1)垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象至多有1個交點，即在定義域內(nèi)垂直于x軸的直線與

圖象只有1個交點.

⑵解決函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的思想.

(3)求函數(shù)的定義域時常用的結(jié)論

①分式中，分母不為0;

②偶次方根中，被開方數(shù)非負(fù)；

③對于y=x。，要求xWO,負(fù)指數(shù)的底數(shù)不為0;

④對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1;

⑤指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1;

7T

⑥對于正切函數(shù))=1211”,要求XWATT+K，kGZ.

(4)復(fù)合函數(shù)：一般地，對于兩個函數(shù)y=/(")和〃=g(x),如果通過變量"，y可以表示

成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和"=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=/(g(x)),其中y

=f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的外層函數(shù)，u=g(x)叫做y=_/(g(x))的內(nèi)層函數(shù).

[練小題鞏固基礎(chǔ)]

一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)

(1)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.()

(2)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y.()

(3)在函數(shù)的定義中，集合3是函數(shù)的值域.()

答案：(1)X(2)X(3)X

二、練牢教材小題

1.(人教A版必修①P24T2改編)下面函數(shù)中，與函數(shù)y=x+l是相等函數(shù)的是()

A.y=，(x+l)2B.J=A/P+1

x2

C.j=~+lD.y—y[xi+l

答案：B

2.(新人教A版必修①P72T6改編)已知二次函數(shù)/U)滿足｛0)=0,犬1)=1,八2)=6,

則兀r)=?

答案：2x2—x

3.(人教A版必修①P17例1改編涵數(shù)｛+亞二^的定義域是.

答案：(一4,4]

r|x|,X<—1,

4.(人教B版必修①P44Tl改編)已知函數(shù)/(x)=v亞=P,一iWxWL則式3)+八一3?

x>l,

(3)的值為.

答案：1+2小

三、練清易錯易混

(x+1)2,X<1,

1.(忽視自變量范圍)設(shè)函數(shù)1A%)=，/——則使得大x)21的自變量X的取

4rL1,Qi,

值范圍為.

解析：當(dāng)xvl時，/(x)21=(x+l)22102或x20,所以x/一2或OWxvl.當(dāng)

時，/(幻》104一[%—1，1,即Jx—123,所以iWxWlO.綜上所述，2或OWxWlO,

即X￡(-8,-2]U[0,10].

答案:(一8,-2]U[0,10]

2.(忽視新元范圍)已知八5)="一1,則犬x)=.

解析：令t=y[jc,則，20,x=t2,所以#￡)=F—1?20),即八工)=%2—1(%20).

答案：X2—1(x^0)

考法研透—方向不對，努力白費

命題視角一函數(shù)的定義域(自主練通)

1.函數(shù)/U)=ln(4x—x2)+S的定義域為()

A.(0,4)B.[0,2)U(2,4]

C.(0,2)U(2,4)D.(一8,0)U(4,+8)

4x—/>0,

解析：選C要使函數(shù)有意義，貝加'解得0VxV4且xW2.

｝一2W0,

2.函數(shù)y="謂寓。的定義域為()

A.(-1,3]B.(-l,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]

f—x2+2x+3^0,

解析：選B要使函數(shù)有意義，X需滿足卜+1>0,解得一IvxvO或0aW3,

L+iwi,

所以函數(shù)的定義域為(一l,0)U(0,3].故選B.

3.已知函數(shù)/(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)8(*)=_/9+3+{—3)的定義域是()

B2

A.2?1(?]

ri3]

r2

T&w|,

13

解析：選c由題意得q.??不京“43?故選C.

〔亦工v吟45,

乙

4.已知函數(shù)丫=履2不獲x+3的定義域為R，則實數(shù)左的取值范圍是

1伍>0,

解析：當(dāng)左=0時,7=5,滿足條件；當(dāng)#W0時，由《,得0?<3.綜上，0Wk3.

3［4?2—12左<0,

答案：［0,3)

［一“點”就過］

1.根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略

已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據(jù)

函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可.

