中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓（基礎(chǔ)、?？?、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版+解析）

第24章圓（基礎(chǔ)、?？肌⒁族e(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?浙江臺(tái)州?九年級(jí)期末）用直角尺檢查某圓弧形工件，根據(jù)下列檢查的結(jié)果，能判斷該工件一定是

半圓的是（）.

A.lOB.WC

2.（2022?山東?陵城區(qū)教學(xué)研究室一模）如圖，以正方形A8C。的邊為直徑作一個(gè)半圓，點(diǎn)M是半圓上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以線段AM、。河為邊各自向外作一個(gè)正方形，其面積分別為5和S2,若正方形的面積為

10,隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)S/+S2的值（）

小于10C.等于10D.不確定

3.（2022.江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）輪船在航行過程中，船長常常通過測(cè)定角度來確定輪船是否會(huì)遇到暗礁.如

圖，A,8表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的。。內(nèi)C表示一個(gè)危險(xiǎn)臨界點(diǎn)，ZACB=70°,輪船P與

兩個(gè)燈塔的夾角為Ne,保證輪船航行不觸礁的可以是（）

C.80°D.85°

4.（2022?山西晉中.二模）在數(shù)學(xué)探究課上，小明在探究圓周角和圓心角之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，按照?qǐng)A周角與

圓心的不同位置關(guān)系作出了如下圖所示三個(gè)圖進(jìn)行探究小明的上述探究.過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.公理化思想B.分類討論思想C.轉(zhuǎn)化思想D.建模思想

5.（2022?江蘇蘇州?九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.直徑是圓中最長的弦，有4條

B.長度相等的弧是等弧

C.如果。A的周長是。8周長的4倍，那么。A的面積是。B面積的8倍

D.已知。。的半徑為8,A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且。4=8,那么點(diǎn)A在。。上

6.（2022?四川宜賓?八年級(jí)期末）用反證法證明“在△A2C中,AB=c,BC=a,CA=b,NC>NA且/C#90°,

那么。2+〃忿2.,,應(yīng)先假設(shè)（）

A.a2-\-b2=c2B./+爐>/c.a2+b2<crD.4+62>/或

7.（2022?浙江?翠苑中學(xué)八年級(jí)期中）用反證法證明：“多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最多有3個(gè)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)

（）

A.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最少有4個(gè)B.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最少有3個(gè)

C.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最少有2個(gè)D.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最多有2個(gè)

8.（2022?山西晉中?八年級(jí)期中）在證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60?！睍r(shí)先假設(shè)每一個(gè)內(nèi)角都大

于60。，然后，…，這種證明方法是（）

A.綜合法B.舉反例法C.數(shù)學(xué)歸納法D.反證法

9.（2022?貴州貴陽?八年級(jí)期末）對(duì)于命題“若無2=25,貝丘=5"，小江舉了一個(gè)反例來說明它是假命題，則

小江選擇的尤值是（）

A.x-25B.x—5C.x=10D.x=—5

10.（2022.江蘇.九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.兩點(diǎn)之間，直線最短

B.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

C.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

D.一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行且相等

11.（2022?山西晉中.二模）公元263年，我國數(shù)學(xué)家利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率.割圓術(shù)的基本思想是“割之

彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.隨后，公元480年左右，我國

另一位數(shù)學(xué)家又進(jìn)一步得到圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，由此可知，這兩位數(shù)學(xué)家依次為（）

A.劉徽，祖沖之B.祖沖之，劉徽C.楊輝，祖沖之D.秦九韶，楊輝

12.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)加倍的過程中，

“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的

邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定

圓周率的方法稱為（）

A.正負(fù)術(shù)B.方程術(shù)C.割圓術(shù)D.天元術(shù)

13.（2022?山東荷澤.七年級(jí)期末）下列說法，其中正確的有（）

①過圓心的線段是直徑

②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形

③大于半圓的弧叫做劣弧

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

14.（2022.黑龍江哈爾濱?期末）運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的環(huán)形跑道的跑道寬都是相同的，若一條跑道的兩個(gè)邊緣所在的

12

環(huán)形周長的差等于＜兀米，則跑道的寬度為米.

15.（2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）小于半圓的弧（如圖中的）叫做；大于半圓的弧（用三

個(gè)字母表示，如圖中的）叫做.

