2024-2025學年高考數(shù)學一輪復(fù)習：圓錐曲線題型拓展二（學生版+教師版）

第82講圓錐曲線題型拓展(二)

知識梳理

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；

3、其它不變關(guān)系.

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì).

22=X

橢圓3+方=l(a>b>0),經(jīng)過仿射變換,貝橢圓變?yōu)榱藞A/+y2=",

aCby

并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：

(1)點2(%,%)變?yōu)槭?

(2)直線斜率改變?yōu)椤?@3對應(yīng)直線的斜率比不變；

b

(3)圖形面積s變?yōu)?=3s，對應(yīng)圖形面積比不變；

b

(4)點、線、面位置不變(平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點依

然是中點，相切依然是相切等);

(5)弦長關(guān)系滿足網(wǎng)=，叵If,因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比

\AB\v1+r

不變

總結(jié)可得下表:

變換前變換后

22

方程2+*1（°>八。）x,2+y2=a2

橫坐標x'

.a

縱坐標yy=-y

b

1

斜率k=^邸bAya

AxK===k

Ax'Axb

面積5=—Ax-AyS^-Ax^Ay^-S

22b

弦長/=Jl+2

kAx2

r=Ji+k'^x'=、1+囁2Ax=、

b-Jl+F

不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點分線段的比

二、非對稱韋達問題

在一元二次方程"2+bx+c=o中，若△>()，設(shè)它的兩個根分別為再，/，則有根與

系數(shù)關(guān)系：玉+%=￡，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理

aa

%-引，才+君，4+工之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時，我們會遇到涉及占，%的不同系數(shù)

的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求一，39%記不一尤2或力西+4之類的結(jié)構(gòu),就相對較難地轉(zhuǎn)化

到應(yīng)用韋達定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消

去X或y,也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如

%+2%,,2網(wǎng)%+〃尤2%,至或3%%+2占一%之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子

x22%%2—玉+%2

是非對稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達”.

三、光學性質(zhì)問題

1、橢圓的光學性質(zhì)

從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點

(如圖1).

圖1圖2圖3圖4

2

【引理1】若點A,2在直線乙的同側(cè)，設(shè)點是直線Z上到A,2兩點距離之和最小的

點，當且僅當點P是點A關(guān)于直線L的對稱點A與點B連線A'B和直線L的交點.

【引理2】若點A,8在直線工的兩側(cè)，且點A,8到直線的距離不相等，設(shè)點尸是直線

L上到點A,8距離之差最大的點，即|PA-最大，當且僅當點尸是點A關(guān)于直線心的對

稱點A與點B連線A'B的延長線和直線L的交點.

【引理3】設(shè)橢圓方程為￡+±=ig>b>o）,月，凡分別是其左、右焦點，若點o

ao

在橢圓外，則DFV+DF2>2a-

2,雙曲線的光學性質(zhì)

從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個焦

點（如圖）.

【引理4】若點4,8在直線工的同側(cè)，設(shè)點是直線心上到A,8兩點距離之和最小的

點，當且僅當點p是點A關(guān)于直線L的對稱點A與點B連線A'B和直線L的交點.

【引理5】若點A,2在直線刀的兩側(cè)，且點A,2到直線的距離不相等，設(shè)點尸是直線

入上到點距離之差最大的點，即|尸4-依|最大，當且僅當點尸是點A關(guān)于直線L的對

稱點A與點B連線A'B的延長線和直線L的交點.

3

【引理6】設(shè)雙曲線方程為彳一,=15>0,6>0）,月，鳥分別是其左、右焦點，若

點￡）在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則。月-。居<2a.

3、拋物線的光學性質(zhì)

從拋物線的焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平

行（或重合）.反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點.

