2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問(wèn)題【七大題型】（含答案及解析）

重難點(diǎn)09極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問(wèn)題【七大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1極值點(diǎn)偏移：加法型】................................................................2

【題型2極值點(diǎn)偏移：減法型】.................................................................3

【題型3極值點(diǎn)偏移：乘積型】................................................................4

【題型4極值點(diǎn)偏移：商型】...................................................................6

【題型5極值點(diǎn)偏移：平方型】.................................................................7

【題型6極值點(diǎn)偏移：復(fù)雜型】.................................................................8

【題型7拐點(diǎn)偏移問(wèn)題】.......................................................................9

?命題規(guī)律

1、極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問(wèn)題

極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱(chēng)性，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類(lèi)題往往對(duì)思維要求較高，過(guò)程較為煩瑣，

計(jì)算量較大，解決極值點(diǎn)偏移，稱(chēng)化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨(dú)具特色.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1極值點(diǎn)偏移問(wèn)題及其解題策略】

1.極值點(diǎn)偏移的概念

（1）已知函數(shù)y=/（x）是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（。,6）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)xo，兀⑴初切），且xo在xi與X2之間，由

于函數(shù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的變化速度不同，使得極值點(diǎn)偏向變化速度快的一側(cè)，常常有X。/—匹，這種

情況稱(chēng)為極值點(diǎn)偏移.

（2）極值點(diǎn)偏移

若」/Wx。，則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)人x）在x=x°兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢不同，如圖（2）（3）.

圖⑵圖⑶

（左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移）若宜/）=/（必），貝丘1+X2>2xo；

（左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移）若若次修）=次M），貝I修+%2<2］（）.

2.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式

(1)函數(shù)外)存在兩個(gè)零點(diǎn)修，工2且修#、2，求證：修+'2>2孫。0為函數(shù)")的極值點(diǎn))；

(2)函數(shù)人X)中存在修，M且修之必，滿(mǎn)足加1)成心)，求證：修+'2>2孫(的為函數(shù)/(X)的極值點(diǎn))；

(3)函數(shù)人工)存在兩個(gè)零點(diǎn)修，工2且修#、2，令工0=2，求證：f(Xo)->O?

(4)函數(shù)於)中存在修，必且入蘆工2，滿(mǎn)足大修月區(qū))，令X。=汨,冷，求證：/(必)>0.

3.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常見(jiàn)解法

(1)(對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)：構(gòu)造輔助函數(shù)：

①對(duì)結(jié)論修+間>2劭型，構(gòu)造函數(shù)/(x)=4X)—/(2xo-幻.

②對(duì)結(jié)論西M>k型，方法一是構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—/(2)，通過(guò)研究PG)的單調(diào)性獲得不

等式；方法二是兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnxi+liU2>21m:(),再把Inxi,lm：2看成兩變量即可.

(2)(比值代換法)：通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用

X2

函數(shù)單調(diào)性證明.

【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)、對(duì)數(shù)均值不等式解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題】

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)重要工具就是指數(shù)均值不等式和對(duì)數(shù)

均值不等式.

1.對(duì)數(shù)均值不等式

結(jié)論1對(duì)任意的。力>03/6),有Vab<[Mq芋.

2.指數(shù)均值不等式

-+〃m—nm-Ln

結(jié)論2對(duì)任意實(shí)數(shù)九〃(加有e2<e-----e--<-e--5-e---

\/m-nZ

?舉一反三

【題型1極值點(diǎn)偏移：加法型】

【例1】(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=ln(ni久)—久⑺>0).

(1)若/'(%)W0恒成立，求小的取值范圍；

(2)若/(久)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)工1,比2，證明X1+犯〉2.

【變式1-1](2024?遼寧?三模)已知/(久)=(x-l)e*+|?/.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：函數(shù)/'(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)xi，久2，且巧+乂2<0.

1

【變式1-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xe:—a(x>0),且/(久)有兩個(gè)相異零點(diǎn)亞,冷.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)證明：+%2>

【變式1-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/+21nx,g(x)=61(/+2萬(wàn)).

(1)若曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)g(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若方程g(x)-/(久)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根比1,冷，

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：%1+%2>2.

【題型2極值點(diǎn)偏移：減法型】

【例2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑶=久2一(2+a)x+alnx,aeR.

⑴討論/(%)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=；-/(%)+/-(a+l)x-2a+(a-l)lnx,若g(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)小，x2>且久i<x2.

(i)證明：2a>e+l；

(ii)證明：冷一久i<竺匕紇1

2a—1

【變式2-1](2024?湖南株洲?一■模)已知函數(shù)/'(久)=Q+a)e"在(i/(i))處的切線(xiàn)方程為y=e(x-l),其

中e為自然常數(shù).