B

16.（2022.全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在。。中，半徑有,直徑有,弦有,劣

弧有,優(yōu)弧有.

17.（2022?江蘇.九年級(jí)專題練習(xí)）為了給同學(xué)慶祝生日，小明自己動(dòng)手用扇形紙片制作了一頂圓錐形生日

帽，生日帽的底面圓半徑"為7c機(jī)，高h(yuǎn)為24cm,則該扇形紙片的面積為cm2.

18.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）第十四屆全運(yùn)會(huì)在陜西西安開幕，九年級(jí)（2）班李明同學(xué)利用扇形彩色

紙，制作了一個(gè)圓錐形火炬模型，如圖是火炬模型的側(cè)面展開圖（接痕忽略不計(jì)），已知扇形彩色紙的半徑

為45cm,圓心角為40。，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積cm2.（結(jié)果保留兀）

19.（2022?山東?臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）2300多年前，我國古代名著《墨經(jīng)》中有這

樣的記載：“圓，一中同長也.”因此，古代就知道把車輪設(shè)計(jì)成圓形，如果車輪是正方形，將邊長為1米的

正方形滾動(dòng)一周，那么正方形中心的軌跡長為米.

20.（2022.河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑,

刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間.擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張

拉滿弦的弓，弧長約為，兀米，"弓''所在的圓的半徑約1.25米，則“弓”所對(duì)的圓心角度數(shù)為.

O

21.（2022?北京西城?九年級(jí)期末）如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形.若制作一個(gè)圓

心角為160。的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料800萬mm,則此圓弧所在圓的半徑為________mm.

圖1圖2

三、解答題

22.（2022?黑龍江大慶?期末）如圖,三角形是直角三角形，其中O為圓心.已知三角形AOB面積是lOcn?,

求圓形面積.

A

23.（2022?全國?八年級(jí)課前預(yù)習(xí)）觀察下圖，左圖中間的圓圈大還是右圖中間的圓圈大？請(qǐng)你先觀察，再

用直尺驗(yàn)證一下.

24.（2022?全國.九年級(jí)專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？

【?？肌?/p>

選擇題（共9小題）

1.（2022?吉林）如圖，在△ABC中，ZACB=90°AB=5,BC=4.以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)

C在OA內(nèi)且點(diǎn)B在OA外時(shí)，r的值可能是（）

D.5

2.（2022?鄂州）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的

工件槽，其兩個(gè)底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三

個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、2、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知。。的直徑

就是鐵球的直徑，A2是。。的弦，CD切。。于點(diǎn)E,ACLCD,BD±CD,若。=16<:相，AC=BD=

4cm,則這種鐵球的直徑為（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

3.（2022?十堰）如圖，是等邊AABC的外接圓，點(diǎn)。是弧AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），下列結(jié)論:

①NADB=NBDC；②DA=DC；③當(dāng)DB最長時(shí)，DB=2DC；?DA+DC=DB,其中一定正確的結(jié)論有

A

D

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

如圖，AB為。。的直徑，AB=4,弦CD=2版則劣弧向的長為（

B.C.nD.2ir

4~2

5.（2022?碑林區(qū)校級(jí)二模）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在OO上，是的直徑，若。4=3,則

劣弧BD的長是（)

B.TlD.2K

A-T

6.（2022?海勃灣區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O,A,B,C,。是網(wǎng)格線交點(diǎn)，若AB

與CD所在圓的圓心都為點(diǎn)。那么陰影部分的面積為（）

B.2nC■兀一2D.2n-2

7.（2022?遵義模擬）如圖，在RtZXBAC中，/A4c=90°,ZB=30°,AB=3,以AB邊上一點(diǎn)。為圓

心作恰與邊AC,BC分別相切于點(diǎn)A,D,則陰影部分的面積為（）

cD

A-M9B--零卷-函號(hào)

8.（2022?高青縣一模）如圖，在圓中半徑OC〃弦A2,且弦4B=CO=2,則圖中陰影部分面積為（）

A.AirB.A-rtC.—itD.TT

633

9.（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心，94=60°,OB=2,OC=4,則△O8C的面積是（）

A.4V3B.2V3C.2D.4

—.填空題（共9小題）

10.（2022?包頭模擬）三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程12元+35=0的根，則該三角形外接

圓的半徑為.

