湖北省武漢市蔡甸區(qū)2024-2025學年九年級上學期質檢數學試卷（10月份）

2024-2025學年湖北省武漢市蔡甸區(qū)九年級（上）質檢數學試卷（10月份）一、選擇題：本題共9小題，每小題3分，共27分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列函數是二次函數的是(

)A. B.

C. D.2.下列?；罩黧w圖案中，是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是(

)A. B. C. D.4.把拋物線先向左平移3個單位，再向下平移1個單位得到的圖象解析式是(

)A. B.

C. D.5.如圖，將其中，繞點A按順時針方向旋轉到的位置，使得點C、A、在同一條直線上，那么旋轉角等于(

)A.

B.

C.

D.6.等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關于x的一元二次方程的兩個實數根，則k的值是(

)A.8 B.9 C.8或9 D.127.若，，為二次函數的圖象上的三點，則，，的大小關系是(

)A. B. C. D.8.已知函數的圖象上有兩點和，則的值等于(

)A.22 B.20 C.17 D.09.如圖，O是正內一點，，，，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉得到線段，下列結論：①可以由繞點B逆時針旋轉得到；②；③四邊形的面積是；④，其中正確結論有個.A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。10.點關于原點對稱的點的坐標是______.11.二次函數的圖象的頂點坐標是______.12.有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水位時，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點O距離水面AB為3米，如圖建立直角坐標平面xOy，那么此拋物線的表達式為______.13.若關于x的函數與坐標軸有兩個交點，則k的值是______.14.已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①，，；②；③對于任意的x均有有；④若方程，有4個根，則這四個根之和為4，其中正確的結論是______.

15.點O是正方形ABCD內的一點，P是邊AB上的一點，，的最小值為______.三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題8分

解一元二次方程：

；

17.本小題8分

二次函數的圖象如圖，根據圖象解答下列問題：

方程的兩個根為______；

若，則自變量x的取值范圍為______；

若方程有兩個不相等的實數根，k的取值范圍是______.18.本小題8分

已知關于x的一元二次方程

求證：無論m為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；

若方程的兩個實數根，滿足，求m的值.19.本小題8分

某扶貧單位為了提高貧困戶的經濟收入，購買了39m的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻墻長圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場如圖所示

若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為，求雞場的長AB和寬BC；

該扶貧單位想要建一個的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現嗎？請說明理由.20.本小題8分

如圖，的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，結果用實線表示，

在圖1中，畫線段于點E，使；

在圖2中，點K為AB與網格線的交點，先將線段BA繞點B順時針旋轉得線段BH，在線段BH上畫出點K的對應點I：

在圖2中，畫出點H關于CB的對稱點21.本小題10分

如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度與運行的水平距離滿足關系式已知球網與O點的水平距離為9m，高度為，球場的邊界距O點的水平距離為

當時，求y與x的關系式不要求寫出自變量x的取值范圍；

當時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由；

若球一定能越過球網，又不出邊界，求h的取值范圍．

22.本小題10分

如圖，中，，

如圖1，D在BC邊上，，求的值；

如圖2，E點在的外部，，求證：；

是平面內一點，，，請直接寫出______.23.本小題12分

如圖，拋物線交x軸于A，B兩點在B的左邊，與y軸交于點

如圖1，已知，且點A的坐標為

①求拋物線的解析式；

②P為第四象限拋物線上一點，交y軸于點Q，求面積的最大值及此時點P的坐標；

如圖2，F為y軸正半軸上一點，過點F作交拋物線于D，E兩點在E的左邊，直線AD，AE分別交y軸于N，M兩點，求的值.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、不是整式，不是二次函數，故不符合題意；

B、是一次函數，故A不符合題意；

C、符合二次函數的定義，符合題意；

D、解析式化簡后不含二次項，不符合題意；

故選：

根據二次函數的定義判定即可．

本題考查了二次函數的定義，一般地，形如、b、c是常數，的函數，叫做二次函數，熟練掌握二次函數定義是關鍵．2.【答案】B

【解析】解：選項A、C、D的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；

選項B的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．

故選：

根據中心對稱圖形的概念判斷，把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．3.【答案】C

【解析】解：，

，

，

，

故選：

移項，配方，即可得出選項．

本題考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是關鍵．4.【答案】A

【解析】解：由題意，由二次函數的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，拋物線向左平移3個單位，再向下平移1個單位，即可得到的圖象解析式是，即

故選：

直接根據圖形平移的性質即可得出結論．

本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關鍵．5.【答案】C

【解析】解：，

，

故選：

首先根據點C、A、在同一條直線上，得到，然后利用鄰補角互補求解即可．

此題考查旋轉的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，三角形的三邊關系等.

分兩種情況①等腰三角形的底邊長為2，②等腰三角形的腰長為2，分別求解即可.

