正余弦定理解三角形-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第08講正余弦定理解三角形

（10類核心考點精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

正弦定理解三角形

2024年新I卷，第15題,13分余弦定理解三角形正弦的和差公式

三角形面積公式及其應(yīng)用

正弦定理解三角形

2024年新H卷，第15題,13分輔助角公式

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17題,10分用和、差角的正弦公式化簡、求值

三角形面積公式及其應(yīng)用

三角形面積公式及其應(yīng)用

2023年新II卷,第17題,10分數(shù)量積的運算律

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值

正弦定理解三角形

2022年新II卷，第18題,12分三角形面積公式及其應(yīng)用無

余弦定理解三角形

2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計算

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

2021年新H卷，第18題,12分三角形面積公式及其應(yīng)用無

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新I卷，第17題,10分無

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新II卷,第17題,10分無

余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分

【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用

2會用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計算問題.

3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式

在解三角形中的應(yīng)用，同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進行綜合考查，需重點復(fù)習(xí)。

知識點1正弦定理及其變用

知識點2三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系

知識點3余弦定理

知識點4三角形的面積公式

考點1正弦定理邊角互化解三角形

考點2利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)

考點3余弦定理求值

考點4利用正余弦定理判斷三角形的形狀

考點5三角形面積的應(yīng)用

考點6外接圓、內(nèi)切圓半徑問題

考點7雙正弦

考點8雙余弦

考點9解三角形中的證明問題

考點1。解三角形中的實際應(yīng)用

知識講解

1.正弦定理

(1)基本公式：

nhc

----=2R(其中R為A45C外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

（2）變形

abcQ+6+C"bQ+Cb+c

----=-----=-----=2R=-----------------=-----------=-----------=-----------

sin/sin5sinCsin24+sinS+sinCsinA+^mBsin/+sinCsin5+sinC

Q:b:c=sin4:sin5:sinC

2.三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系

A+B兀c

..?/+3+。=兀--------=—

'222

/.sin(5+C)=sin4,cos(B+C)=-cosA,tan(S+C)=-tanA

sin(W1鳥=sin|7l_C=cos|,cos(^)=cos|K_C=sin|tan(^)=tan|7l_C=cot^

5一萬5一萬萬一萬2

3.余弦定理

(1)邊的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b1=a2+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC

(2)角的余弦定理

b2+c2-a2Q2+02a2+Z>2-c2

cosA=cosB=cosC=

2bc2aclab

4.三角形的面積公式

SMBC=5皿

SMBC=—absinC=—acsinB=—besinA

考點一、正弦定理邊角互化解三角形

典例引領(lǐng)

7T

1.（2023?全國?高考真題）在AZSC中，內(nèi)角4民。的對邊分別是〃也c,若acosB-bcos/=c,且。=5，

則N5=（）

7t713兀2K

A.——B.C.—D.——

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得//的值，最后利用三角形

內(nèi)角和定理可得//的值.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinZcos3-sin3cosZ=sinC,

即sinAcosB-sinBcos/=sin（/+5）=sin/cos5+sin5cosA,

整理可得sin8cos/=0,由于B￡（0,兀），故sin5〉0,

TT

據(jù)此可得cosA=0,A=-

2f

TT兀_3兀

則5=兀_/_0=?！?/p>

2io

故選：C.

2.（2024?湖南永州?三模）已知在。臺。中，角A,5,C所對的邊分別為。，b,。，且

acosB+bcosA=-2ccosC，sin2^+-U-,貝!]cos(A-B)=

I6J8

7

【答案】-/0.875

o

Orrr

【分析】利用正弦定理結(jié)合和角正弦公式可得sin(/+B)=-2sinCcosC,進而求得。=彳，從而有

A+B=^,故cos(4_8)=cos(2/—m]=cos(2/+W—]]=sin]24+g；即可求解.

【詳解】因為acosB+bcosZ=-2ccosC,

由正弦定理可得sin/cos5+sin5cos4=-2sinCcosC,

即sin(4+5)=-2sinCcosC,所以sin(兀一C)=-2sinCeosC,

即sinC=-2sinCcosC,因為sinC>0,所以cosC=-；,

因為0<。<兀，所以C=￥，即H+B=

所以cos(^4-3)=cos124—I1=cos124+￡—^]=sin(24+己]=：.