11.（2022?長安區(qū)模擬）小剛要在邊長為10的正方形內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)有共同中心。的正多邊形，使其邊長最大

且能在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn).如圖1,若這個(gè)正多邊形為正六邊形，此時(shí)EF=；若這個(gè)正多邊形

為正三角形，如圖2,當(dāng)正△EPG可以繞著點(diǎn)。在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)時(shí)，EF的取值范圍為.

圖1圖2

12.（2022?鹿邑縣模擬）如圖，正六邊形ABCZ）所的邊長為2,以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得它,

連接AC,AE,則圖中陰影部分的面積為

13.（2022?武威模擬）在△ABC中，已知/ABC=90°,NBAC=30°,BC=1.如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)

A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到△A8C.則圖中陰影部分的面積為.

14.（2022?隨縣一模）如圖，在RtZkABC中，ZB=90°,平分NA4c交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上,

以AE為直徑的。O經(jīng)過點(diǎn)D若/C=30°,且。=3愿，則陰影部分的面積是.

15.（2022?濯橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)。為正六邊形ABC。M的中心，連接AC,若正六邊形的邊長為2,

則點(diǎn)O到AC的距離OG的長為.

16.（2022?方城縣一模）如圖，在扇形。48中，已知NAOB=90°,。4=2,過AB的中點(diǎn)C作CD_LQ4,

CELOB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為.

17.（2022?大渡口區(qū)模擬）如圖，在扇形80C中，ZBOC=60°,。。平分/BOC交BC于點(diǎn)。.點(diǎn)E為半

徑08上一動(dòng)點(diǎn).若。2=2,則陰影部分周長的最小值為

OE

18.（2022?成都模擬）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半圓的半徑1,直線/的解析式為y=x+f.若直

線/與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，貝h的取值范圍是.

三.解答題（共11小題）

19.（2022?汝陽縣一模）如圖，BE是O。的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)。是O。上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作。。的切線交

BE延長線于點(diǎn)C.

（1）若/ADE=25°,求NC的度數(shù)；

（2）若AB=AC,CE=2,直接寫出AC的長.

20.（2022?綿竹市模擬）把兩個(gè)等腰直角aABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2,連接8。，EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<360°）.

（1）當(dāng)。EJ_AC時(shí)，AO與BC的位置關(guān)系是,AE與8C的位置關(guān)系是.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)Z）在線段3E上時(shí)，求/BEC的度數(shù)；

（3）若△A3。的外心在邊8D上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值.

21.(2022?包河區(qū)一模)如圖，為。。的直徑，直線于點(diǎn)B,點(diǎn)C在。。上，分別連接BC,

AC,且AC的延長線交于點(diǎn)。，b為O。的切線交3M于點(diǎn)?

(1)求證：CF=DF；

(2)連接OR若AB=10,BC=6,求線段。下的長.

22.(2022?十堰一模)如圖，AB是O。的直徑，弦CD_LAB,垂足為H,連接AC,過加上一點(diǎn)E作EG〃

AC交CO的延長線于點(diǎn)G,連接AE交C。于點(diǎn)尸，且EG=FG,連接CE.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)延長AB交GE的延長線于點(diǎn)若AH=3,CH=4,求EM的值.

23.(2022?揚(yáng)州模擬)如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，且點(diǎn)C是面的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作的

垂線EF交直線AD于點(diǎn)E.

(1)求證：EF是。0的切線；

(2)連接3C,若AB=5,BC=3,求線段AE的長.

24.(2022?紅橋區(qū)三模)已知心、PB是。。的切線，A、8為切點(diǎn)，連接AO并延長，交尸8的延長線于點(diǎn)

(II)如圖②，連接2D若B￡)〃AC,求NC的大小.

25.(2022?莘縣二模)如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)C是源的中點(diǎn)，連接AC并延長至點(diǎn)使CD=AC,

點(diǎn)E是上一點(diǎn)，且典=2,CE的延長線交DB的延長線于點(diǎn)尸，A尸交。。于點(diǎn)X,連接

EB3

(1)求證：8。是。。的切線；

(2)當(dāng)02=2時(shí)，求出/的長.