(1)求a、b的值及f(久)的最小值；

(2)設(shè)X1，犯是方程y(x)=-2-2(fc>2)的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，證明：氏-久2|〉1《

【變式2-2](2024?北京朝陽(yáng)?二模)已知函數(shù)f(久)=a;「ln(lr)(aeR).

⑴求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)若久久)>0恒成立，求a的值；

⑶若/(久)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)肛冷，且%fil>eT，求。的取值范圍.

【變式2-3](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知6>0,函數(shù)f(x)=(久+a)ln(x+6)的圖象在點(diǎn)(1)(1))處的切線(xiàn)

方程為xln2-y-ln2=0.

(1)求a,6的值；

(2)若方程/(無(wú))=￡(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根打,%2,且%1<冷，證明：冷一亞<1+9+焉

【題型3極值點(diǎn)偏移：乘積型】

【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=a%2_(]nx)2(aeR).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)若/(久)有兩個(gè)極值點(diǎn)燈,久2.

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：%i%2>e.

【變式3-1](2024?四川眉山?三模)已知函數(shù)/'(久)=xlrur-a——2%.

(1)若過(guò)點(diǎn)(1,0)可作曲線(xiàn)y=f(x)兩條切線(xiàn)，求a的取值范圍；

⑵若/(%)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)工1,比2.

①求a的取值范圍；

②當(dāng)?shù)?>4方2時(shí)，證明：%1%2>l6e3.

【變式3-2]⑵-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+a)?lnx,aGR在點(diǎn)4(1/(1))處的切線(xiàn)斜率

為1.

(1)求實(shí)數(shù)a的值并求函數(shù)f(x)的極值；

1

(2)若/101)=/(%2)，證明：X1,%2<丁?

【變式3-3](2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=a(l-21nW+4x6(aeR).

(1)討論/'(X)的單調(diào)性;

(2)若X1，尤2(乂1大*2)為函數(shù)g(X)=k/+5-ln比的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：(乂1X2)4>12e4.

【題型4極值點(diǎn)偏移：商型】

l+21nx

【例4】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(久)=

X2

(1)設(shè)函數(shù)g(%)=efcx-^(fc>0),若/(%)<g(%)恒成立，求々的最小值;

,^22(l-lnm)

(2)若方程f(x)=爪有兩個(gè)不相等的實(shí)根久1、%2>求證:%2十%i<m

【變式4-1](23-24高二下?河南平頂山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/lnx—a(a€R).

(1)若/(久)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍;

(2)若/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為%(第1<%2)，求證：||+^2<-|.

【變式4-2](2023?湖北武漢?三模)已知函數(shù)/(%)=a%+(a—l)ln%+13aER.

(1)討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性;

(2)若關(guān)于x的方程/(%)=xe--lnx+/有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根均、物，

Ci)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(ii)求證：向+導(dǎo)>急

【變式4-3](2024?全國(guó)?一模)已知/(%)=/一—?一a

(1)若/(%)20,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

17

(2)設(shè)打,第2是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：@1<7T;?~<X1+%2-

【題型5極值點(diǎn)偏移：平方型】

【例5】(2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/0)=喂，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(%)=1有兩個(gè)不同的根%1，%2.

⑴求a的取值范圍；

(ii)證明：+%2>2.

【變式5-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=?.

⑴求函數(shù)/(%)在[1,3]上的值域；

(2)若方程/(x)=：有兩個(gè)不相等的解久1，久2，且久1>0,%2>0,求證：a(君+X2)>2e2.

【變式5-2](2024?四川涼山?二模)已知函數(shù)/(%)=%+asin%.

(1)若函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，求Q的取值范圍；

(2)設(shè)g(%)=sinx-lnx,若gQq)=g(%2)(%i*%2)，證明：后石<2.

【變式5-3](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=/]n%-租有兩個(gè)不同的零點(diǎn)久1，x?,且《=君

+成.

(1)求實(shí)數(shù)血的取值范圍；

(2)求證:t<1；

7Q

⑶比較嗚:及2血+：的大小，并證明.

【題型6極值點(diǎn)偏移：復(fù)雜型】

【例6】(2024?四川?一模)已知函數(shù)/(%)=a/+%一1口%—q.

(1)若a=l,求f(%)的最小值；

(2)若/(%)有2個(gè)零點(diǎn)％1，%2,證明:+%2尸+(%1+外)>2.

【變式6-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%2(ain%-|%-|)有兩個(gè)極值點(diǎn)％1,%2，且無(wú)

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：Xiln%!+x2lnx2>x1+x2.