7

故答案為：—.

O

3.(2024?四川涼山?二模)設(shè)。8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若竺竺當(dāng)空+2=1,則

acosB+bcosAc

A=____

【答案】I

【分析】根據(jù)給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計算即得.

【詳解】在“3C中，由竺*等￥+2=1及正弦定理得:sinAcos5-sin5cosAsin5,

------------------------------+-------=1,

acosB+bcosAcsinAcos5+sin5cosAsinC

而sinC=sin(4+5)=sinAcos8+sin5cosA,

r?sin/cos5-sin5cosAsin5_

則二----------;-------+-----------；-------=1,

sinAcos5+sin5cosAsinAcos5+sinBcosA

整理得sinAcos5-sin5cos4+sin5=sinAcos5+sin5cosA,即2sin8cosA=sinB,

1兀

又sinB>0,因此cos4=—,而0<4<兀，所以力=;.

23

故答案為：—

4.(2024?全國?高考真題)記”5C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinZ+百cos/=2.

⑴求4

(2)若。=2,揚sinC=csin25，求"BC的周長.

【答案】⑴

6

(2)2+V6+35/2

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件sin/+Gcos/=2進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三

角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出仇c即可得出周長.

【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

由sin+-73cosA=2可得LinN+且cosN=1,即sin（/+g）=1,

223

十./八、.71,714兀、i,/兀兀An/口i兀

由?于/6（0,兀）=/+;€（不-r）,故/+二=彳，解得/

333326

方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sin4+JJcos/=2,Xsin2A+cos2A=1消去sin4得到:

4cos24-46cosZ+3=00（2COS/-V§）2=0,解得cosZ=^-,

IT

又/e（0,7i）,故/=；

6

方法三：利用極值點求解

設(shè)/（x）=sinx+Gcosx（0<x<7c）,則/（x）=25畝］X+1］（0<x<兀），

顯然1時，/（x）max=2,注意至I」/（4）=sinZ+V^cos4=2=2sin（/+；）,

63

/（%）max=/（，），在開區(qū)間0兀）上取到最大值，于是工=/必定是極值點，

即/"（/）=0=cos/一VJsin/,BPtanA=-y,

TT

又/e（0,兀），故/=自

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）

=（l,y/3）,b=（sinA,cosA）,由題意，a-b=sinA+s/3cosA=2>

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，）防=同|砥。5他a=23,今，

貝！12cos落3=2ocos落3=1,此時萬,3=0,即同向共線，

n

根據(jù)向量共線條件，1.cos/=百?sin/u>tan/=——，

3

又/€（0,兀），故/=27T

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)/=1211(，根據(jù)萬能公式，sin/+百cosN=2="+若。；)，

整理可得，t2-2(2-拒)t+(2-V3)2=0=(Z-(2-6))2,

解得tang=/=2-百，根據(jù)二倍角公式，tanA=,

21-產(chǎn)3

7T

又/€(0,兀)，故/=￡

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

41bsinC=csin2B=V2sin5sinC=2sinCsinBcosB，

又B,Ce(0,?,則sinBsinCwO,進而cosB=也,得到8=工，

24

7兀

于是。=兀一/一5二——，

12

sinC=sin(7i-A-B)=sin(4+5)=sinAcosB+sinBcosA=后;",

2_b_c

由正弦定理可得，上7=占=，77，即一￡=一9=-7充，

sinZsin5sinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2A/2,c=V6+V2，

故AA8C的周長為2+逐+30

L(2024?江西九江?三模)在"BC中,角45C所對的邊分別為a,6,c,已知2c-a=26coM,則8=

()

兀7L2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】運用正弦定理進行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.

【詳解】因為2。一a=2bcos4,

由正弦定理，2sinC-siib4=2sin5cos4

因為/+5+C=兀，/.2sin(/+5)-2sin5cos/=sirU,

展開化簡2siiL4cos8=sinA丁sirt4>0,/.cosB=；,

JT

又5￡(0,兀),「.5=§.