BD

26.(2022?南陵縣自主招生)如圖，已知圓O,弦A3、CD相交于點(diǎn)

(1)求證：AM^B=CM^D；

(2)若M為。。中點(diǎn)，且圓。的半徑為3,OM=2,求的值.

27.(2022?烏魯木齊一模)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,A8是。0的直徑，點(diǎn)P在CA的延長線上,

ZCAD=45°.

(1)若A8=4,求弧CQ的長；

(2)若弧弧AO,AD=AP,求證：尸。是。0的切線.

V\0\

C

A

D

28.(2022?齊齊哈爾模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別與BC,AC交于點(diǎn)。,

E,過點(diǎn)。作。。的切線。凡交AC于點(diǎn)?

(1)求證：DF±AC；

(2)若O。的半徑為4,NCDF=22.5°,求陰影部分的面積.

29.(2022?東洲區(qū)模擬)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于AC是。。的直徑，過點(diǎn)8作8ELA。，垂足為

點(diǎn)￡,A3平分NCAE.

(1)判斷BE與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若NAC8=30°,O。的半徑為2,請(qǐng)求出圖中陰影部分的面積.

D

C

【易錯(cuò)】

選擇題（共7小題）

1.（2022?渝中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)。是弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DELAB于點(diǎn)E,

延長DE交。。于點(diǎn)尸，若AE=2,。。的直徑為10,則AC長為（）

B.6C.7D.8

2.（2022?臨沐縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以〃（2,3）為圓心，A8為直徑的圓與x軸相切,

與y軸交于A,C兩點(diǎn)，則AC的長為（

C.2713D.6

3.（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）如圖，A8是。。的弦，尸OLOA交48于點(diǎn)P,過點(diǎn)8的切線交OP的延長

線于點(diǎn)C,若O。的半徑為遍，。尸=1，則3C的長為（

A.2B.V6C-fD.辰

4.（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖所示,已知。/是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)/是內(nèi)心，若乙4=28°,則NB/C

等于（）

A.100°B.104°C.105°D.114°

5.（2022?哈爾濱模擬）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于。。，AB=BC,直線MN是。。的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn),

是半徑，若NACN=36°,則/。氏4的度數(shù)為（）

A.14°B.18°C.36°D.54°

6.（2022?斫口區(qū)模擬）如圖，。/是RtzXABC中的內(nèi)切圓，ZACB=90°,過點(diǎn)/作EF〃"分別交CA,

CB于E,F,若EA=4,BF=3,則。/的半徑是（）

A.工B.反C.12D.V3

225

7.（2022?新河縣一模）如圖，點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心，NB=60°,BC￥AB,點(diǎn)M,N分別為AB,BC±

的點(diǎn)，且0M=ON.甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：NMON=120°；乙：四邊形0M2N的面積為4

ABC面積的■!；丙：當(dāng)MN=BN時(shí)，△MON的周長有最小值.則下列說法正確的是（）

3

A.只有甲正確B.只有乙錯(cuò)誤

C.乙、丙都正確D.甲、乙、丙都正確

二.填空題（共11小題）

8.（2022?固原一模）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓。上，BC//OA,連接80并延長，交圓。于點(diǎn)。，連接AC,

DC,若/A=28°,則/。的大小為.

9.（2022?禪城區(qū)校級(jí)一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.例：如圖1,四

邊形內(nèi)接于OO,AB=AD.則四邊形ABC。是等補(bǔ)四邊形.

探究與運(yùn)用：如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,其外角NEA。的平分線交C￡）的延長線于點(diǎn)F,

10.（2022秋?定海區(qū)校級(jí)月考）已知A為O。外一點(diǎn)，若點(diǎn)A到O。上的點(diǎn)的最短距離為2,最長距離為4,

則。。的半徑為.

11.（2022?天元區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知△ABC內(nèi)接于OO,A8是。。的直徑，平分/ACB,交。。于

點(diǎn)D,若AB=6,則BD的長為.

12.（2022?西雙版納模擬）在△ABC中，AB=6,AC=8,高4。=4.8,設(shè)能完全覆蓋AABC的圓的半徑為

r,則r的最小值為

13.（2022?北倍區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC和△AOE均是等邊三角形，其中點(diǎn)E是AABC的內(nèi)心，以E為

圓心，OE長為半徑畫弧交于點(diǎn)8,再將弧。B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至弧EC處，已知A2=l,則

圖中陰影部分面積是

14.（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）已知兩圓的半徑長分別為1和3,兩圓的圓心距為d,如果兩圓沒有公共點(diǎn),

那么d的取值范圍是.