【變式6-2](2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xe'+i.

(1)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程f(x)=4ex+4elnx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根％1,久2，證明：右+外+皿打冷)>2-

【變式6-3](2024,山東,模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=g+a)lnx+：-2,其中aeR.

(1)當(dāng)a>1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性；

(2)若/"(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)打,%2(%2>>0).

7

(i)證明：冷―％1+2>了

145

(ii)證明：-6(1,+8)時(shí),/(x)>^3-^7+--2.

【題型7拐點(diǎn)偏移問(wèn)題】

【例7】(23-24高三下?四川成都?期末)已知函數(shù)f(x)=d—a/.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/'(x)在x=0處的切線(xiàn)方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-sinx,當(dāng)a=g時(shí)，若g(%D+g(%2)=2(應(yīng)4肛)，證明：打+Q<。.

【變式7-1](23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí))“拐點(diǎn)”又稱(chēng)“反曲點(diǎn)”，是曲線(xiàn)上彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn).設(shè)

@'(x)為函數(shù)9(X)的導(dǎo)數(shù)，若a為。(%)的極值點(diǎn)，則(a，w(a))為曲線(xiàn)y=9(%)的拐點(diǎn).

已知函數(shù)/(x)=aeJxlnx有兩個(gè)極值點(diǎn)小,%2，且。(比/。。))為曲線(xiàn)C：y=f(x)的拐點(diǎn).

⑴求。的取值范圍；

(2)證明：C在0處的切線(xiàn)與其僅有一個(gè)公共點(diǎn);

(3)證明：f,(xo)<^-.

【變式7-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=21nx+*2+%.

(1)求曲線(xiàn)y=f(久)在點(diǎn)(1)(1))處的切線(xiàn)方程.

(2)若正實(shí)數(shù)刀1,功滿(mǎn)足/(尤1)+/(%2)=4,求證：Xi+x2>2.

【變式7-3](23-24高二下?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))設(shè)((久)是函數(shù)/(久)的導(dǎo)函數(shù)，若廣(久)可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)尸(幻

的導(dǎo)函數(shù)為/(%)的二階導(dǎo)函數(shù)，記為尸(x).若/"Q)有變號(hào)零點(diǎn)”=劭，則稱(chēng)點(diǎn)Qo/Oo))為曲線(xiàn)y=/(x)的“拐

點(diǎn)”.

(1)研究發(fā)現(xiàn)，任意三次函數(shù)/O)=ax3+bx2+cx+d(a豐0),曲線(xiàn)y=/Q)都有“拐點(diǎn)”,且該“拐點(diǎn)”也是函

數(shù)y=/(久)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心.已知函數(shù)/(%)=/+b/_24x+d的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(1,3),求函數(shù)f(x)的解

析式，并討論f(x)的單調(diào)性；

-1-112

(2)已知函數(shù)g(%)=—emx-1+-mx3-%2+—%---l(m>0).

(i)求曲線(xiàn)y=9(%)的“拐點(diǎn)”；

7

(ii)若。(％1)+。(久2)=-2(%1。、2)，求證：X1+x2<—.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'（X）=lnx+1-ax有兩個(gè)零點(diǎn)句,%2，且/<%2，則下列命題正確

的是（）

2

A.a>1B.x1+x2<-

i

C..%2VlD.%2一1

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（%）=aln%+$2_2久有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)久I，%且七一/Qi）+%2</（%2）

-%1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）

A.（—oo,—5）B.（—oo,—5]C.（—8,2—21n2）D.（—8,2—21n2]

3.（2023?吉林通化?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù);'0）=（>2+2）0；3一36[/+6）滿(mǎn)足：①定義域?yàn)镽；@|<b<4；

③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)卬久2,則微+搟的取值范圍是（）

A.（-2,-1）B.C.g,l）D.（1,2）

4.（2024?遼寧三模）己知函數(shù)/（久戶(hù)底+5/一以存在兩個(gè)極值點(diǎn)，若對(duì)任意滿(mǎn)足f（肛）=〃久2）=f（右

）的句,*2,尤3（犯<%2<%3），均有/仁如）</（/2）</（訶3）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（&]B.（磊,2+點(diǎn)

Ca1+芻D,（^,2+1

5.（2023?四川南充?一模）已知函數(shù)/（%）=1口%-|+2卜m（0<m<3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)式i，x2（久i<

%2），下列關(guān)于％1，%2的說(shuō)法正確的有（）個(gè)

加②打>高③^V%2〈言④％1%2>1

A.1B.2C.3D.4

6.（2023?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=於一根/有兩個(gè)極值點(diǎn)打，%2（0<x1<x2）,函數(shù)g（%）=%ln%-