2.求抽象函數(shù)的定義域的策略

(1)若已知函數(shù)式x)的定義域為［a,b］,則復(fù)合函數(shù)｛g(x))的定義域由不等式aWg(x)WZ>

求出；

(2)若已知函數(shù)｛g(x))的定義域為［a,b］,則｛x)的定義域為g(x)在切上的值域.

命題視角二求函數(shù)解析式

［典例］(1)已知大X)是二次函數(shù)，且式0)=0,/(x+l)=/U)+x+l,求｛x)的解析式.

(2)已知/停+l)=lgx,求/(x)的解析式.

(3)已知函數(shù)_/U)滿足八一x)+劫M=23求人x)的解析式.

［解］(1)(待定系數(shù)法)設(shè)於)=ax2+/)x+c(aW0),由膽)=0,知c=0,於尸",+取，

222

又由f(x+l)=f(x)+x+l9得a(x+l)+b(x+l)=ax+bx+x+l,即ax+(2a+b)x+a+b

2a+力=8+1,111

2

=ax+(b+l)x+l9所以J,解得。=)=不?所以｛")=神2+不xER.

a+b=l9///

222

(2)(換元法)令(+1=力<x=~t—i9代入得大。=坨二P又40,所以Q1,故的解

2

析式是大⑹=坨丁石，xG(l,+8).

(3)(解方程組法)由/(一x)+紈x)=2，，①

得兀r)+紈一幻=2一"②

2工+1—2~x2工+1—2~x

①X2—②，得3/U)=2/i—2r.即/U)=--.故人x)的解析式是八x)=^~-----，x

GR.

［方法技巧］求函數(shù)解析式的常用方法

待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)的特征已經(jīng)確定時，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式

如果給定復(fù)合函數(shù)的解析式，求外層函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)

換元法

層函數(shù)先換元，然后求出外層函數(shù)的解析式

配湊法將他⑺)右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于g(x)的形式，進(jìn)而求出/U)的解析式

如果給定兩個函數(shù)的關(guān)系式，可以通過變量代換建立方程組，再通過方

解方程組法

程組求出函數(shù)解析式

[針對訓(xùn)練]

1.(換元法)已知大,+1)=X+25，求/W的解析式.

解：法一：設(shè)，=5+1(，21),貝■=?—1產(chǎn)，

2222

：.f(t)=(t-l)+2(t~l)=t-2t+l+2t-2=t-lf：.f(x)=x-l(x^l).

法二：Vx+2^/x=(-^/x)2+2^/x+l—l=(^/x+l)2—1,^,f(y[x+1)=(y[x+1)2—1,

=X2—1(x^1).

2.(配湊法)已知二次函數(shù)式2%+1)=標(biāo)2—6%+5,求/⑴的解析式.

解：因為犬2了+1)=4/—6x+5=(2x+l)2—5(2x+l)+9,所以八工)=爐一5工+9(工￡1?).

3.(解方程組法)已知/(x)滿足2{x)+O=3x,求八x)的解析式.

與(x)+《)=3x,

解：把原式中的X換成;，得2娟+/(x)=*聯(lián)立|

區(qū))+於)=*

解得f(x)=2x-0).

命題視角三分段函數(shù)

考法(一)求分段函數(shù)值

COS7TX,居)十/(甘)的值為()

［例1］已知加)="，、/則J

B.—[

A.］

D.1

［解析1/(4-)=/(-i)-卜1=.心)+1=

oo

COS年+1=5，/'(—y)=cos(—?\_2兀_1

)-cosy-萬，

［答案］D

考法(二)已知分段函數(shù)值，求自變量

［例2］設(shè)函數(shù)/(x)=_2、:'若/(/5))=2,則〃=________.

x,%>0?

［解析］若。>0,則/(")=—”2<0,.?.4/1))=°4—2層+2,由/1))=2,得2°2+2

=2,解得。=也(0和負(fù)解舍去).若aWO,則{”)=層+20+2=(4+1)2+1>0,：.f(f(a))=

一(a2+2a+2)2V0W2.綜上，a=小.

［答案］.

