7 4平行線的性質 練習題 北師大版八年級數學上冊（含答案）

《7.4平行線的性質》一．打卡練習11．如圖，將含30°角的直角三角板ABC的直角頂點C放在直尺的一邊上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，則∠2的度數為．2．如圖，如圖，已知直線a∥b，∠1＝22°，∠2＝66°．則∠3等于．3．如圖，直線a∥b，將一直角三角形的直角頂點置于直線b上，若∠1＝24°，則∠2等于度．4．如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD與EC平行嗎？請說明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于點A，∠1＝76°，求∠FAB的度數．5．已知：直線a∥b，點A和點B是直線a上的點，點C和點D是直線b上的點，連接AD，BC，設直線AD和BC交于點E．（1）在如圖1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數（提示：可過點E作EG∥AB）；（2）在如圖2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點F，當∠ABC＝64°，∠ADC＝72°時，求∠BFD的度數．（3）如圖3，當點B在點A的右側時，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于點F，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代數式表示∠BFD的補角．（直接寫出結果即可）二．打卡練習26．如圖，AB∥CD，點E在AB上，點F在CD上，點P在AB與CD之間，∠EPF＝100°，則∠PEB﹣∠PFC＝°．7．如圖所示，把一個長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D，C分別落在點D′，C′位置，D'恰好在BC上，若∠EFB＝65°，則∠ED′F等于°．8．如圖，直線l1∥l2，∠CAB＝124°，∠ABD＝86°，則∠1+∠2＝．9．已知如圖，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，試判斷BF與AC的位置關系，并說明理由．10．如圖1，E點在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數．（3）保持（2）中所求的∠DEB的度數不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由．三．打卡練習311．如圖，ABCD為一長方形紙帶，AB∥CD，將ABCD沿EF折疊，A，D兩點分別與A'，D'對應，若∠2＝2∠1，則∠BEF＝°．12．如圖，已知AB∥CD，BC∥EF，若∠1＝60°，則∠2＝°．13．將一塊含30°角的直角三角板如圖放置，若a∥b，∠2＝30°，則∠1＝°．14．如圖，直線AB與CD，AE與FD均被直線BC所截，已知∠1＝∠2．（1）求證：AE∥DF；（2）若∠A＝∠D，∠B＝30°，求∠C的度數．15．已知：點E在直線AB上，點F在直線CD上，AB∥CD．（1）如圖1，連EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度數．（2）如圖2，若∠EGF＝160°，射線EH，FH分別在∠AEG，∠CFG的內部，且∠EHF＝40°，當∠AEG＝4∠AEH時，求的值．（3）如圖3，在（1）的條件下，在直線CD上有一動點M（點M不與點F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），請直接寫出∠EMF＝（結果用含α的式子表示）．四．打卡練習416．如圖，直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝50°，∠2＝．17．如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝135°，∠CDE＝70°，則∠BCD＝．18．某學生上學路線如圖所示，他總共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線相互平行，已知第一次轉過的角度，第三次轉過的角度，則第二次拐彎角（∠1）的度數是．19．如圖，點E，F分別在直線AB，CD上，連接AD，CE，BF，AD分別與CE，BF相交于點G，H，∠1＝∠2，∠AEC＝∠BFD．（1）求證：BF∥CE；（2）求證：∠BAD＝∠ADC．20．已知，直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是直線AB與CD外一點，連接PE、PF．（1）如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數；（2）如圖2，過點E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長線交于點N，若∠M與3∠N互補，試探索直線EP與直線FN的位置關系，并說明理由；（3）若點P在直線AB的上方且不在直線EF上，作∠DFP的角平分線FN交∠AEP的角平分線EM所在直線于點N，請直接寫出∠EPF與∠ENF的數量關系．

參考答案一．打卡練習11．解：如圖，∵EF∥MN，∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠3＝70°，故答案為：70°．2．解：如圖所示，過點C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD＝∠1＝22°，∠BCD＝∠2＝66°，∴∠3＝∠ACD+∠BCD＝88°．故答案為：88°．3．解：∵a∥b，∴∠BAC＝∠2，∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝24°+90°＝114°，∴∠2＝114°．故答案為：114．4．（1）AD與EC平行，證明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠ADC（兩直線平行，內錯角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代換），∴AD∥CE（同旁內角互補，兩直線平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分線定義），∴∠2＝∠ADC＝38°（已證），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定義），∵AD∥CE（已證），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（兩直線平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．5．解：（1）過點E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如圖，過點F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如圖，過點F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的補角＝﹣．二．打卡練習26．解：如圖，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠PEB+∠EPM＝180°，∠PFC＝∠FPM，∴∠EPM＝180°﹣∠PEB，∵∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝100°，∴180°﹣∠PEB+∠PFC＝100°，∴∠PEB﹣∠PFC＝80°，故答案為：80．