三%2一%有兩個(gè)極值點(diǎn)％肛（0<%3<%4），設(shè)M=￡+孩，則（）

A.0<M<-1B.0<M<^M^+1

ee

C.M>—D.M>e

e

7.（2023?四川成都?一模）已知函數(shù)/（%）=（lnx）2-3dn%+22有三個(gè)零點(diǎn)久i、冷、右且第1<%2<%3，則

等+詈+詈的取值范圍是（）

工1x2x3

A.（一占，。）B.（一―0）C.（-^,0）D.（一|,0）

8.（2023?四川南充?一■模）已知函數(shù)/'（X）=111久—：+2卜爪（0<m<3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)犯，%2（不<

%2），下列關(guān)于犯，犯的說(shuō)法正確的有（）個(gè)

①￡<e2m②句>高③句電>1

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

9.（2024?貴州畢節(jié)?二模）已知函數(shù)/'（X）=撫-工，方程/■（久）=a有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根%1，冷，則下列選項(xiàng)正確

的有（）

A./（%）<|B.a的取值范圍是（—8,9

ln%i—lnx2--

c.=1D.%1+x2>2

10.（2024?山西太原?三模）已知尤1是函數(shù)f（x）=/+mx+71（爪<0）的極值點(diǎn)，若/'（冷）=/'（比1）

（小k無(wú)2），則下列結(jié)論正確的是（）

A./（久）的對(duì)稱(chēng)中心為（0,n）B./（-%1）>/（%1）

C.20+%2=0D.%1+%2>0

11.（23-24高二上?湖北武漢?期中）已知函數(shù)/■（久）=xln久-?%與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

（x2,y2）（久1<久2），下列說(shuō)法正確的有（）

A.f（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增

B.a的取值范圍為（—1,0]

C.x2—x1>ae+e

D.%2一汽1V2a+e+~

三、填空題

12.（2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'（X）=2023eX-cu：2_i（aeR）有兩個(gè)極值點(diǎn)久「冷，且久2、2XI，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

13.（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）若關(guān)于％的方程9-3a比=。有兩個(gè)不同的實(shí)根％i，%2,且均>3冷，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為

14.(2023?陜西西安,二模)若函數(shù)/(x)=)/-6工+1在％=巧和尤=久2，兩處取得極值，且葭則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

四、解答題

15.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=/6-工-￡1(/-4%)在定義域(0,+8)上僅有1個(gè)極大值點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)若=/。2),1<久1<2<%2,證明:X1+%2>4.

16.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(X)=a(lnx+1)++(a>0).

(1)求證:1+xlnx>0；

(2)若xi,%2是/(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：咫一句1<1—

17.(2024?上海?三模)已知/(X)=e，—a久一1,a&R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)y=/(久)的極值；

(2)若關(guān)于久的方程f(x)+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，若滿(mǎn)足f(久1)=f(*2)(*i<%2)，求證：%i+x2<21na.

18.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=a(l-21n%)+4x6(aeR).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

-1_

(2)若X1，尤2(比1大*2)為函數(shù)9(x)=依2+至一11?的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：(%1%2尸>12e4.

19.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=誓—犯刀6(0萬(wàn)).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若久1<汽2，滿(mǎn)足/(%1)=/(%2)=°?

(i)求加的取值范圍；

(ii)證明：%i+x2<冗.

重難點(diǎn)09極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問(wèn)題【七大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1極值點(diǎn)偏移：加法型】................................................................2

【題型2極值點(diǎn)偏移：減法型】.................................................................7

【題型3極值點(diǎn)偏移：乘積型】................................................................14

【題型4極值點(diǎn)偏移：商型】..................................................................20

【題型5極值點(diǎn)偏移：平方型】...............................................................27

【題型6極值點(diǎn)偏移：復(fù)雜型】...............................................................32

【題型7拐點(diǎn)偏移問(wèn)題】......................................................................38

?命題規(guī)律

1、極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問(wèn)題

極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱(chēng)性，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類(lèi)題往往對(duì)思維要求較高，過(guò)程較為煩瑣，

計(jì)算量較大，解決極值點(diǎn)偏移，稱(chēng)化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨(dú)具特色.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1極值點(diǎn)偏移問(wèn)題及其解題策略】

1.極值點(diǎn)偏移的概念

（1）已知函數(shù)y=/（x）是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（。,6）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)xo，兀⑴初切），且xo在xi與X2之間，由

于函數(shù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的變化速度不同，使得極值點(diǎn)偏向變化速度快的一側(cè)，常常有X。/—匹，這種

情況稱(chēng)為極值點(diǎn)偏移.