15.（2022?北京模擬）已知三角形ABC是銳角三角形，其中/A=30°,BC=4,設(shè)BC邊上的高為人，則

h的取值范圍是

16.（2022?息縣模擬）如圖，。。分別與邊長為4的等邊△ABC的兩邊相切于點(diǎn)D和點(diǎn)E,圓心。恰好在

邊BC上，則陰影部分的面積為

17.（2022?江油市二模）如圖，函數(shù)y=1-x2+2x（x>°）的圖象，若直線>=彳+相與該圖象只有一個(gè)交

-x（x<0）

點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍為.

18.（2021秋?宜春期末）如圖，半圓。的直徑。E=12c機(jī)，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

BC=12cm.半圓。以2c"/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2時(shí)停止，點(diǎn)。、E始終在直線

BC上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（5）,運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，半圓0在AABC的左側(cè)，OC=8aw.當(dāng)t=時(shí)，Rt

△ABC的一邊所在直線與半圓。所在的圓相切.

三.解答題（共6小題）

19.（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的OO經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C,AE,8E分別平分/BAC和/ABC,AE

的延長線交OO于點(diǎn)。，連接3D

（1）判斷△BOE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若A2=10,8石=2百5，求BC的長.

20.（2022?武漢模擬）如圖，BC為。。的直徑，A為。。上一點(diǎn)，過A點(diǎn)作該圓的切線交8c的延長線于

點(diǎn)、E,連接AC.

（1）求證：NCAE=NB；

（2）若/E=30°,。。的半徑廠=2,求陰影部分的面積.

21.（2022?襄城區(qū)模擬）如圖，BE為。。的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)。是上的兩點(diǎn)，連接AE,AD,DE,過點(diǎn)

4作射線交BE的延長線于點(diǎn)C,使NEAC=ZEDA.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若于點(diǎn)凡DE=4,OF=2,求圖中陰影部分的面積.

22.（2022?內(nèi)黃縣二模）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,NBAC=30°,以AB為直徑作。。，交AC

于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作0。的切線。M交8C于點(diǎn)

（1）求證：CM=BM.

（2）若AD=2\[^,P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)PM+PO為最小值時(shí)，求AP的長.

23.（2022?襄城區(qū)模擬）如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C是O。上一點(diǎn)（與點(diǎn)A,8不重合），過點(diǎn)C作直

線MN,使得NACN=/48C.

（1）求證：直線是。。的切線.

（2）點(diǎn)。為直線上一點(diǎn)，連接AZ）,交。。于點(diǎn)E,若AC平分/R4。，DE=3,AC=2CD,求圖

中陰影部分（弓形）的面積.

24.（2022?衡陽）如圖，為。。的直徑，過圓上一點(diǎn)。作的切線CD交8A的延長線于點(diǎn)C,過點(diǎn)

0作交CD于點(diǎn)、E,連接BE.

（1）直線BE與。。相切嗎？并說明理由;

（2）若CA=2,8=4,求。E的長.

【壓軸】

填空題（共1小題）

1.（2022?順城區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=4,NC2A=30°，點(diǎn)。在線段AB上

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，OFLOE于點(diǎn)。，并交EC的延長線于點(diǎn)尸.下列結(jié)論：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③線段EF的最小值為2近；

④當(dāng)AO=1時(shí)，EP與半圓相切；

⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段所掃過的面積是8M.

其中正確的結(jié)論的序號(hào)為.

二.解答題（共16小題）

2.（2022?長沙模擬）如圖，在中，ZABC=9Q°,。是邊AC上的一點(diǎn)，連接B。，使NA=2/1,

E是2C上的一點(diǎn)，以8E為直徑的。。經(jīng)過點(diǎn)D

(1)求證：AC是O。的切線；

(2)若NA=60°,。。的半徑為2,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號(hào)和IT)

3.(2022?開福區(qū)三模)如圖，是O。的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，NBAC的平分線交。。于點(diǎn)￡),

過點(diǎn)D垂直于AC的直線交AC的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：OE是O。的切線；

(2)如圖AO=5,A￡=4,求。。的直徑.