【解答】

解：當等腰三角形底邊長為2時，

則關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，

，

，

此時兩腰長為3，符合題意；

當等腰三角形腰長為2時，

此時2是方程的一個根，

，

，

此時方程的另一個根為，

，

不能組成三角形，

綜上所述，

故選7.【答案】B

【解析】解：二次函數的對稱軸為直線，

，

拋物線開口向上，

點A、B、C到對稱軸的距離分別為2、1、3，

故選：

先求出拋物線對稱軸解析式，再根據點A、B、C到對稱軸的距離的大小與拋物線的增減性解答．

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關鍵．8.【答案】A

【解析】解：函數的圖象上有兩點和，

，

把代入得，，

函數的圖象上有兩點和，

，n是方程的兩個根，

，，

，

故選：

由題意可得m，n是方程的兩個根，則有，，即，又由，將所求式子變形為，然后再求值即可．

本題考查二次函數圖象上點的坐標特點，熟練掌握二次函數的圖象與性質，二次函數與方程之間的關系是解題的關鍵．9.【答案】D

【解析】解：由題意可知，

，

，

又，，

在和中，

，

≌，

又，

可以由繞點B逆時針旋轉得到，

故結論①正確；

≌，

在中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，

是直角三角形，，

，

故結論②正確；

，

故結論③正確；

如圖②所示，將繞點A逆時針旋轉，使得AB與AC重合，點O旋轉至點．

則是邊長為3的等邊三角形，是邊長為3、4、5的直角三角形，

則，

故結論④正確．

綜上所述，正確的結論為：①②③④．

故選：

證明≌，又，所以可以由繞點B逆時針旋轉得到，故結論①正確；在中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故是直角三角形；進而求得，故結論②正確；，故結論③正確；將繞點A逆時針旋轉，使得AB與AC重合，點O旋轉至點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將轉化為，計算可得結論④正確．

本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是熟練地掌握全等三角形的判定與性質．10.【答案】

【解析】解：點關于原點對稱的點的坐標是

故答案為：

根據關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數可得答案．

本題考查了關于原點對稱的點，平面直角坐標系中若兩個點關于原點對稱，那么這兩個點的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數．11.【答案】

【解析】解：，

二次函數的圖象的頂點坐標是

故答案為：

根據二次函數的性質求解即可．

本題主要考查了二次函數圖象的性質，熟知對于二次函數，其頂點坐標為是解題的關鍵．12.【答案】

【解析】解：該拋物線的解析式是，

由圖象知，點在函數圖象上，代入得：

，

該拋物線的解析式是；

故答案為：

由函數圖象可設該拋物線的解析式是，再結合圖象，只需把代入求出a的值即可．

本題考查了二次函數在實際問題中的應用，能夠熟練運用待定系數法求得二次函數的解析式是此題的考查點．13.【答案】或

【解析】解：①當時，即時，函數是一次函數，與x軸有且有一個交點，與y軸有一個交點，故符合題意．

②當時，即時，該函數是二次函數，與y軸有一個交點

則

解得

綜上可知：或

故答案為：或

若，原函數為一次函數，與坐標軸有兩個交點，若，原函數為二次函數，由于拋物線與y軸一定有一個交點，根據“該函數與坐標軸有兩個交點”，得到拋物線與x軸只有一個交點，即判別式，得到關于k的等式，解之即可．

本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，正確掌握判別式公式是解題的關鍵．14.【答案】①②③④

【解析】解：拋物線的對稱軸在y軸右側，則，

而，，

拋物線的對稱軸為，

，

，故①正確；

，

，

，

，故②正確；

當時，函數最大值為，

對于任意的x均有

，

即，故③正確；

方程有四個根，

方程與方程各自有兩個根，設分別為，，，，

，，

，故④正確；

綜上，正確的結論是①②③④，

故答案為：①②③④．

由二次函數的圖象可得，，由對稱軸可得，即可判斷①；由對稱軸可得，進而可判斷②；當時，函數最大值為，即可判斷③；由方程有四個根，可得方程與方程各自有兩個根，設分別為，，，，由根和系數的關系可得，，得到，即可判斷④．

本題考查了二次函數的圖象和性質，一元二次方程根和系數的關系，熟悉函數的圖象和性質是解題的關鍵．15.【答案】

【解析】解：將繞點C順時針旋轉至，連接OE，過點于點G交CD于H，

則，，，，

，為等邊三角形，

，

，

當且僅當F，E，O，P四點共線時，取得最小值，此時點P與點G重合，最小值為FG，

四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，

，，，，

，

四邊形AGHD是矩形，

，

，，

，

，

，

，

即的最小值為，

故答案為：

將繞點C順時針旋轉至，連接OE，過點于點G交CD于H，則，為等邊三角形，故，當且僅當F，E，O，P四點共線時，取得最小值，此時點P與點G重合，最小值為FG，可求，，在中，由勾股定理得，則，即的最小值為