【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線C:無2=2pyQ0），?0,日為其焦點，,是過拋物

線上一點。（尤0,%）的切線，A,8是直線j上的兩點（不同于點°）,直線DC平行于了

軸.求證：ZFDA=ZCDB■（入射角等于反射角）

【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線C:y2=2px（p>0），/是拋物線的焦點，入射光線從

尸點發(fā)出射到拋物線上的點M，求證：反射光線平行于x軸.

4

yt

四、三點共線問題

證明三點共線問題常用方法是斜率法和向量法

必考題型全歸納

題型一：仿射變換問題

例1.（2024?全國?模擬預(yù)測）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而

又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將

0：提+*1伍”>0）由仿射變換得：/=/=則橢圓.+*1變?yōu)?/p>

x"+y'2=l,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為左'=：3然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計

b

22

算韋達定理算出圓與直線的關(guān)系.最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓C:a+%=1（。>6>0）

的離心率為《45，過右焦點用且垂直于x軸的直線與C相交于A、B兩點且恒口=鼠1,過

55

橢圓外一點p作橢圓C的兩條切線4、4且4,3切點分別為M、N.

⑴求證：點P的軌跡方程為Y+y2=9；

⑵若原點O到乙、4的距離分別為4、4,延長表示距離4、4的兩條直線，與橢圓C交

于y、w兩點，試求：原點o在1W邊上的射影Z所形成的軌跡與尸所形成的軌跡的面積

之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù).

例2.（2024?河北邯鄲?高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一

類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將

C：±+±=l（a>6>0）由仿射變換得：x'=±,y'=g,則橢圓二+耳=1變?yōu)?/p>

ababab

5

爐+產(chǎn)=1,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為左'=：左，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計

b

22

算韋達定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓。:*+斗=1（。>6>0）

的離心率為在，過右焦點后且垂直于x軸的直線與C相交于AB兩點且=過橢

55

圓外一點p作橢圓C的兩條切線4，4且4,峭切點分別為M，N.

（1）求證：點P的軌跡方程為Y+y2=9；

⑵若原點O到L，4的距離分別為4，%,延長表示距離4，&的兩條直線，與橢圓C交

于兩點，過。作OZLIW交iW于Z,試求：點Z所形成的軌跡與P所形成的軌跡的

面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù).

22

例3.（2024?全國?高三專題練習）"N是橢圓T+方=1（°>6>。）上一條不過原點且不垂

直于坐標軸的弦，尸是九W的中點，則％，A,2是該橢圓的左右頂點，

。是橢圓上不與42重合的點，則?怎.CD是該橢圓過原點。的一條

弦，直線C。，。。斜率均存在，貝2a久=.

變式L（2024?全國?高三專題練習）如圖，作斜率為六的直線/與橢圓±+y2=i交于

24

P,。兩點，且M在直線/的上方，則AM尸。內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為

6

22

變式2.（2024?全國?高三專題練習）尸是橢圓土+工=1上任意一點，。為坐標原點,

43

PO=2OQ,過點。的直線交橢圓于4,2兩點，并且=則APAB面積為

22

變式3.（2024?全國?高三專題練習）已知直線/與橢圓二+匕=1交于"，N兩點，當

42

k（）M，koN=，△MON面積最大，并且最大值為.記"（5,%）,可（%,%），當

△MON面積最大時，尤;+*=,犬+￡=.P是橢圓上一點，

OP=WM+]uON,當△MON面積最大時，川+〃2=.

變式4.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓C：f+尸=1左頂點為A,P,Q為橢圓C上兩

動點，直線PO交A。于E,直線。。交AP于。，直線。己。。的斜率分別為尢,占且

4&=-；，AD^ADF,AE^juEQ（4月是非零實數(shù)），求才+筋=.

題型二：非對稱韋達問題

22

例4.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓鼻+2=1（°>6>0）的左、右焦點是片、瑯,

ab

左右頂點是A、A,離心率是包，過工的直線與橢圓交于兩點P、0（不是左、右頂點）,

2

且MPQ的周長是4正，

直線4P與交于點M

（1）求橢圓的方程;

7

(2)⑴求證直線4P與4Q交點M在一條定直線I上;

(ii)N是定直線/上的一點，且PN平行于x軸，證明：糕

是定值.