7．解：如圖，由折疊得∠DEF＝∠D'EF，∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠EFB＝∠DEF，∠AED'＝∠ED'F，∵∠EFB＝65°，∴∠DEF＝∠D'EF＝65°，∴∠AED'＝180°﹣∠DEF﹣∠D'EF＝50°，∴∠ED′F＝50°．故答案為：50．8．解：如圖∵∠1+∠3＝124°，∠2+∠4＝86°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝210°，∵l1∥l2，∴∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．故答案為：30°．9．解：BF與AC的位置關系是：BF⊥AC．理由：∵∠AGF＝∠ABC，∴BC∥GF，∴∠1＝∠3；又∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠3＝180°，∴BF∥DE；∵DE⊥AC，∴BF⊥AC．10．（1）證明：如圖1，延長DE交AB于點F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB＝∠CED，∴AC∥DF，∴∠A＝∠DFB，∵∠A＝∠D，∴∠DFB＝∠D，∴AB∥CD；（2）如圖2，作EM∥CD，HN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥HN∥CD，∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∵BG平分∠ABE，∴∠ABG＝ABE，∵AB∥HN，∴∠2＝∠ABG，∵CF∥HN，∴∠2+∠β＝∠3，∴ABE+∠β＝∠3，∵DH平分∠EDF，∴∠3＝EDF，∴ABE+∠β＝EDF，∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，設∠DEB＝∠α，∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，∵∠DEB比∠DHB大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度數為100°；（3）∠PBM的度數不變，理由如下：如圖3，過點E作ES∥CD，設直線DF和直線BP相交于點G，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，∠CDN＝∠EDN＝CDE，∵ES∥CD，AB∥CD，∴ES∥AB∥CD，∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，由（2）可知：∠DEB＝100°，∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，∵BP∥DN，∴∠CDN＝∠G，∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK＝∠EBK﹣CDE＝（∠EBK﹣∠CDE）＝80°＝40°．三．打卡練習311．解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠FEA′，∠2＝2∠1，∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠1又∵∠AEF+∠FEA′+∠1＝180°，∴2∠1+2∠1+∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠BEF＝∠FEA′+∠1＝2∠1+∠1＝3∠1＝108°．故答案為：108．12．解：∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠1＝∠BCD＝60°，∵BC∥EF，∴∠EHD＝∠BCD＝60°，∴∠2＝180°﹣∠BCD＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120．13．解：∵∠A＝30°，∠H＝90°，∴∠ACH＝90°﹣30°＝60°，如圖，過C作CM∥a，而a∥b，∴CM∥a∥b，∴∠HCM＝∠2＝30°，∠CKQ+∠ACM＝180°，∴∠ACM＝60°﹣30°＝30°，∠CKQ＝180°﹣30°＝150°，∴∠1＝∠CKQ＝150°，故答案為：150．14．（1）證明：∵∠1＝∠CNF（對頂角相等），∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠CNF，∴AE∥DF；（2）解：∵AE∥DF，∴∠D＝∠AEC，又∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠AEC，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝30°，∴∠C＝30°．15．解：（1）如圖1，過點P作GH∥AB，∴∠EPH＝∠AEP．∵AB∥CD，∴GH∥CD．∴∠FPH＝∠CFP．∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∵EP、FP分別平分∠AEF和∠CEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝90°，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；（2）如圖2，過點G，H作GK∥AB，HL∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，HL∥CD，∴∠AEH＝∠EHL，∠CFH＝∠LHF，∠AEG＝∠EGK，∠CFG＝∠FGK，∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），∵∠AEG＝4∠AEH，∴∠CFG＝4∠HFC，∴＝；（3）如圖3，由題意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．當M在F點右側時，∠EMF＝180﹣2α．故答案為：2α或180﹣2α．四．打卡練習416．解：如圖，延長AB交直線l2于點C，∵∠α＝∠β，∴AB∥DE，∴∠ACD+∠2＝180°，∵l1∥l2，∠1＝50°，∴∠ACD＝∠1＝50°，∴∠2＝180°﹣∠ACD＝130°．故答案為：130°．17．解：如圖，延長CB交ED的延長線于G，∵AB∥DF，∴∠1＝∠ABC＝135°，∵∠CDE＝70°，∴∠CDG＝180°﹣∠CDE＝110°，∵∠1＝∠CDG+∠C，∴∠C＝∠1﹣∠CDG＝135°﹣110°＝25°，即∠BCD＝25°．故答案為：25°．18．解：如圖，延長ED交BF于C，∵BA∥DE，∠B＝120°，∴∠BCD＝∠B＝120°，∴∠FCD＝180°﹣120°＝60°，又∵∠FDE是△CDF的外角，∴∠1＝∠FDE﹣∠FCD＝150°﹣60°＝90°，故答案為：90°．19．證明：（1）∵∠1＝∠2，∠2＝∠AHB，∴∠1＝∠AHB，∴BF∥CE（同位角相等，兩直線平行），（2）由（1）可得出∠AEC＝∠B，∵∠AEC＝∠BFD，∴∠B＝∠BFD，∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），∴∠BAD＝∠ADC．20．解：（1）如圖，過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