故選:B.

2.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）記"8c的內(nèi)角4?,C的對邊分別為a,6,c,若36cos8=acosC+ccos/,且

36=4c,則。=.

【答案】y/450

4

【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡計算可得cos2=:，由同角的平方關(guān)系可得sinS=遞，結(jié)合正弦定理計算

33

即可求解.

【詳解】因為3bcosB=acosC+ccos”,

所以3sin5cos5=sin4cosc+sinCcosZ,

所以3sin5cos5=51口（4+（7）.又$山（/+。）=51115wO,

所以cosB=—,所以sinB=Jl-cos?B=.

33

因為%=4c,由正弦定理知3sin5=4sinC,

所以sinC=Y2,又b>c,所以8>C,C=：.

24

TT

故答案為：7

4

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在AA8C中，記角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

y/3a=也ccosB+csiiiS.

⑴求角C；

（2）已知點。在/C邊上，且/D=2OC,BC=6,BD=2夜,求“BC的面積.

7T

【答案】（l）/c=§

⑵S=9G或S=18G

【分析】(1)代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；

(2)先確定。。長度，再確定4C,即可判斷三角形形狀，確定面積.

【詳解】(1).「JJQ=JJccosB+csinS,由正弦定理可得V3sin(5+C)=V3sinCcos5+sinCsinB,

y/3sinBcosC+^3cos5sinC=V3sinCcos5+sinCsinB，

,：sin5w0,

??tanC=百，Ce(0,7i),

?.ZC=~；

3

(2)設(shè)。C=x,cosm=g=%+[]—―,/.6x=x2+8,，x=2或4,

3212x

當(dāng)x=2時，AC=6,C==,此時三角形為正三角形，S='x6x6x3=94

322

當(dāng)x=4時，/C=12,AB2=BC2+AC2-2AC-BCcosC=IOS,

^^AB2+BC2=AC2,此時三角形為直角三角形，5=1x6V3x6=18V3.

考點二、利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)

典例引領(lǐng)

JT

1.（2023?浙江?模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為名仇c.若5=*。=4,且該三角形有兩解,

則b的范圍是（）

（2省,+8（2A/3,4）

（°，4）（373,4）

【答案】B

【分析】利用正弦定理推出6=2,根據(jù)三角形有兩解，確定角力的范圍，從而結(jié)合sin4的取值范圍求

得答案.

TT77T7T

因為該三角形有兩解，故5=8</<7,/力］，

「故sinAe（曰,1）>即6=~~~?（2^/3,4），

故選：B

2.（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測）己知的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,6,c,則能使同時滿足條件

冗

46=6的三角形不唯一的。的取值范圍是（）

6

A.（3,6）B.（3,+8）C.（0,6）D.（0,3）

【答案】A

【分析】利用三角形不唯一的條件進行求解即可.

TT]

【詳解】因為4=—,6=6,則6sinN=6x—=3,

62

要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則6sin/<“<6,即3<a<6.

故選：A.

3.（2023?廣東茂名?三模）（多選）中，角所對的邊分別為。，仇c.以下結(jié)論中正確的有（）

A.若“=40,6=20,8=25°,則必有兩解

B.若sin2N=sin28,則“3C一定為等腰三角形

C.若acosB-bcos/=c,則“3C一定為直角三角形

D.若3=孑0=2,且該三角形有兩解，則6的范圍是（月,+8）

【答案】AC

【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項A；已知條件得出角48的關(guān)系，可判斷選項B；化邊為角可判斷選項C；

根據(jù)正弦定理可判斷選項D,進而可得正確選項.

【詳解】對于A,若。=40,6=20,3=25°,則siiL4=癡皿=4°sin~5=2$詒25°<1,

b20

又“〉B,所以。5C必有兩解，故A正確；

對于B,若sin2/=sin2B,則2Z=25或2/=兀-28,

即4=8或4+8=二，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

2

對于C,由正弦定理得：acosB-bcosA=c<^>sirUcosfi-siriBcos^=sinC,

即sin（N-8）=sin。=sin（N+3）nsinScosN=0,而sinfiwO,故4=',

所以“8C一定為直角三角形，故C正確；

7T

對于D,B=—,a=2,且該三角形有兩解，所以asiiRvbva,

即2sin1<6<2,也即6<6<2,故D錯誤.