例5.(2024?四川成都?高三樹德中學校考開學考試)已知點48分別為橢圓

22

E:|y+}=l(a＞6＞0)的左、右頂點，耳，耳為橢圓的左、右焦點，立=3福，尸為橢

圓上異于48的一個動點，月的周長為12.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知點/(3,0),直線尸河與橢圓另外一個公共點為Q,直線AP與BQ交于點N,求

證：當點尸變化時，點N恒在一條定直線上.

22

例6.(2024?陜西榆林?高二校聯(lián)考期末)已知橢圓C：※+方=1(°＞。＞0)的左、右焦點

分別為耳，F(xiàn)。,離心率e=；,P為C上一動點，△尸月居面積的最大值為坦.

⑴求C的方程；

(2)若過B且斜率不為。的直線/交橢圓于M,N兩點，4，4分別為橢圓的左、右頂點,

直線AM,4N分別與直線位》=1交于7,Q兩點，證明：四邊形。魂。為菱形.

丫2d1

變式5.(2024?全國?高三專題練習)已知橢圓C:1r+}=1(々＞人＞0)的離心率為《，短軸

8

長為2vL

(i)求橢圓c的方程；

(2)設(shè)8分別為橢圓C的左、右頂點，若過點P(4,0)且斜率不為0的直線/與橢圓C

交于N兩點，直線與2N相交于點0.證明：點0在定直線上.

22

變式6.(2024?吉林四平?高二?？茧A段練習)已知橢圓C言+方=1(°>6>0)的左、右頂

點分別為"1、M2,短軸長為2g,點C上的點尸滿足直線尸想、尸區(qū)的斜率之積為

_3

4,

⑴求C的方程；

(2)若過點(1,0)且不與》軸垂直的直線/與C交于A、B兩點，記直線加外、/28交于點

Q.探究：點Q是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由.

變式7.(2024?全國?高三專題練習)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓

C：￡+冬=l(a>b>0)的長軸長為4,且經(jīng)過點(瓦Ge),其中e為橢圓C的離心率.

ab

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A3,直線/過C的右焦點尸，且交C于兩點，若

直線AM與交于點T,求證：點T在定直線上.

9

22

變式8.(2024?吉林長春?高二東北師大附中?？计谀?已知橢圓C：1r+%=1,>。>0)

的離心率為差，H1,一是C上一點.

2I2)

(1)求C的方程.

(2)設(shè)A,8分別為橢圓C的左、右頂點，過點3(1,0)作斜率不為0的直線/,/與C交于

p,Q兩點，直線"與直線交于點M,記AP的斜率為尤，的斜率為七.證明：①

3為定值；②點加在定直線上.

22

變式9.(2024?廣西桂林?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C:「+2=l(a>6>0)的左、右焦點分

ab

別是68,點尸是橢圓。上任一點，若△尸片月面積的最大值為右，且離心率e=g.

⑴求C的方程；

(2)48為C的左、右頂點，若過點工且斜率不為0的直線交C于M,N兩點，證明：直

線AM與的交點在一條定直線上.

變式10.(2024?福建泉州?高二福建省泉州第一中學?？计谥?已知橢圓C：

，+；-Ma〉?！?。)的左、右頂點分別為A,4,離心率為孝，點尸,孝］在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程.

⑵若過點8(2,0)且斜率不為0的直線與橢圓C交于M,N兩點，已知直線4V與相

交于點G,試判斷點G是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理

由.