4.(2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖，。。的直徑4c=13,弦BC=12.過點(diǎn)A作直線MN,使/切〃=工/

2

AOB.

(1)求證：是O。的切線;

(2)延長交于點(diǎn)。，求的長.

5.(2021?鐵嶺模擬)如圖，在Rt^ABC中，ZA=9Q°,。是8c邊上一點(diǎn)，以。為圓心的半圓與邊

相切于點(diǎn)。，與AC、BC邊分別交于點(diǎn)E、F、G,連接。。，已知8。=2,AE=3,tanN80r>=2.

3

(1)求OO的半徑0D；

(2)求證：AE是。。的切線；

(3)求圖中兩部分陰影面積的和.

6.(2021?東區(qū)校級(jí)模擬)如圖，AB是O。的直徑，弦DE垂直平分半徑。4,C為垂足，DE=3,連接BD,

過點(diǎn)E作交8A的延長線于點(diǎn)V.

(1)求。。的半徑；

(2)求證：是O。的切線；

(3)若弦與直徑AB相交于點(diǎn)P,當(dāng)NAPD=45°時(shí)，求圖中陰影部分的面積.

D_____

E

7.(2021?廬陽區(qū)校級(jí)一模)如圖，已知是O。的直徑，AC是弦，。切。。于點(diǎn)C,交AB的延長線

于點(diǎn)。，ZACD=120°,80=10.

(1)求證：CA^CD；

(2)求。。的半徑.

8.(2021?零陵區(qū)校級(jí)自主招生)如圖，已知42為圓。的弦(非直徑)，E為A3的中點(diǎn)，￡。的延長線交

圓于點(diǎn)C,CD//AB,且交A。的延長線于點(diǎn)DEO-.OC=1：2,C￡>=4,求圓。的半徑.

9.(2021?深圳模擬)如圖，尸是。。的半徑OA上的一點(diǎn)，。在。。上，MPD=PO.過點(diǎn)。作。。的切

線交OA的延長線于點(diǎn)C,延長交。。于K,連接K。，OD.

(1)證明：PC=PD；

(2)若該圓半徑為5,CD//KO,請(qǐng)求出OC的長.

D

B

10.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)已知，如圖，直線MN交。。于A,8兩點(diǎn)，AC是直徑，平分NC4M

交O。于。，過。作。E_LA/N于E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若DE=6cm,AE—3cm,求。。的半徑.

11.(2022?溫江區(qū)校級(jí)自主招生)如圖，已知。。是△ABC的外接圓，是。。的直徑，。是延長線

上一點(diǎn)，AELOC交QC的延長線于點(diǎn)E,且AC平分/EA8.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若AB=6,求8。和BC的長.

5

12.（2021?衡水模擬）如圖，點(diǎn)C為△A3。的外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不在BAD上，且不與點(diǎn)2,。重合）,

ZACB=ZABD=45°

（1）求證：2。是該外接圓的直徑；

（2）連接CD,求證：y/2AC=BC+CD；

（3）若AABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱圖形為△ABM,連接。試探究。序，AM1,8序三者之間滿足的

等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

13.（2021春?碧江區(qū)期中）已知：如圖，是。。的直徑，AD是弦,OC垂直AD于尸交。。于E,連

接。E、BE,且/C=NBED.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若。4=10,AD=16,求AC的長.

14.（2021?湖北模擬）如圖，。。的直徑AB=2,AM和BN是它的兩條切線，OE切O。于E,交AM于

交BN于C.設(shè)AZ）=x,BC=y.

（1）求證：AM//BN-,

（2）求y關(guān)于尤的關(guān)系式；

(3)求四邊形ABC。的面積S,并證明：S22.

ADM

RCN

15.(2021?安徽模擬)如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AC^BC,。為O。中篇上一點(diǎn)，延長ZM至點(diǎn)

E,使CE=CD

(1)求證：AE=BD；

(2)若ACJ_8C,求證：AD+BD=yf2CD.

16.(2021?紅寺堡區(qū)校級(jí)模擬)如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)尸在54的延長線上，弦于點(diǎn)E,Z

POC=/PCE.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若OE：EA=1：2,B4=6,求O。的半徑;

(3)在(2)的條件下，求sin/PCA的值.