考法(三)與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題

2~xx<0

［例3］(2018?全國I卷)設(shè)函數(shù)/>)=,'、'則滿足於+1)勺3)的x的取值范

1,x>0,

圍是()

A.(一8,-1］B.(0,+°°)

C.(-1,0)D.(一8,0)

x+l<0,

［解析］①當(dāng)?"即xWT時，於+1)勺⑵:)，即為2-(”1)<2f,即一(x+i)<

.2xW0,

fx+1^0,

-lx,解得X<1.因此不等式的解集為(-8,-1］,②當(dāng)時，不等式組無解.③

［2x>0

x+l>0,_

當(dāng)1/即一1<XW0時，/U+1)勺(2x),即為1<2，，解得x<0.因此不等式的解集為(一

2x^0,

x+l>0,

1,0).④當(dāng)即x>0時，Ax+1)=1,{2x)=1,不合題意.

2x>0,1

綜上，不等式y(tǒng)u+l)勺(2x)的解集為(一8,0),

［答案］D

考法(四)與分段函數(shù)有關(guān)的值域'最值問題

(1—2d)x+3a(x<1),

［例4］已知函數(shù)/(%)=的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是()

Inx(x^l)

r1n

A.(—oo,—l)B.—91

C.-1.y)D,(O.y)

1—2a>0,i

［解析］由題意得八j解得一lWa<5,故選C.

［(1—2a)+3a20.2

［答案］C

［方法技巧］分段函數(shù)應(yīng)用的常見題型及解題策略

求函數(shù)值或解

由自變量所屬區(qū)間，選定相應(yīng)的解析式求解

不等式

求函數(shù)值域分別求每一段的值域，再取并集

求函數(shù)最值分別求每一段的最值，然后比較大小，從而求得最值

求參數(shù)的值（或

分段處理，分類討論，綜合作答

參數(shù)范圍）

［針對訓(xùn)練］

2—%+1,xVO,

1.(2022?大同高三開學(xué)考試)已知函數(shù)兀r)=|''則八2021)=()

|/(x—2),

A.2B.1

C.1D.3

解析：選D當(dāng)x20時，f(x)=f(x-2),所以x20時，/U)周期為2,所以人2021)=1Al

011X2-l)=/(-l),因為xVO時，/(尤)=2-*+1,所以式2021)=八-1)=2-01)+1=3.

lx—a,x<l,

2.(2021?肇■慶二桃)設(shè)函數(shù){》)=、若八"4〃，貝!|a=________.

2X,x^l,

解析：VI<1,.?./了)=2*1—a=；一”.當(dāng)；一“<1,即。>一；時，

)(/(4))/(2"=2X(2—〃=i—3〃=4,解得a=-l,與〃>一；矛盾，舍

去；當(dāng)t—a'l,即aW—；時，/(/(+))=/(彳—j=2?“=4,則;_.=2,即a=_|,

13

滿足一不?所以a=一刀.

答案：V

%一］xW2

3.(2022?四川珍斷性測試)已知函數(shù)1/U)={'、’則勉5))=________,不

,log2(X—1),x>2,

等式/U+2)+/(x)>_A2)的解集為.

解析：..7(5)=10824=2,.?.*(5))=/(2)=1....{X+2)+/^)>式2)=1,

x+2W2,x>2,

則

x+2-l+x-l>lJOg2(X+1)+lOg2(X—1)>1

x+2>2,

或，xW2,解得x>2或1VXW2,則原不等式的解集為{x|x>l}.

Jog2(X+l)+x_1>1,

答案：1{X|X>1}

?思維激活靈活不足?難得高分

數(shù)學(xué)建模.練抽象思維—函數(shù)模型的建構(gòu)與應(yīng)用

1.(參悟數(shù)學(xué)文化)中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來的，之所以

這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)指一個量

隨著另一個量的變化而變化.下列選項中，兩個函數(shù)相同的一組是()

A.1Ax)="P與g(x)=|x|

B./(x)=21g尤與g(x)=lgx2

C.八工)=22*與g(f)=4，

工2—1

D.7(x)=x-1與g(x)=￡pj

解析：選C對于A,f(x)=y[xi=x,定義域為R,g(x)=|x|,定義域為R,但兩個函數(shù)

的對應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)；對于B,/U)=21gA：,定義域為(0,+°°),g(x)=lgx2,定

義域為(-8,0)U(0,+°°),兩個函數(shù)的定義域不同，不是相同函數(shù)；對于C,以上)=22*=

41,定義域為R,g(f)=",定義域為R,兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同

-1

函數(shù)；對于D,f(x)=x—l,定義域為R,g(x)=x+]=*—1,定義域為(一8,—1)U(—1,

+°°),兩個函數(shù)的定義域不同，不是相同函數(shù).故選C.