10

題型三：橢圓的光學性質(zhì)

例7.（2024?湖北孝感?高二大悟縣第一中學校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學性質(zhì)，

如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點現(xiàn)橢圓C

的焦點在無軸上，中心在坐標原點，從左焦點可射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點

F2,這束光線的總長度為4,且橢圓的離心率為也，左頂點和上頂點分別為4、B.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P在橢圓上，求線段8P的長度忸目的最大值及取最大值時點P的坐標；

（3）不過點N的直線/交橢圓C于跖N兩點,記直線/,AM,⑷V的斜率分別為左,。心，若

M勺+與）=1,證明：直線/過定點，并求出定點的坐標.

例8.（2024?全國?高三專題練習）橢圓的光學性質(zhì)，從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓

22

反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓C：亍+斗=1（0<6<2）,

用工為其左、右焦點.初是C上的動點，點若現(xiàn)叫+阿周的最大值為6.動直

線/為此橢圓C的切線，右焦點耳關(guān)于直線/的對稱點尸（%,乂），S=|3%+4y「24|,則橢

圓C的離心率為—；S的取值范圍為.

22

例9.（2024?山東青島?統(tǒng)考二模）已知橢圓石:=+==1（4>。>0）的左、右焦點分別為

ab

月、工，過B的直線與E交于點A、B,直線/為E在點A處的切線，點B關(guān)于/的對稱

,「5

點為由橢圓的光學性質(zhì)知，耳、A、M三點共線.若|從卻=。，竭\BF.=\于貝U

11

州--------

變式1L（2024?安徽六安?高三六安一中校考階段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性

質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已

22

知橢圓=+與=15>6>0）的左、右焦點為耳，工，尸為橢圓上不與頂點重合的任一點，/

ab

為△尸月鳥的內(nèi)心，記直線。尸，尸/（。為坐標原點）的斜率分別為尢，k2,若3左=2自，

則橢圓的離心率為.

,切線一-1

變式12.（2024?天津和平?高三天津一中校考階段練習）歐幾里得生活的時期人們就發(fā)現(xiàn)了

橢圓有如下的光學性質(zhì)：由橢圓一焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點?現(xiàn)有

22

一橢圓C:二+與=l（a>b>0）,長軸長為4,從一個焦點尸發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上

ab'

7

一點P反射之后恰好與尤軸垂直，且尸P=

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知A為該橢圓的左頂點，若斜率為上且不經(jīng)過點A的直線/與橢圓C交于M,N兩

點，記直線AM,AN的斜率分別為品k2,且滿足人（尢+&）=2.

①證明：直線/過定點；

②若|OM『+|ON『=5,求人的值.

12

22

變式13.（2024?全國?高二專題練習）已知橢圓C：=+多=1（°>6>0）上、下頂點分別

ab

為A,B,且短軸長為2后，7為橢圓上（除A1外）任意一點，直線AL7B的斜率之積為

-1,耳，尸2分別為左、右焦點.

⑴求橢圓C的方程.

（2）“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收

到百億光年外的電磁信號.在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學性質(zhì)，請以

上面的橢圓C為代表，證明：由焦點可發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光

線必經(jīng)過另一焦點（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切

線）

22

變式14.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓￡:1+3=1（。>6>0）的左、右焦點分別

ab

為的F2,過q的直線與E交于點A,3.直線/為E在點A處的切線，點3關(guān)于/的對稱點

\BE\5BF

為V.由橢圓的光學性質(zhì)知，耳，4”三點共線.若|A31=〃，r=亍，則^2^=（）

眼耳|7AFX

A.4B.1C.-D.-

2747

變式15.（多選題）（2024?全國?高三專題練習）橢圓有一條光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點出

發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個焦點.假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中

22

不會衰減，橢圓的方程為上+匕=1,則光線從橢圓一個焦點出發(fā)，到首次回到該焦點所

95

經(jīng)過的路程可能為（）

A.2B.8C.10D.12

變式16.（2024?全國?高三專題練習）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前

13

375年一公元前325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并

且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲

波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線/'表示與橢圓C的切線垂

直且過相應(yīng)切點的直線，已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點為耳

F2(C,0)(C>0),若由耳發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到可經(jīng)過的路程為8c.對于橢圓C

上除頂點外的任意一點尸，橢圓在點尸處的切線為/,耳在/上的射影為H,其中

|。叫=2"

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，過B作斜率為左化>0)的直線機與橢圓C相交于A,B兩點(點A在x軸上方).