本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，勾股定理，垂線段最短，兩點之間線段最短等知識點，熟練掌握知識點，構造旋轉全等，將線段進行轉移是解題的關鍵．16.【答案】解：，

，

，

；

，

，

或，

，

公式法：，，，

，

，

，

【解析】利用配方法求解即可；

利用因式分解法求解即可．

本題考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解題的關鍵．17.【答案】，或

【解析】解：二次函數的圖象與x軸的兩個交點分別為、，

方程的兩個根為，，

故答案為：，；

設拋物線解析式為，將點代入得：，解得，

拋物線解析式為，

令，

解得：，，

，

或

故答案為：或；

由函數圖象可知，二次函數開口向下的頂點坐標為，

方程有兩個不相等的實數根，

直線與二次函數有兩個交點，

的取值范圍為，

故答案為：

根據二次函數圖象與x軸的兩個交點坐標，即可作答；

根據二次函數圖象在x軸上方的部分對應的x范圍，即可作答；

根據二次函數的頂點坐標，結合直線與二次函數有兩個交點，即可作答．

本題考查了二次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數與不等式的關系，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．18.【答案】證明：整理原方程得，，

，

無論m為何實數，總有，從而，

即

無論m為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；

解：由得方程整理得，

方程的兩個實數根、，

，，，

，

解得

【解析】先把方程，變形為，得出，即可得出答案；

先把方程，變形為，然后計算兩根之和以及兩根之積，代入求值的代數式計算即可．

本題考查了一元二次方程的根的判別式和一元二次方程的根與系數的關系：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．19.【答案】解：設，則，

由題意得：，

整理得：，

解得：，，

當時，，不符合題意；當時，，符合題意；

答：雞場的長AB和寬BC分別為15m與

設，則，

由題意得：，

整理得：，

，

方程無實數解；

所以想法不能實現．

【解析】設，則可表示出長AB，由面積關系即可列出方程，解方程即可．

設，則可表示出長AB，由面積關系即可列出方程，根據方程是否有解或方程的解是否符合題意，即可作出判斷．

本題考查了一元二次方程的應用，正確列出方程是解題的關鍵．20.【答案】解：畫線段于點E，使，如圖1所示，線段AD即為所求；

如圖2所示，線段BH及點I即為所求；

畫出點H關于CB的對稱點M如圖所示，點M即為所求．

【解析】如圖1，取格點AD，連接AD，交CB與點E，易得≌，得，，即得，進而由，得，得到，即得，故線段AD即為所求；

如圖2，取格點H，連接BH，與網格線相交于點I，易得≌，得到，即得，又因為，，所以≌，即得到，故線段BH及點I即為所求；

取格點P，連接PH，則，取格點G、N，連接GN、GH，則，即可得，得到，因為點C為GH的中點，所以由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半可得，即得，故點H、M關于CB對稱．

本題考查了全等三角形的判定和性質，余角性質，直角三角形性質，旋轉作圖，等腰三角形的性質，軸對稱，掌握以上知識點是解題的關鍵．21.【答案】解：，球從O點正上方2m的A處發(fā)出，

拋物線過點，

，

解得：，

故y與x的關系式為：；

當時，，

所以球能過球網；

當時，，

解得：，舍去，

故會出界；

解法一：當球正好過點時，拋物線還過點，代入解析式得：

解得：

此時二次函數解析式為：，

此時球若不出邊界，則，

當球剛能過網，此時函數解析式過，拋物線還過點，代入解析式得：

解得：

此時球要過網，則，

故若球一定能越過球網，又不出邊界，h的取值范圍是：

解法二：過點點，代入解析式得：，

若球越過球網，則當時，，即，解得，

若球不出邊界，則當時，，解得

故若球一定能越過球網，又不出邊界，h的取值范圍是：

【解析】此題主要考查了二次函數的應用題，求范圍的問題，可以利用臨界點法求出自變量的值，再根據題意確定范圍．

利用將點代入解析式求出即可；

利用當時，，當時，，分別得出即可；

根據當球正好過點時，拋物線還過點，以及當球剛能過網，此時拋物線過，拋物線還過點時分別得出h的取值范圍，或根據不等式即可得出答案．22.【答案】或

【解析】解：，，

，

，

，

，，

，

，，

，

；

如圖2，將AE繞點A逆時針旋轉，得到AF，連接CF，EF，過點A作于H，

，，

，

，

，，，

，

，

，

又，，

≌，

，，

設，

，

，

，

，

，

，

，

；

如圖3，當點P在內時，將繞點A順時針旋轉，得到，連接HP，

，，

，，

，

將繞點A順時針旋轉，得到，

，，，，，

，，

，，

，，

，

；

如圖4，當點P在外時，將繞點A順時針旋轉，得