2.(銜接高等數(shù)學(xué))高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”

的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xGR,用田表示不超過x的最大整數(shù)，則j

2*+3_

=2稱為高斯函數(shù).例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函數(shù)人幻=百有，則函數(shù)y=[/(x)]

的值域為()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}

C.(1,2,3}D.{1,2}

2葉32X+1+2?1

解析：選D於)=^[=-2葉]=1+FR，,?'2X>0,/.1+2->1,.-.0<^pj-<l,則

22

0<^+7<2,.，.1<1+^H-<3,即1JX)<3.當(dāng)1<八?<2時，成詡=1;當(dāng)2<八?<3時，雙創(chuàng)

=2.綜上，函數(shù)y=[/(x)]的值域為{1,2}.故選D.

3.（走向生產(chǎn)生活）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距T

離是2km,從尸點沿海岸正東12km處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人2前"一

駕駛的小船的平均速度為3km/h,步行的速度為5km/h,時間，（單比’

位:h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間,x（單位:km）表示此人將船停在海岸處距P點的距離.設(shè)

u=^x2+4+x,v=ylx2+4—x,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)。=/（〃）為增函數(shù)

B.15，—40=32

C.當(dāng)x=L5時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少

D.當(dāng)x=4時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3h

222

解析：選CVw=^/x+4+x,v=yJx+4—x9.\y/x+4=-^—,x=2，uv=49易

知。=：在（O,+8）上是減函數(shù)，A錯誤；Q率+噂=中+呈一號，整理

W1J0U0_1-U

得15f="+4o+36,B錯誤；由A、B得15f=〃+以+36221/"?也+36=44,當(dāng)且僅

當(dāng)〃=4，即〃=4時取等號，由，丫2+4+*=4,解得X=L5,C正確；x=4時，

8.2^/57^500-^441

十二，t—3=^—^=----運---->0,t>3,D錯沃.

4.（創(chuàng)新學(xué)科情境）有以下三個條件：①定義域不是R；②值域為R；③奇函數(shù).寫出一

個同時滿足以上三個條件的函數(shù)：f（x）=.

x+1,x<0,

解析：同時滿足題中三個條件的函數(shù)為y=tanx或等.

X—1,x>0

x+1,x<0,

答案一（答案不唯一）

x—1,x>0

5.（創(chuàng)新學(xué)科情境）定義新運算“★”：當(dāng)機(jī)，胃時，機(jī)★〃=機(jī)；當(dāng)機(jī)V”時，機(jī)★〃=〃2.

設(shè)函數(shù)式x）=（2*x）x—（4★x）,xe[l,4],則函數(shù)式幻的值域為.

2x—43￡[12]

解析：由題意知，人x)=3J=八'當(dāng)XG[1,2]時，y(x)G[—2,0];當(dāng)xG(2,4]

[x3—4,x￡(2,4],

時，/(x)e(4,60],故當(dāng)x￡[l,4]時,/(x)G[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

[課時跟蹤檢測]

1.下列函數(shù)中，與y=x相同的函數(shù)是（）

A.y=ylxiB.j=lg10x

c.D.y=(ylx—l)2+l

解析：選B選項A,y=dP=|x|與y=x的對應(yīng)關(guān)系和值域不同，不是相同函數(shù)；選項

B,j=lg10x=x,是相同函數(shù)；選項C,7=q_=”(工#0)與y=x的定義域不同；選項D,函

數(shù)的定義域不同，不是相同函數(shù).故選B.

e*i,1,

2,若函數(shù)/(x)=[''則/(/(2))=()

5x,x>l,

A.1B.4

C.0D.5-e2

解析：選A由題意知，f(2)=5—4=l,f(l)=e0=l,所以心2))=1.