點N是橢圓上異于A,B的兩點，MF2,叫分別平分和若AM%N

A]

外接圓的面積為等7r，求直線機的方程.

O

變式17.(2024?貴州黔西?高二統(tǒng)考期末)歐幾里得生活的時期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的

光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點.現(xiàn)

22

有橢圓C：?+^=l(a>b>0),長軸長為4,從橢圓C的一個焦點/發(fā)出的一條光線經(jīng)該

7

橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與尤軸垂直，且|尸耳=".

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)已知O為坐標原點，N為橢圓C的左頂點，若斜率為上且不經(jīng)過點/的直線/與橢圓C

14

交于M,N兩點，記直線AM,A7V的斜率分別為勺，k2,且滿足k(匕+&)=2,且

|OM「+|OAf=5,求上的值.

變式18.(2024?四川成都?川大附中?？级?橢圓的光學性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出

22

發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.現(xiàn)有一橢圓C:「+與=1(〃>6>0),長軸A4長為4,從

ab

一個焦點尸發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與X軸垂直，且尸尸=T.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點。為直線x=4上一點，且。不在x軸上，直線。4，與橢圓C的另外一個交點分

別為M,N,設(shè)△QA4,AQMN的面積分別為耳，S,,求今的最大值.

d2

變式19.(2024?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中)班級物理社團在做光學實驗時，發(fā)現(xiàn)了一個有

趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.

22

根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為三+匕=1,其左、右焦點分別是

1612

F、,F2,直線/與橢圓C切于點尸，且|尸周=5,過點尸且與直線/垂直的直線比與橢圓

15

B.叵

題型四：雙曲線的光學性質(zhì)

例10.（2024?上海浦東新?高二華師大二附中校考階段練習）圓錐曲線都具有光學性質(zhì)，如

雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是

發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲

線的部分，AP是它的一條對稱軸，廠是它的一個焦點，一光線從焦點尸發(fā)出，射到鏡面上

點、B,反射光線是3C,若/PEB=120。，ZFBC=90°,則該雙曲線的離心率等

于.

FP

例11.（2024?全國?高二專題練習）雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1,從雙曲線右焦點工發(fā)

出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點耳.我國首先研制成功的

“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部

22

分，如圖2,其方程為當=1,6,工分別為其左、右焦點，若從右焦點B發(fā)出的光線經(jīng)

3

雙曲線上的點A和點B反射后（口上在同一直線上），滿足-O—

⑴當|AB|=4時，求雙曲線的標準方程;

16

（2）過F2且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于S,T兩點，點M是線段ST的中點,

試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.

閨周

例12.（2024?山東煙臺??？寄M預(yù)測）圓錐曲線的光學性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計

中，例如從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長

線經(jīng)過另一個焦點.如圖，從雙曲線C的右焦點工發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反

射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點耳.已知入射光線名尸的斜率為-2,且鳥尸和反射光線

PE互相垂直（其中P為入射點），則雙曲線C的漸近線方程為.

變式20.（2024?江蘇南京?高二?？计谀﹫A錐曲線具有光學性質(zhì)，如雙曲線的光學性質(zhì)