綜上所述，只有AC正確，

故選：AC.

??即時檢測

I______________________

JT

1.（23-24高二下?浙江?期中）在“8C中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿足該條件的有兩個，則。的

取值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,2石）C.（2,4）D.（2后4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sinC,由sinC<l,且BCv/B,可得。的取值范圍.

【詳解】由正弦定理可得：號二方,所以sinC=^<l,所以a>2出，

因為滿足條件的“BC有兩個，所以即。<4,所以。的取值范圍是（26,4）

故選：D

2.（2023?安徽?模擬預(yù)測）（多選）在。3C中，4B=6B=60。,若滿足條件的三角形有兩個，則/C邊的

取值可能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】BC

【分析】根據(jù)43義51115<4。<46即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得：滿足條件的ABC有兩個，可得/8xsinB<NC<N8nm</C<6,

故選:BC

3.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）（多選）在AA8C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且已知a=2,

則（）

A.若N=45°,且“8C有兩解，則6的取值范圍是（2,2a）

B.若/=45°,且b=4,則AASC恰有一解.

C.若c=3,且。3C為鈍角三角形，則方的取值范圍是（舊,5）

D.若c=3,且。"為銳角三角形，貝g的取值范圍是（逐，屈）

【答案】AD

【分析】根據(jù)正弦定理，判斷三角形的解的個數(shù)，即可判斷AB,根據(jù)余弦定理和三邊的關(guān)系，即可判斷

CD.

2=_L_,inS=-^=<l

【詳解】A選項：由正弦定理,s

sin45°sinB2j2

且6>a=2,則2<6<2血，選項A正確；

選項B：bsinA=4x—=2V2>2,所以“BC無解，故B錯誤；

2

C選項：①。為最大邊：32>22+b2,且3<2+8,止匕時1<6〈石；

②6為最大邊：b2>22+32,且b<2+3,止匕時Jj^<6<5,選項C錯誤;

D選項：b2<22+32,且32<22+〃，所以也<b（岳,選項D正確；

故選：AD.

考點三、余弦定理求值

典例引領(lǐng)

L（2023?北京?高考真題）在AABC中,(〃+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),貝IjZC=(

【答案】B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因為（〃+。）（5山/一5由。）=6（5由4一$1115）,

所以由正弦定理得(。+cXa-c)=b(a-b),^a2-c2=ab-b2,

7+"2ab￡

則a2+b2-c2=ab,故cosC=--------------

lab2ab2

冗

又0<c<7t,所以c=§.

故選：B.

2.（2021?全國?高考真題）在“8C中，已知8=120。，AC=屈,48=2,則3C=（）

A.1B.V2C.y/5D.3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

結(jié)合余弦定理：Z/2=/+/-2accos8可得：19=a2+4-2xaxcxcosl20°,

即：a2+2a-15=0,解得：。=3（a=-5舍去），

故2C=3.

故選：D.

【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

⑴已知三角形的三條邊求三個角；

（2）己知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

⑶已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形.

3.（2023?全國?高考真題）在。8C中，ZBAC=60°,AB=2,BC=s/6,/A4c的角平分線交2c于。，則

AD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根據(jù)等面積法求出4D；

方法二：利用余弦定理求出再根據(jù)正弦定理求出瓦C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記4B=c,4C=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+62-2X2X/7XCOS60°=6,

因為b>0,解得：b=l+V3，

由S—Be=SAABD+SACD可得,

—x2xxsin60°=—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

222

邪b2百（1+百）

解得：AD=~b=3+7312

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/）2-2X2X/）XCOS60O=6,因為八0,解得：b=l+VL

由正弦定理可得，一理——2一，解得：sinB=G我,sinC=—,

sin60°sinBsinC42

因為l+g>&>所以C=45。，5=180°-60--45°=75°,

又NBAD=30。,所以N/Z）8=75°,即/。=/3=2.

故答案為：2.