3.函數(shù)y=普忠的定義域為()

A.(—8,1]

B.[-1,1]

c(-L4MTi)

D[T，_{)O_

2—1<X<1,

l-x>0,即《1

解析：選c要使函數(shù)有意義,所以函數(shù)y

2x2—3x—2WO,x#2且xW-不,

Ig(lT)

的定義域為

2xx—3x-2

4.(2022?重慶六校模擬)已知函數(shù)｛x+1)的定義域為(-2,0),則大2x—1)的定義域為()

A.(-1,0)B.(-2,0)

C.(0,1)D.(一；,0)

解析：選C?.?函數(shù)1Ax+1)的定義域為(一2,0),即一2Vxe0,.-.-Kx+Kl,則八x)的

定義域為(-1,1).由一1<2》一1<1,得0<x<l,.\A2x—l)的定義域為(0,1).故選C.

X2~lf

5.設(shè)函數(shù)/(x)=,八，若/(桃)=3,則實數(shù)帆的值為()

.log2X，0vxv2,

A.-2B.8

C.1D.2

解析：選D當(dāng)相，2時，由m2—1=3,得加2=4,解得m=2;當(dāng)0<m<2時，由log2m

=3,解得m=23=8(舍去).綜上所述，m=2,故選D.

6.若函數(shù)大好滿足f(3x+2)=%+8,則八X)的解析式是()

A.f(x)=9x+8

B.f(x)=3x+2

C.f(x)=-3x—4

D.1Ax)=3x+2或八x)=-3x-4

f—2t—2

解析：選B令f=3x+2,貝4x=丁，所以/(f)=9X亍+8=3f+2.所以/>)=3尤+2,

故選B.

V

7.函數(shù)式期=在2xe(-oo,0)U(0,+8),則下列等式成立的是()

B--%)=/(3

A.f(x)=f

C嵩=/?

D.f(~x)=-f(x)

解析：選D根據(jù)題意得?！?)=訐9，所以/於)J(3

：點；/(_》)=]+(1x)2=_^=_/(幻，一/a)司'?).

log2(x+l),"21,

8.已知函數(shù)/(x)=",則滿足/(2x+l)</(3x-2)的實數(shù)x的取值范圍是()

.1,xvl,

A.(一8,0]B.(3,+00)

C.[1,3)D.(0,1)

解析：選B由題知，當(dāng)x<l時，八幻=1,當(dāng)時，函數(shù)八x)在[1,+8)上單調(diào)遞

2x+l<3x_2,

增，且m)=log22=L要使得｛2x+l)勺(3x-2),則,一解得X>3.

3x—2>1,

9.已知函數(shù)ZU),g(x)分別由表給出，則g(/l3))=.

X123

f(x)213

g(x)321

答案：1

當(dāng)0WxW2時，f(x)=—^x,

x+1,-lWx<0,

所以y(x)={i

一牙,00W2.

x+1,—lWx<0,

答案：於)={1

-2X,0WxW2

11.已知函數(shù)f(x)滿足/(2-?+2/(2+f)=3x,則八-2)=.

X2-9+2X2+9=3X>

解析:由題意可得1

X2+9+2X24)=-3^

令2+：=—2可得：x=-I，

則/(_2)=3X(_￡)=_*

答案：一：

12.若函數(shù)/(x)=lg(">一心+()的定義域為比則實數(shù)★的取值范圍是.

解析：函數(shù)八x)=lg(3Tl/)的定義域為R,所以關(guān)于x的不等式2M一履+5

>0恒成立.當(dāng)左=0時，不等式為d>0恒成立；當(dāng)RW0時，左V0顯然不成立；當(dāng)k>0時，

O

3

應(yīng)同時滿足/=好一4X2AXdV0,解得0VAV3.綜上，實數(shù)女的取值范圍是[0,3).