是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延

長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它

的一條對稱軸，廠是它的一個焦點，一光線從焦點廠發(fā)出，射到鏡面上點B,反射光線是

BC,若/PEB=120。，ZFBC=90°,則該雙曲線的離心率等于（）

V5+1

B.V5C.V3+1

2

17

變式21.（多選題）（2024?高二單元測試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利

用了雙曲線的光學性質(zhì)：耳，乃是雙曲線的左、右焦點，從巴發(fā)出的光線機射在雙曲線右

支上一點P,經(jīng)點P反射后，反射光線的反向延長線過用；當P異于雙曲線頂點時，雙曲

22

線在點P處的切線平分/可尸居.若雙曲線C的方程為土-二=1,則下列結(jié)論正確的是

C.當“過點。（7,5）時，光線由月到戶再到Q所經(jīng)過的路程為13

D.若點T坐標為（1,0）,直線PT與C相切,則|尸若|=12

變式22.（2024?全國?高三專題練習）雙曲線具有光學性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線

經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線

22

氏3-谷=1（。>0*>0）的左、右焦點分別為片，耳，從此發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的42兩

ab

5.

—,ABBD=0,則E的離心率為（

D.75

~2~

18

變式23.（多選題）（2024?湖北?黃岡中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從

雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另

一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知

2

K，心分別為雙曲線C:》2-匕=1的左，右焦點，過C右支上一點4（元。,%）（毛＞1）作直

4

線/交X軸于點Mpko],交y軸于點N,則（）

A.C的漸近線方程為'=±2尢B.Zf；AM=ZF2AM

C.過點耳作耳垂足為H,則I?！俺狣.四邊形A隼明面積的最小值為

475

變式24.（多選題）（2024?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦

點出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.已知O

22

為坐標原點，耳，入分別是雙曲線C:二-匕=1的左、右焦點，過巴的直線交雙曲線C的

916

右支于N兩點，且"（無”必）在第一象限，AMRF2,△科區(qū)的內(nèi)心分別為小12,

其內(nèi)切圓半徑分別為卜馬，△西N的內(nèi)心為/.雙曲線C在M處的切線方程為

W-J4=l,則下列說法正確的有（）

9lo

A.點人、，均在直線x=3上B.直線M的方程為邛-鬢=1

9lo

22

變式25.（多選題）（2024?海南?海南中學?？既＃┮阎p曲線。：?-%=1僅＞0）的左

右焦點分別為耳，F(xiàn)2,雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從右焦點月發(fā)出的光線機交雙曲線右

支于點尸，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線”的反向延長線過左焦點耳，如圖所示.若雙曲線c

的一條漸近線的方程為恁-＞=0,則下列結(jié)論正確的有（）

19

412

B.若則|尸々川尸"|=12

c.若射線”所在直線的斜率為左，則左e-V3,V3

D.當〃過點M（8,5）時，光由月所經(jīng)過的路程為10

變式26.（多選題）（2024?貴州貴陽?高三貴陽一中?？茧A段練習）雙曲線具有如下光學性

質(zhì)：如圖，4，乃是雙曲線的左、右焦點，從工發(fā)出的光線機射在雙曲線右支上一點P,

經(jīng)點尸反射后，反射光線的反向延長線過耳；當P異于雙曲線頂點時，雙曲線在點P處的

22

切線平分/4PE.若雙曲線C的方程為2-!=1,則下列結(jié)論正確的是（）

lo9

B.當機工〃時，|尸耳卜|尸閭=36

C.當“過點。（7,5）時，光線由B到尸再到Q所經(jīng)過的路程為5

D.若點T坐標為（1,0）,直線PT與C相切，則「用=16

變式27.（多選題）（2024?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）費馬原理是幾何光學中的一條重要原

理，可以推導出雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反

20

射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的

3

切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知耳、8分別是以y=土為漸近線且過點

A（4后,3）的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點尸伉,%）&>4,%>0）處的

切線/交x軸于點。，則（）

A.雙曲線C的離心率為也B.雙曲線C的方程為［-4=1

4169

C.過點可作與KLPQ,垂足為K,則|。司=8D.點。的坐標為

題型五：拋物線的光學性質(zhì)

例13.（2024?甘肅白銀?高二統(tǒng)考開學考試）拋物線的光學性質(zhì)：經(jīng)焦點的光線由拋物線反

射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點處反射等效于在這點處切線的

反射），過拋物線犬=97上一點P作其切線交準線/于點PN11,垂足為N,拋物線

的焦點為歹，射線尸尸交/于點Q,若MP|=MQ.則,|MN|=.

例14.（2024?四川巴中?高三統(tǒng)考開學考試）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物

線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋

物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線y=4x的焦點為產(chǎn)，一條平行于x軸的光線從

點A（5,4）射出，經(jīng)過拋物線上的點B反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點C射出，則

忸C卜.

例15.（2024?全國?高二專題練習）根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)

拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線V=2x,若從點。（3,2）發(fā)射平行

21

于X軸的光射向拋物線的/點，經(jīng)N點反射后交拋物線于8點，則|48|=.

變式28.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光

線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線C：產(chǎn)=2彳，

一條光線從點尸（4,2）沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點經(jīng)點M反射后與

C交于另一點N,則△MON的面積為.

變式29.（2024?江蘇常州?高二常州市北郊高級中學?？计谥校佄锞€有光學性質(zhì)，即由其

焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所

示，今有拋物線V=2px一光源在點處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋

物線的軸的方向射向拋物線上的點尸，反射后又射向拋物線上的點。再反射后又沿平行

于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線/：2》-4、-17=0上的點乂再反射后又射回點

M,設(shè)尸，0兩點的坐標分別是（芯,無），（不2，兀）.

⑴證明：

（2）求拋物線方程.

變式30.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光

線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線

C：V=2px（p>0）,一條光線從點P（4,2）沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點

22

___,.3

M,經(jīng)點M反射后與C交于另一點N.若OM?ON=-二,則△MON的面積為（）

4

5535

A.—B.—C.-D.一

8422

變式31.（2024?湖南長沙?高三長郡中學校聯(lián)考階段練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦

點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物

線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線丁=4x的焦點為歹,

O為坐標原點，一束平行于x軸的光線4從點「（，”,同（r<4時射入，經(jīng)過拋物線上的點

A仿，X）反射后，再經(jīng)拋物線上另一點3（%，%）反射后，沿直線4射出，則直線4與4間的

距離最小值為（）

A.2B.4C.8D.16

變式32.（2024?全國?高二專題練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射

后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反

射后必過拋物線的焦點.已知拋物線V=16x的焦點為歹，一條平行于x軸的光線從點

P卜,4板）射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則APAB的

面積為（）

A.4B.6夜C.1272D.2472

變式33.（2024?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學性

質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲

而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截

得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋

物線C的方程為y2=8x,平行于x軸的光線從點M（12,2）射出，經(jīng)過C上的點A反射后，

再從C上的另一點B射出，則|M8|=（）

23

A.6B.8C.2729D.29

變式34.（多選題）（2024?遼寧沈陽?東北育才學校校考一模）如圖，拋物線有如下光學性

質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線

V=4x的焦點為月一束平行于x軸的光線自從點M（3,1）射入，經(jīng)過拋物線上的點

尸（%，州）反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點。（馬，必）反射，沿直線4射出，則下列結(jié)論中正

C.\PQ\=~D.乙與乙之間的距離

為5

變式35.（多選題）（2024?福建福州?福建省福州第一中學校考模擬預(yù)測）拋物線有如下光

學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，

平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于x軸的光

線4從點M射入，經(jīng)過拋物線C:/=8x上的點p反射，再經(jīng)過C上另一點。反射后，沿

直線4射出，經(jīng)過點N,則（）

24

A.若人的方程為y=2,則|PQ|=8

B.若乙的方程為y=2,S.ZPQM=ZMQN,則M（13,2）

C.分別延長PO,NQ交于點。，則點。在C的準線上

D.拋物線C在點P處的切線分別與直線嚇，4所成角相等

變式36.（多選題）（2024?湖南長沙?長沙一中?？寄M預(yù)測）拋物線有如下光學性質(zhì)：由

其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于

拋物線對