【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

h1+C2-a2

4.（2023?全國?高考真題）記“BC的內(nèi)角C的對邊分別為。，仇c,已知。。=2.

cosA

⑴求be；

,acosB-bcosAb,,VE

（2t）若——---一;一一=1，求/BC面積.

acosB+bcosAc

【答案】（1）1

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出;

(2)由(1)可知，只需求出sin/即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】(1)因為/=62+02-26CCOS/,所以』*2-J26CCOSN=2A=2,解得：bc=l.

cosAcosA

/、,—rm…TEf/口QCOs5—bcosZbsinAcos5-sin5cosAsin5

(2)由正弦定理可得----———;=-———-—————

acosB+bcosAcsinAcos5+sin5cosAsine

sin(4—8)sin5sin(^4-5)-sin51

sin(4+5)sin(4+5)sin(4+5)

變形可得：sin(4-8)-sin(Z+B)=sin5,gp-2cosAsinB=sinB,

而0<sin3Wl,所以cos/=-1,又0<2<無，所以sin/=",

22

故。8C的面積為$0BC=Lbcsin/=Lxlx3=^.

2224

即時檢測

I______________________

1.（2021?安徽安慶?二模）在。8C中，a,b,c分別是NB,C的對邊.若〃=ac,且

a2+43bc=c2+ac9則的大小是（）

7cJC27r5兀

A.-B.-C.——D.——

6336

【答案】A

【分析】由/=就，且/+百兒=02+改，得到/+/—〃2=回°,利用余弦定理求解.

【詳解】因為〃=ac,且〃2+,

所以/+—q2=6bc，

因為4?0,兀），所以/=￡,

故選：A

2.（2024?安徽合肥?一模）在中，內(nèi)角4及。的對邊分別為。,仇。，若26cosc=a（2-c）,且&=］，

則。=（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】給26cosc=a（2-c）兩邊同時乘以a,結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】因為26cosc=a（2-c）,兩邊同時乘以。得:

2

2abcosC=a(2-c),由余弦定理可得/_c2=2abcosC,

貝Ua2+b2-c2=a2^-c）,所以有/+02一/=/c,

Xo2+C2-b~=2accosB1所以a2c=2accos8,又因為B=§,

所以a=1.

故選：A

3.(2023?廣東廣州三模)在。8C中，點。在邊3C上，AB=&，0=3,8=45。，ZADB=60°,^\AC

的長為.

【答案】V19

【分析】根據(jù)題意，由條件可得4D,然后在A/CD中由余弦定理即可得到結(jié)果.

【詳解】

由題意，作AELBD交BD于E,

因為A8=V?,CD=3,8=45。，ZADB=60°,

bI、，A/2/~p.?AD=------=~7='=2

所以/E=—AB-V3,貝1Jsin60°~/3，

2—

2

在A/CD中，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=22+32-2X2X3XCOS120°=19.

所以，C=屈.

故答案為：V19.

4.（2023?全國?高考真題）在“3C中，己知N8/C=120。，AB=2,AC=\.

⑴求sin/48C；

⑵若。為8c上一點，且/34D=90。，求△/DC的面積.

【答案】（1）叵；

14

【分析】⑴首先由余弦定理求得邊長8C的值為3c=近，然后由余弦定理可得cos3=里，最后由同角

14

三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin5=—；

14

S1

(2)由題意可得^1=4,則據(jù)此即可求得△4DC的面積.

'△ACD5

【詳解】（1）由余弦定理可得:

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120°=7,

則2c=V7,

2ac2X2XV714

sinZ^5C=71-cos25

q—xABxADxsin90°

（2）由三角形面積公式可得產(chǎn)=----------------=4,

、△ACD-xACxADxsin30°

2

則Sm=3Bc=；x[；x2xlxsinl2o]=*.

J\N*JJ.\J

考點四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀

典例引領(lǐng)

I___________——___________

1.（22-23高三?吉林白城?階段練習(xí)）已知中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,若

（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且sinN=2sin8cosC,那么AZ8C是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】將（a+b+c）（6+c-a）=36c化簡并結(jié)合余弦定理可得A的值，再對sin/=2sinBcosC結(jié)合正、余

弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進行判定三角形形狀.