O

答案：[0,3)

\2x+a—l<x<0,

13.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，且/(x+2)=&/(x),/(*)=[8fc-「其中a,

.be",OWxWl,

6為正實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若/(3)=/(!■),貝哈的取值范圍為.

解析：因為/(x+2)=也/(X),所以/(1)=/(4+'1)=(歷二/(J)=2加J(R=

2X2Xa

/(-1+)=M-7)=^[(-1)+]='/2(a-l)(因為/(￡)=/信),所以也

(a—l)=2eb,所以”=也助+1,因為b為正實數(shù)，所以彳=二^^=<^+：￡(]ie,+°°),

故，的取值范圍為h/ie,+°°).

答案：(、/5e,+°°)

ax-\-b,x<0,

14.設(shè)函數(shù)/>)=

2Sx20,

且八-2)=3,八一1)=八1).

⑴求/(x)的解析式；

⑵畫出人口的圖象.

A-2)=3,

解：⑴由<

八-1)=?,

—2。+)=3,

得.

—a+b=2f

-x+1,x<0,

解得所以｛x)=

2X,Q0.

(2)成工)的圖象如圖所示.

第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用

和實際意義.

2.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.

3.了解函數(shù)周期性的概念和幾何意義.

第1課時系統(tǒng)知識牢基礎(chǔ)——函數(shù)的單調(diào)性與最值、奇偶性、周期性

知識點一函數(shù)的單調(diào)性

［由教材回扣基礎(chǔ)］

1.增函數(shù)與減函數(shù)

2.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

提醒：(1)函數(shù)單調(diào)性定義中的XI,X2具有以下三個特征：一是任意性，即“任意兩數(shù)

Xl,X2^D","任意"兩字決不能丟；二是有大小，即或X1>X2)；三是同屬一個單調(diào)

區(qū)間.三者缺一不可.

(2)若函數(shù)在區(qū)間。上單調(diào)遞增(或遞減)，則對。內(nèi)任意的兩個不等自變量X1,必的值,

都收Z3>0型口應(yīng)<0)

Xi-X2IXJ—X2)

(3)函數(shù)式x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，是函數(shù)在此區(qū)間上的整體性質(zhì)，不一定代表在整個

定義域上有此性質(zhì).

3.謹(jǐn)記常用結(jié)論

⑴函數(shù)/(X)與/(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)?>0時，函數(shù)兀r)與協(xié)力單調(diào)性相同；左<0時，函數(shù)兀r)與切;x)單調(diào)性相反.

(3)若/(外恒為正值或恒為負(fù)值，則/(?與心具有相反的單調(diào)性.

(4)若/(x),g(x)都是增(減)函數(shù)，則當(dāng)兩者都恒大于零時，式x)?g(x)是增(減)函數(shù)；當(dāng)兩者

都恒小于零時，山)藝(上)是減(增)函數(shù).

(5)在公共定義域內(nèi)，增+增=增，減+減=減，增一減=增，減一增=減.

(6)復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的單調(diào)性判斷方法：“同增異減”.

［練小題鞏固基礎(chǔ)］

1.判斷正誤

(1)若定義在R上的函數(shù)八x),有八一1)〈人3),則函數(shù)1A?在R上為增函數(shù).()

(2)函數(shù)y=/U)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間是口，+8).()

(3)函數(shù)的遞減區(qū)間是(一8,o)u(O,+°°).()

答案：⑴X(2)X⑶X

2.(人數(shù)B版必修①P45例2改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.產(chǎn);—xB.y=x2-x

C.產(chǎn)x+/D.y=ex

答案：A

3.(人教A版必修①P39T1改編)函數(shù)八x)=/—2x的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案：口，+8)

4.(新人教B版必修①P103Tl改編涵數(shù)y=兀r)是定義在［-2,2］上的減函數(shù)，且八。+1)

<f(2a),則實數(shù)。的取值范圍是.

2Wa+lW2,

解析：由條件知，一242aW2,解得一l^aVL

_a+l>2a,

答案：［-1,1)

5.(易忽略兩個區(qū)間不能用“或”連接)設(shè)定義在［—1,7］上的函數(shù))=/)的圖象如圖所

示，則函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間為.

'67%

答案：［5,7］

6.(忽略單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系)函數(shù)八x)=lg(9—4的定義域為；其單調(diào)遞

增區(qū)間為.

解析：對于函數(shù)/(x)=lg(9-x2),令/=9-x2>0,解得一3VxV3,可得函數(shù)的定義域

為(一3,3).令g(x)=9一始，則函數(shù)八*)=坨&(*)),又函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)的增區(qū)間為(一3,0］,

所以函數(shù)人幻=坨(9一好)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一3,0］.

答案：(一3,3)(—3,0］

知識點二函數(shù)的最值

［由教材回扣基礎(chǔ)］

1.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為1,如果存在實數(shù)M滿足

對于任意xG/,都有f(x)WM；對于任意xd/,都有

條件

存在xOe/,使得，xo)=M存在xOG/,使得危臉=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

2.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在

端點處取到.

⑵開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.

澄清微點?熟記結(jié)論

(1)對于單調(diào)函數(shù)，最大(小)值出現(xiàn)在定義域的邊界處；

(2)對于非單調(diào)函數(shù)求最值，通常借助圖象求解更方便；

(3)一般地，恒成立問題可以用求最值的方法來解決，而利用單調(diào)性是求最值的常用方

法.注意以下關(guān)系：

恒成立旬1(x)min》a；1AX)Wa恒成立校/(x)maxWa.解題時，要務(wù)必注意"="的取

舍.

［練小題鞏固基礎(chǔ)］

1.判斷正誤

(1)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()

(2)若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.()

(3)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)無最值.()

(4)分段函數(shù)的最值不止一個.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)X

2

2.(人教A版必修①P31例4改編)函數(shù)7=言?在區(qū)間［2,3］上的最大值是.

答案：2

3.(人教B版必修①P63T5改編)如果函數(shù)加:)=/+2%—3,x￡［0,2］,那么函數(shù)八x)的

值域為.

答案：［-3,5］

4.若函數(shù)/(x)=—2+伙”>0)在［3，2上的值域為2,則a=,b=.

=1,f(x)max=f(2)=2.

答案：1|

-1

5.(易忽視*2的范圍導(dǎo)致值域變大)函數(shù)y=9五的值域為

*2—1工2—]—2—2—2

解析：由尸示百=.+]=1+再不令，=必+1,貝"f2l,/.—￡[—2,0),：.y

=l+_^_e［—1,1),，所求函數(shù)的值域為［—1,1).

答案：［-1,1)

知識點三函數(shù)的奇偶性

［由教材回扣基礎(chǔ)］

1.函數(shù)奇偶性的定義及圖象特征

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有以二

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

x)=~f(x),那么函數(shù)_/U)就叫做奇函數(shù)

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/?(一

偶函數(shù)關(guān)于V軸對稱

x)=f(x),那么函數(shù)式X)就叫做偶函數(shù)

2.函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論

(1)如果一個奇函數(shù)/(x)在原點處有定義，即/(0)有意義，那么一定有『(0)=0.

(2)如果函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(|x|).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即｛x)=0,x^D,其中定義域。是關(guān)

于原點對稱的非空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反

的單調(diào)性.

3.有關(guān)對稱性的結(jié)論

(1)若函數(shù)y=_/U+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=_/U)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=t/U)的圖象關(guān)于點3,0)對稱.

(2)若/(x)=/(2a—x),則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；若/(x)+/(2a—x)=2Z>,則

函數(shù)/U)的圖象關(guān)于點3，份對稱.

(3)若函數(shù)/(x)滿足/(a+x)=/S-%),則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=—］一對稱.

［練小題鞏固基礎(chǔ)］

1.在函數(shù)y=xcosx,j=ex+x2,j=lg\/x2—2,y=xsinx中，偶函數(shù)的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

解析：選By=xcosx是奇函數(shù)，丁=1隊/*2—2和口=心［11。是偶函數(shù),y=e"+x2是非奇

非偶函數(shù)，所以偶函數(shù)的個數(shù)是2?

2.(不會構(gòu)造奇、偶函數(shù))已知函數(shù)f(x)=ex—?—*+“