（2）極值點(diǎn)偏移

若」/Wx。，則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)人x）在x=x°兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢不同，如圖（2）（3）.

圖⑵圖⑶

（左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移）若宜/）=/（必），貝丘1+X2>2xo；

（左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移）若若次修）=次M），貝I修+%2<2］（）.

2.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式

(1)函數(shù)外)存在兩個(gè)零點(diǎn)修，工2且修#、2，求證：修+'2>2孫。0為函數(shù)")的極值點(diǎn))；

(2)函數(shù)人X)中存在修，M且修之必，滿(mǎn)足加1)成心)，求證：修+'2>2孫(的為函數(shù)/(X)的極值點(diǎn))；

(3)函數(shù)人工)存在兩個(gè)零點(diǎn)修，工2且修#、2，令工0=2，求證：f(Xo)->O?

(4)函數(shù)於)中存在修，必且入蘆工2，滿(mǎn)足大修月區(qū))，令X。=汨,冷，求證：/(必)>0.

3.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常見(jiàn)解法

(1)(對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)：構(gòu)造輔助函數(shù)：

①對(duì)結(jié)論修+間>2劭型，構(gòu)造函數(shù)/(x)=4X)—/(2xo-幻.

②對(duì)結(jié)論西M>k型，方法一是構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—/(2)，通過(guò)研究PG)的單調(diào)性獲得不

等式；方法二是兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnxi+liU2>21m:(),再把Inxi,lm：2看成兩變量即可.

(2)(比值代換法)：通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用

X2

函數(shù)單調(diào)性證明.

【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)、對(duì)數(shù)均值不等式解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題】

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)重要工具就是指數(shù)均值不等式和對(duì)數(shù)

均值不等式.

1.對(duì)數(shù)均值不等式

結(jié)論1對(duì)任意的。力>03/6),有Vab<[Mq芋.

2.指數(shù)均值不等式

-+〃m—nm-Ln

結(jié)論2對(duì)任意實(shí)數(shù)九〃(加有e2<e-----e--<-e--5-e---

\/m-nZ

?舉一反三

【題型1極值點(diǎn)偏移：加法型】

【例1】(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=ln(ni久)—久⑺>0).

(1)若/'(%)W0恒成立，求小的取值范圍；

(2)若/(久)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)工1,比2，證明X1+犯〉2.

【解題思路】(1)直接用導(dǎo)數(shù)求出f(x)的最大值即可；

(2)構(gòu)造p(t)=/(1+t)—f(l—t)并證明t>0時(shí)/(I+t)>/(IT),并對(duì)該不等式代入特殊值即可得證.

【解答過(guò)程】(1)首先由巾>0可知/'(久)的定義域是(0,+8),從而/'(%)=ln(mx)-x=lnxf+lmn.

故尸(x)=x=卜1=上^,從而當(dāng)0<刀<1時(shí)((x)>0,當(dāng)x>l時(shí)尸(x)<0.

故/'(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，所以〃>)具有最大值f(l)=

所以命題等價(jià)于lnm-1W0,即mWe.

所以小的取值范圍是(0,e].

(2)不妨設(shè)修<久2，由于/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，故一定有0<打<1<冷.

在一1<t<1的范圍內(nèi)定義函數(shù)p(t)=/(I+

則p'(t)=((1+t)+r(l-t)=E=署>o，所以P(t)單調(diào)遞增.

這表明t>0時(shí)p(t)>p(0)=/(1)-/(1)=0,BP/(1+t)>/(1-t).

又因?yàn)閒(2-X1)=/(I+(1-X1))>/(l-fl-Xi))=/(Xl)=o=f(X2)>且2Tl和都大于1，

故由/(x)在(1,+8)上的單調(diào)性知2-久1<x2,即打+%2>2.

【變式1-1](2024?遼寧?三模)已知/'(久)=(x-l)eX+

(1)討論函數(shù)久久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：函數(shù)/'(%)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)打,%2，且乂1+犯<0.

【解題思路】(1)對(duì)/"(久)求導(dǎo)，對(duì)a分類(lèi)討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(2)先用零點(diǎn)存在性定理證明結(jié)論，再構(gòu)造新函數(shù)討論八%)與/(-4)大小關(guān)系，利用/(%)在(0,+8)上單

調(diào)性，證明結(jié)論即可.