17.(2021?深圳模擬)己知：以Rt^ABC的直角邊A8為直徑作。。，與斜邊AC交于點(diǎn)。，E為BC邊上

的中點(diǎn)，連接

(1)如圖，求證：是。。的切線；

(2)連接。E,AE,當(dāng)NCAB為何值時(shí)，四邊形A。即是平行四邊形，并在此條件下求sin/CAE的值.

第24章圓（基礎(chǔ)、?？肌⒁族e(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?浙江臺(tái)州.九年級(jí)期末）用直角尺檢查某圓弧形工件，根據(jù)下列檢查的結(jié)果，能判

斷該工件一定是半圓的是（）.

A.B.C.UUD.

【答案】B

【分析】根據(jù)90。所對(duì)的圓周角所對(duì)的弦是直徑進(jìn)行判斷.

【詳解】解：因?yàn)?0。所對(duì)的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所以選項(xiàng)B中的圓弧為半圓，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于

這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。所對(duì)的圓周角所對(duì)

的弦是直徑，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山東?陵城區(qū)教學(xué)研究室一模）如圖，以正方形A8CD的邊為直徑作一個(gè)半圓,

點(diǎn)M是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以線段AM、DM為邊各自向外作一個(gè)正方形，其面積分別為

【答案】C

【分析】根據(jù)題意/AMD=90。，可得AAWD為直角三角形，由勾股定理可知

AM2+DM2=AD2,即耳+$2=1°.

【詳解】解：：AD是直徑，

/AMD=90°,

，△AMD為直角三角形，

由勾股定理可知AM2+DM2=AD2,

即5+邑=10.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解隨著點(diǎn)M的運(yùn)

動(dòng)Z4MD=90。，符合勾股定理.

3.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）輪船在航行過程中，船長常常通過測(cè)定角度來確定輪船是

否會(huì)遇到暗礁.如圖，A,8表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A,8兩點(diǎn)的。。內(nèi)C表示一個(gè)危

險(xiǎn)臨界點(diǎn)，NACB=70。，輪船尸與兩個(gè)燈塔的夾角為Nc,保證輪船航行不觸礁的Ne可

以是（）

A.66°B.75°C.80°D.85°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，要使不觸礁則即可判斷；

【詳解】解：根據(jù)圓的性質(zhì)NA￡B=NACB=70°

ZAEB=ZPBE+Z?=70°

/.Z.a<ZAEB

：./a<70°

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?山西晉中?二模）在數(shù)學(xué)探究課上，小明在探究圓周角和圓心角之間的數(shù)量關(guān)系時(shí),

按照?qǐng)A周角與圓心的不同位置關(guān)系作出了如下圖所示三個(gè)圖進(jìn)行探究小明的上述探究.過程

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.公理化思想B.分類討論思想C.轉(zhuǎn)化思想D.建模思想

【答案】B

【分析】根據(jù)分類討論思想的含義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：在探究圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系時(shí)，因不確定圓周角與圓心角的位置關(guān)系是

否會(huì)影響結(jié)論，故對(duì)每種位置關(guān)系分別進(jìn)行研究，這種數(shù)學(xué)思想是分類討論思想.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解，分類討論思想是指將原問題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問題來解

決，通過研究其在不同情況下的結(jié)論，得出原問題的結(jié)論.

5.（2022?江蘇蘇州?九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.直徑是圓中最長的弦，有4條

B.長度相等的弧是等弧

C.如果。A的周長是。8周長的4倍，那么。A的面積是。8面積的8倍

D.已知。。的半徑為8,A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且。4=8,那么點(diǎn)A在。。上

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念解答即可.

【詳解】解：A.直徑是圓中最長的弦，有無數(shù)條，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.在同圓或等圓中長度相等的弧是等弧，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.如果。A的周長是周長的4倍，那么的面積是面積的16倍，故該選項(xiàng)不符合題

思；

D.已知0O的半徑為8,A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且。4=8,那么點(diǎn)A在。。上，故該選項(xiàng)符合題

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2022?四川宜賓.八年級(jí)期末）用反證法證明“在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,ZC>

且NC#0。，那么片+/忿2.”應(yīng)先假設(shè)（）

A.a2+Z>2=c2B.a2+Z?2>c2C.a2+b2<c2D.或/+

b2<c2

【答案】A

【分析】根據(jù)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：應(yīng)先假設(shè)“2+〃=/.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法，熟練掌握反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立是解題的

關(guān)鍵.