【詳解】由（a+6+c）伍+c-a）=36c,得S+c?=36。，

整理得尸+/-/=比，則cos/J+f

2bc2

因為北（0,兀），所以/=],

又由sinZ=2sinBcosC及正弦定理，得a=----------—,化簡得b=c,

lab

所以“5C為等邊三角形，

故選：B

A

2.（22-23高三上?河北?階段練習(xí)）在“BC中，角4瓦。對邊為a/,c,且2c-cos?5=6+c,則"8C的形

狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

A

【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡COS?',根據(jù)余弦定理化簡得到，=/+〃即可得到答案.

A

【詳解】因為2c=

所以2c?1+a，"=b+c,即c+ccos4=b+c,

2

所以ccosZ=b,

在“3C中，由余弦定理：cos/=,

2bc

R.?2_2

代入得，cP+c—a=b,即/+/—/=2心

2bc

所以。2=/+〃.

所以。BC直角三角形.

故選：B

Aa

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)△Z5C的三邊長為BC=Q,CA=b,AB=c,若tan—=；—,

2b+c

tan-=-------,則△/8C是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各邊長為a、b、c且內(nèi)切圓半徑為心

法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有tan《==、tan?=一竺，根據(jù)邊角關(guān)系可得。=b或/+/=,2,注意討論所

得關(guān)系驗證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；

JT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得/=8或/+8=5,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角

形的形狀.

【詳解】設(shè)尸二w（"+b+。），△的內(nèi)切圓半徑為尸，如圖所示，

法一:

Ara/Brb

：.tan—=-不------①;tan—=-------=-------

2p-a2p-ba+c

p-baa+c即2(。一9a(a+c)

①。②,得:----------------------即2…

p-ab+cbb(b+c)

于是b(b+c)(c+a-b)=Q(Q+C)(6+C-Q),

ab2-b3+be2=a2b-a3+ac2，(Q-b)(/+/—/)=。,

從而得。=b或/+〃=c2,

???NZ=N5或/C=90°.故aABC為等腰三角形或直角三角形,

(1)當(dāng)a=b時，內(nèi)心/在等腰三角形C45的底邊上的高C。上,

C

2

2C

從而得2sC'?Q---------

r=-V4-

a+b+c2a+c

2

又0—0=＜僅+c-a)=；c,代入①式，得=q=-即"a—

22/,\1b+ca+c2a+ca+c

\2na+cy—c

2a-c_a2

上式兩邊同時平方，得:化簡2/=o,即c=缶.即△/BC直角三角形,

2a+c(a+c)2

???△力5。為等腰直角三角形.

(2)當(dāng)/+62=°2時，易得/=；(a+b—c).

；(Q+6_0)

代入②式，得----,此式恒成立,

；(a+c-b)a+c

綜上，△A8C為直角三角形.

法二：

Asin/Bsin5sin/sin/

利用tan1=tan——二及正弦定理和題設(shè)條件，得①，

1+cosA21+cosB1+cosAsin5+sinC

sinB_sin5

1+cosBsin^4+sinC

1+cosZ=sinB+sinC③；1+cosB=sin^4+sinC(4).

由③和④得:1+cos24-sin5=1+cosB-sinA,HPsinA+cosA=sinB+cosB,sin14+：=si.nBE+)一兀

I4

因為43為三角形內(nèi)角,

.../+巴=5+四或/+工=兀—5—巴，即4=3或4+5=工.

44442

(1)若A=B,代入③得：1+cos/=sinB+sinC⑤

又C=n-A—B=n-2A,將其代入⑤，得：1+cos^4=sin74+sin2A.

變形得(sinA-cos4)2-(sinA-cos4)=0,

即(sinA-cos4)(sinA-cosZ-1)=0⑥,

由/二B知力為銳角，從而知5畝/-85/-1。0.

???由⑥，得：sinA-cosA=0,即4=:，從而5=；,C=.

因此，△ABC為等腰直角三角形.

(2)若N+5=],即C=],此時③④恒成立，

綜上，△NB