【解答過(guò)程】(1)f'[x)=xex+ax=x(ex+a),

當(dāng)aNO時(shí)，令尸(x)>0,得x〉0,令尸(x)<0,得x<0,

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，令/(%)=0,得x=0或x=ln(-a),

當(dāng)In(—a)<0,即—l<a<0時(shí)，由尸(%)>0得xW(—8<(—砌)U(0,+8),[(x)<0得xe(ln(—a),0),

所以f(x)在(-8,ln(-a))和(0,+oo)上單調(diào)遞增，在(ln(-a),0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)In(-a)=0,即a=-l時(shí)，「(x)20恒成立，/(久)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)ln(—a)>0,即a<-l時(shí)，由尸⑴>0得xC(―8,0)u(ln(—a),+8),由尸(x)<0得xe(0,ln(—a)),

所以/(久)在(-8,0)和(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，在(0,ln(-a))上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a20時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)一l<a<。時(shí)，/(久)在(一8,ln(-a))和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(ln(-a),0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<一1時(shí)，/(x)在(一8,0)和(皿―a),+8)上單調(diào)遞增，在(0,ln(—a))上單調(diào)遞減.

(2)由第(1)問(wèn)中a〉0時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)%>0時(shí)，因?yàn)閍>0,/(0)=-1<0,/(1)=^>0,

由零點(diǎn)存在性定理可得：函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)%2，且%2c(0,1),

使得/(%2)=°；

當(dāng)汽V0時(shí)，x—1<0,0<ex<1,則(汽一l)e*>%—1,

則/(%)=(%-l)ex+|ax2>(x-1)+|a%2=|ax2+x-l,

顯然一元二次方程-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根為：-1+后通和-1-VI呵

N+Xaa

其中T+后云>0,土叵羽<0,

aa

取心土叵羽<o,

a

f(b)=(h-l)eh+^ab2>^ab2+b-l=0,

即f(b)>0,M/(0)=-1<0,

由零點(diǎn)存在性定理可得：函數(shù)/'(%)在區(qū)間(-8,0)上存在唯一零點(diǎn)犯，且％1€(6,0),

使得f(小)=0;

所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(%)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

X2

因?yàn)閬V2為零點(diǎn)，所以/'(X2)=(x2-l)e+|a%2=0,

X2

所以)始=(l-x2)e,

-X2-X2eX2

所以/'(一冷)=(-x2-l)e++1a%2=(-x2-l)e+(l-x2)>

令9(%)=(-x-l)e-x+(l-x)ex,g'8=x(e-x-ex),

當(dāng)x>0時(shí),e-x-ex<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

因?yàn)間(0)=0,x2>0,所以g(%2)<。，

所以(—X2—1g一犯+(1—%2龍犯<0,所以/(—X2)<0,所以/Ql)=0>/(—%2)，

因?yàn)?■(>)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

所以<-x2，所以/+x2<0.

1

【變式1-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=x底-a(久>0),且f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)血,久2.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)證明：+%2>—?

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的最小值，再分段討論并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，結(jié)合

零點(diǎn)存在性定理推理即得.

(2)由(1)的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的意義可得%In久-Ina?%+1=0有兩個(gè)相異的解%i,%2，再構(gòu)造函數(shù)，借

助單調(diào)性確定％1,%2的取值區(qū)間，再結(jié)合分析法推理證明即得.

111_i1

【解答過(guò)程】⑴函數(shù)/Q)=xeJa,求導(dǎo)得/值)=(1-3底=一r晨，

當(dāng)0<%<1時(shí)，r(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則/'(x)min=y(l)=e-a.

當(dāng)aWe時(shí)，f(x)20恒成立，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

11

當(dāng)a>e時(shí),/(I)<0,/(a)=ae?—a=a(e?-1)>0,BP3x2G(l,a),使/(%2)=。，

/(，)=^ea—a=-~a-,令g(a)=ea—a2,求導(dǎo)得=ea—2a,

令9(a)=求導(dǎo)得0(a)=1一2>0,即火。)在(e,+8)上單調(diào)遞增，(p(d)></?(e)=ee-2e>0,

于是g<a)>0,函數(shù)g(a)二/一。2在(巳+8)上單調(diào)遞增，glxpro14>^(e)=ee-e2>0,

因此三工1€(，,1),使/(%i)=0,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+8).

iI

(2)由(1)知，％,二a有兩個(gè)相異的解％1/2，即方程In%+t=lna=:rin汽一Ina?%+1=0有兩個(gè)相異的解，

令函數(shù)h(%)=xlnx-lna?汽+1,求導(dǎo)得"(%)=In%+1-lna在(0,+8)上單調(diào)遞增，且加(￡)=0,

當(dāng)0</<￡時(shí)，6(%)<0,九(%)在(0,￡)單調(diào)遞減，當(dāng)/時(shí)，"(%)>0,%(%)在(/,+8)單調(diào)遞增，

不妨設(shè)％1<%2，顯然％iE(0(),%2E(*+8),

要證％1+%2>F，即證第2>~~xl>￡，即證/l(%2)>h(三一式1).

又九。。=九(%2),則即證/1(%1)>八年一小)，令函數(shù)尸(%)=/1(汽)一/1片一%),xe(O^),

貝忸(%)="(%)+加弓-%)=Inx+1—Ina+ln(^—%)+1—Ina=ln(^x—%2)+1點(diǎn)，

而爭(zhēng)一％2=—0—+^<9，則/口)<+lng=0,

因此函數(shù)F(%)在(0,￡)上單調(diào)遞減，即F(%)>F(J)=0,貝收。i)>h譚一巧)，

所以％1+相>與.

【變式1?3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=—X2+21n%,g(%)=<^(%2+2%).

(1)若曲線(xiàn)/(%)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)g(%)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)Q的值.

(2)若方程=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根治,久2，

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：%i+x2>2.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)，得到9(-1)=-4=-1,即可得解.

(2)①構(gòu)造函數(shù),令/i(x)=21nx-(a+l)%2-2ax+1,則/i(x)有兩個(gè)零點(diǎn)卬冷，進(jìn)行求解即可；

②由①得一l<a<0,則白>2,分析得出：需證假冷)一從高一久2)>。，進(jìn)行證明即可.

【解答過(guò)程】(1)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8)，r(x)=—2x+|,/(l)=—l/(l)=0,

所以曲線(xiàn)/(%)在點(diǎn)(1,-1)處的切線(xiàn)方程為y=-L

因?yàn)榍芯€(xiàn)y=-1與曲線(xiàn)g(x)=a(x2+2尤)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以g(-l)=-a=-1,故a=1.

(2)①方程g(x)-f(x)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根久i，%2，即方程21nx-(a+l)x2-2ax+1=0有兩個(gè)不相等

的正根X]X2.

令h(x)=21nx-(a+l)x2-2ax+1,則僅x)有兩個(gè)零點(diǎn)小,外.

h'(x)=|-2(a+l)x-2a=

因?yàn)榫?gt;0,x+1>0,所以〃(x)的正負(fù)取決于(a+1)%-1的正負(fù).

(i)當(dāng)aW-l時(shí)，〃(久)>0恒成立，故h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)h(x)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)a>-l時(shí)，由"(x)>0,解得久e(0,三)，由"(x)<0,解得xe(嗇，+8),

故函數(shù)h(x)在(0,9)上單調(diào)遞增，在(左,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)九⑴有兩個(gè)零點(diǎn)，所以從三)>0,

即21n5—(a+1),(a)一2-5+1>0,化簡(jiǎn)得21n(a+l)+熱<0.

x21

令m(%)=21n(%+1)+苗%>-1,貝牡'(%)=高？+4前>0，則函數(shù)血(%)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

又m(0)=0,則不等式21n(a+1)+后V0的解集為{。|一1<a<0}.

因?yàn)槭迨?=21nx—(a+l)x2—2ax+1<21nx—2ax+1,所以/i(e12)<21ne-2—1^+1=—3—1^<0.

又白>1，所以“x)在(e-2,a)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).

以下證明在(三,+8)內(nèi)也存在一個(gè)零點(diǎn)，

11_v

設(shè)9(%)=In%-%4-l,x>0,則"(%)=--1=—,

當(dāng)0<久VI時(shí)，0(%)>0,當(dāng)％>1時(shí)，。(切V0,即函數(shù)w(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

故0(%)在％=1處取得極大值，也是最大值，9(%)max=0(1)=。，

-1

所以當(dāng)且僅當(dāng)汽=1時(shí)，等號(hào)成立，r^lnx<x--,

即h(x)=21nx-(a+l)x2-2ax+1<2(%—+l)x2-2ax+1=%[2(l-a)-(a+l)x],

取力0>2/：)〉擊,則Zig)V%o[2(l-a)-(a+I)%。]<0.

所以假久)在(今,%0)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).

所以叔工)共有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,0).

②由①得一1<。<0,則《1>2,不妨設(shè)0<V，]V%2，

要證明％1+%2>2,只需證明％1+%2>[五，即證明％1>了五一%2.

因?yàn)榘刷旁?0,白)上單調(diào)遞增，且小e(。，言)，京-26(。,左)

所以只需證明僅%0>九(高一%2),又叔%1)二%(%2)，所以需證九(%2)-從總一第2)>。?

記F(%)="%)_八島一%)%W島,+8),

2

/7\244

則叫x)=〃(x)+/1\--x)=-4-ZZ^-4(a+1)=(a+1).x.(_|__x)-4(a+1)>(a+1).(_i_)^-4(a+1)=。，

所以F(x)在(今,+8)上單調(diào)遞增，又當(dāng)X一三時(shí)，尸0)-0,

則F(x)>0,所以尸(%2)>°，即”(刀2)——0)>0，所以％1+%2>*不故久I+》2>2.

【題型2極值點(diǎn)偏移：減法型】

【例2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=/一(2+a)%+aln%,aER.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

2

(2)設(shè)g(%)=亍一/(%)+%-(a+l)x-2a+(a-l)lnx,若g(%)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)式dx2,且％1<x2.

(i)證明：2a>e+l；

z??\、丁口口/4a2—2a—1

(11)證明：%2一%1V-.

【解題思路】(1)先確定定義域，求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行通分和因式分解后根據(jù)開(kāi)口方向、根的大小關(guān)系、根

與定義域的位置關(guān)系等信息進(jìn)行分類(lèi)討論得出導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況，從而得出函數(shù)的單調(diào)性.

(2)考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，(i)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值情況，確保函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2即

可證明2a>e+l；(ii)根據(jù)零點(diǎn)的分布和大小情況進(jìn)行考慮入手即可.

【解答過(guò)程】(1)由題f(x)的定義域?yàn)?0,+8),=2x-(2+Q+J=2-(2*+0=3一丁),

①若aWO,貝i]2x—a>0,當(dāng)0<%<1時(shí)，尸(乂)<0；當(dāng)x>l時(shí)，尸(嗎>0,

所以人嗎在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

②若a>。，令尸(%)=0,得%i=l,=(

當(dāng)0<a<2時(shí)，0<與<1,

當(dāng)。<*<]或%>i時(shí)，尸(%)>0；當(dāng)與<%<i時(shí)，尸(%)<0,

所以/CO在(0,9，(1，+8)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>2時(shí)，>1,

當(dāng)OV%<1或%時(shí)，/(%)>0；當(dāng)1<%<|時(shí)，f'(x)<0,

所以人嗎在(0,1),修,+8)上單調(diào)遞增，在(1,9上單調(diào)遞減;

當(dāng)a=2時(shí)，/。)=茲科20,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)等號(hào)成立，

所以八支)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)(i)由題意知g(x)=7■—Inx+x—2a,

(%-l)(ex+x)

所以g*)=^1」+I=(XT)U(XT)=

O'，X2XX2%2:

當(dāng)。<*<1時(shí)，g<x)<0；當(dāng)久>1時(shí)，g'(x~)>0,

所以g(x)在(o,i)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)min=9(1)=e+l-2a,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故e+1-2a<0,即2a>e+l.

(ii)下面找出兩個(gè)點(diǎn)機(jī)，n(0<m<1<n),使得g(ni)>0,g(n)>0,

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注意到晦罕=2a-白且0<--T<1<2a,于是考慮找點(diǎn)2a,--

下面我們證明：g(2a)>0,

①g(2a)>0=窘-ln(2a)>0,設(shè)zn(%)=曰—In](x>2),下證zn(%)>0,

方法1：設(shè)h(%)=e*-、2_%(%〉0),則斤(%)=ex-x-l,故h〃(%)=a-1>0,

所以“(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，得加(%)>〃(2)=e2-3>0,

所以/i(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

故九(%)>/i(2)=e2—4>0,即e">$2+雙%>2),

因此zn(%)=——Inx>-x+1—In%,

設(shè)〃(%)=1x+l-lnx(x>2),則if(%)==7>0,

所以“(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以“(%)>u(2)=2-ln2>0,

因此zn(%)=亍-In%>0,X2a>e+1>2,故ln(2a)>0,即g(2a)>0,

又/⑴VO,所以1V%2V2a.

方法2：易知加(%)=("U：—",設(shè)u(%)=(%-l)ex-x,貝！=xex-l>0,

所以u(píng)(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增,得u(%)>v(2)=e2—2>0,

所以？71(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，故771(%)>771(2)=y-ln2>0,

X2a>e+1>2,從而等一ln(2>>0,即g(2a)>0,

又f(l)V0,所以1V%2V2a.

②9(圭)=&T)e/Tn上+高-2a,

1_y

設(shè)t(%)=In%—%+1,則"(%)=-^-,

易知t(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以t(%)<t(l)=0,即In%<%-1,

11

又2a>e+l,即0V^—-<

2a—1e

所以也1占三白1一1,且en1—1>0,

Z.CL—1Z.CL—1

因此gQ1J—(2a—l)e2a-i—(2ci—1)—(2d—l)(e2a-i—1)>0,

又/(