7.（2022?浙江?翠苑中學(xué)八年級(jí)期中）用反證法證明：“多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最多有3

個(gè)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最少有4個(gè)B.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最少有3個(gè)

C.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最少有2個(gè)D.多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最多有2個(gè)

【答案】A

【分析】用反證法證明問題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，寫出與條件相反的假設(shè)即可

【詳解】解：用反證法證明“多邊形的內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)最多有3個(gè)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)多邊形的內(nèi)

角中銳角的個(gè)數(shù)最少有4個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)

論不成立時(shí)，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以

了，如果有多種情況，則必須一一否定.

8.（2022?山西晉中.八年級(jí)期中）在證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60?！睍r(shí)先假設(shè)每

一個(gè)內(nèi)角都大于60。，然后，…，這種證明方法是（）

A.綜合法B.舉反例法C.數(shù)學(xué)歸納法D.反證法

【答案】D

【分析】根據(jù)反證法的定義進(jìn)行回答即可.

【詳解】解：在證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。”時(shí)先假設(shè)每一個(gè)內(nèi)角都大于

60。，然后，…，這種證明方法是反證法.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.反證法的

步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.在

假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就

可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

9.（2022.貴州貴陽?八年級(jí)期末）對(duì)于命題“若d=25,則x=5"，小江舉了一個(gè)反例來說明

它是假命題，則小江選擇的x值是（）

A.x=25B.x=5C.x=10D.x=-5

【答案】D

【分析】當(dāng)尤=-5時(shí)，滿足/=25,但不能得到x=5,于是x=-5可作為說明命題“若/=

25,則x=5”是假命題的一個(gè)反例.

【詳解】解：說明命題“若f=25,則尤=5”是假命題的一個(gè)反例可以是x=-5,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題

設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成

“如果…那么...”形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.任何一

個(gè)命題非真即假，要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命

題，只需舉出一個(gè)反例即可.

10.（2022.江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.兩點(diǎn)之間，直線最短

B.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

C.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

D.一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行且相等

【答案】C

【分析】利用線段的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，確定一個(gè)圓的條件，平移的性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)

行判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：A.兩點(diǎn)之間，線段最短，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.多邊形的外角和是360。，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)正確，符合題意；

D.一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行或者在同一條直線上，并且相等,

故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】命題是表示判斷的語句，判斷正確的命題是真命題，判斷錯(cuò)誤的命題是假命題，熟

練掌握所學(xué)知識(shí)是進(jìn)行正確判斷的基礎(chǔ).

11.（2022?山西晉中?二模）公元263年，我國數(shù)學(xué)家利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率.割圓術(shù)的基

本思想是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.隨

后，公元480年左右，我國另一位數(shù)學(xué)家又進(jìn)一步得到圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，由此可

知，這兩位數(shù)學(xué)家依次為（）

A.劉徽，祖沖之B.祖沖之，劉徽C.楊輝，祖沖之D.秦九韶，楊輝

【答案】A

【分析】掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：3世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的

理論和完善的算法，所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.圓

周率不是某一個(gè)人發(fā)明的,而是在歷史的進(jìn)程中，不同的數(shù)學(xué)家經(jīng)過無數(shù)次的演算得出的.古

希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287-212年）開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計(jì)算圓周率近似值的

先河.公元480年左右,南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果,

給出不足近似值3.1415926和過剩近似值31415927,還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程和發(fā)明人，熟練掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明

過程是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)

加倍的過程中，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣，，，即當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)

了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定圓周率的方法稱為（）

金號(hào)

A.正負(fù)術(shù)B.方程術(shù)C.割圓術(shù)D.天元術(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)我國利用“割圓術(shù)”求圓周率的近似值解答即可.

【詳解】解：由題意可知：利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定圓周率的方法稱為

“割圓術(shù)”.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是了解我國古代用“割圓術(shù)”求圓周率的近似值,

即在一個(gè)圓中，它的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形就越像圓，它的周長和面積就更接

近圓的周長和面積.

13.（2022?山東荷澤?七年級(jí)期末）下列說法，其中正確的有（）

①過圓心的線段是直徑

②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑組