專題02 函數(shù)基本概念與基本初等函數(shù)-2020-2024年五年高考1年模擬數(shù)學真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題02函數(shù)基本概念與基本初等函數(shù)考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1函數(shù)基本概念（5年幾考）2024：指數(shù)函數(shù)的判定與求值；分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；2023：函數(shù)的單調(diào)性；具體函數(shù)的定義域2022：對數(shù)函數(shù)的求值；分段函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)；2021：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；具體函數(shù)值域；2020：函數(shù)圖像的運用；函數(shù)作為高中數(shù)學內(nèi)容的一條主線,對整個高中數(shù)學有著重要的意義,題目分布在選擇題和填空題居多,以基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，以函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的定義域、值域,函數(shù)的表示方法、圖象及性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)。常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等必備知識,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想.考查學生運算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學建模等關(guān)鍵能力,尤其加大了對數(shù)學建模的考查力度,根據(jù)實際問題,建立函數(shù)模型或用已知模型解決實際問題?？键c2基本初等函數(shù)（5年幾考）2020-2024：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的互化，指對性質(zhì)的運用考點01函數(shù)基本概念1．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳析】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．3．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D〖祥解〗根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項.【詳析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D4．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.5．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳析】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【『點石成金』】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.6．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1〖祥解〗根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳析】函數(shù)，所以.故答案為：17．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③〖祥解〗先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳析】依題意，，當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當時，當時，；當時，顯然取得最大值；當時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，此時，，故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.8．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】〖祥解〗根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳析】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：9．（2020·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】〖祥解〗根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳析】由題意得，故答案為：【『點石成金』】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1〖祥解〗根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳析】解：若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1考點02基本初等函數(shù)11．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳析】由題意得，則，即，所以.故選：D.12．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.1．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，若，且，則下面結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)基本不等式判斷，根據(jù)指數(shù)的運算判斷.【詳析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，又，所以，故正確；因為，，所以，又，所以上式取不到等號，所以，故正確；，，，，，故錯誤；，，故正確.故選：C.2．（2024·北京西城·三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的定義和基本函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷即可.【詳析】對于A，定義域為，因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，所以A錯誤，對于B，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上遞增，所以B錯誤，對于C，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上有增區(qū)間也有減區(qū)間，所以C錯誤，對于D，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，因為在上遞增，所以在上遞減，所以D正確，故選：D3．（2024·北京海淀·二模）設(shè)函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)圖象上一點，若集合只有1個元素，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)性質(zhì)的定義，結(jié)合各個函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.【詳析】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)，則的圖象不能在過點的直線的上方，且這樣的直線只有一條；對A：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，過點的直線有無數(shù)條都滿足題意，故A錯誤；對B：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故B錯誤；對C：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故C錯誤；對D：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，存在唯一的一條過點的直線，即，滿足題意，故D正確.故選：D.4．（2024·北京海淀·二模）函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且沒有極值點 B．偶函數(shù)，且有一個極值點C．奇函數(shù)，且沒有極值點 D．奇函數(shù)，且有一個極值點【答案】B〖祥解〗根據(jù)函數(shù)奇偶性定義計算以及極值點定義判斷即可.【詳析】當時，，則，當時，，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)有一個極大值點.

故選：B.5．（2024·北京朝陽·二模）已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳析】當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，無最小值，根據(jù)題意，存在最小值，所以，即.故選：A.6．（2024·北京朝陽·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)已知的各個函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.【詳析】是奇函數(shù)，它在區(qū)間上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以選項A是錯誤的；是偶函數(shù)，所以選項B是錯誤的；既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項C是錯誤的；滿足既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)，所以選項D是正確的；故選：D.7．（2024·北京通州·二模）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷A、D錯誤；由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)可得B正確；由正切函數(shù)的定義域可得C錯誤.【詳析】A：因為，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；B：因為的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，又在恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；C：由正切函數(shù)的定義域可得函數(shù)在上不連續(xù)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯誤；D：因為，所以不是奇函數(shù)，故D錯誤；故選：B.8．（2023·上海寶山·一模）函數(shù)的定義域是.【答案】〖祥解〗根據(jù)已知，可得，解出不等式即可得到結(jié)果.【詳析】要使函數(shù)有意義，則應(yīng)滿足，即該不等式等價于，解得.所以，函數(shù)的定義域是.故答案為：.9．（23-24高三上·北京海淀·階段練習）已知函數(shù)，則.【答案】7〖祥解〗根據(jù)解析式代入即可求解.【詳析】因為，所以.故答案為：710．（2024·北京通州·三模）已知函數(shù)的值域是，若，則m的取值范圍是．【答案】〖祥解〗先判斷出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，然后作出與在上的圖象，求出在上的值域，再結(jié)合圖象可求得結(jié)果.【詳析】當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，為，作出與在上的圖象如圖所示：當，時，，此時，此時，因為的值域為，則時，必有解，即，解得，由圖知,故答案為：【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：此題考查函數(shù)的綜合問題，考查分段函數(shù)，考查由函數(shù)的值域確定參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.11．（2024·北京朝陽·二模）設(shè)為正整數(shù)，已知函數(shù)，，.當時，記，其中.給出下列四個結(jié)論：①，；②，；③若，則；④若，則.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①③〖祥解〗依據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性逐項計算可判斷每個選項的正確.【詳析】對于①，因為，所以.又在上單調(diào)遞增，所以，所以，故①正確；對于②，當時，，，所以此時，故②錯誤；對于③，當時，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且關(guān)于直線對稱.又有，且和在數(shù)軸上關(guān)于對稱，所以，，.所以.而在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又有.所以，.所以.這就得到，，，所以此時，故③正確；對于④，當時，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以，.所以.所以此時，故④錯誤.故答案為：①③.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題是新定義題型，弄清題意與每個函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，利用單調(diào)性比較數(shù)的大小去絕對符號，運算量大，細心是關(guān)鍵.12．（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)的定義域為．【答案】〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的定義域有意義，解不等式求解.【詳析】根據(jù)題意可得,解得故定義域為.故答案為：13．（2024·北京房山·一模）若對任意，函數(shù)滿足，且當時，都有，則函數(shù)的一個解析式是．【答案】（答案不唯一）〖祥解〗根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳析】由題意，可取，函數(shù)是減函數(shù)，滿足時，都有，因為，所以函數(shù)滿足題意.故答案為：.（答案不唯一）14．（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則；的取值范圍是.【答案】〖祥解〗結(jié)合分段函數(shù)與絕對值函數(shù)的性質(zhì)，可得，且時，關(guān)于對稱，即可得解.【詳析】由，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有，，，，，；由，則，由時，，則關(guān)于對稱，故，則.故答案為：；.專題02函數(shù)基本概念與基本初等函數(shù)考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1函數(shù)基本概念（5年幾考）2024：指數(shù)函數(shù)的判定與求值；分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；2023：函數(shù)的單調(diào)性；具體函數(shù)的定義域2022：對數(shù)函數(shù)的求值；分段函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)；2021：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；具體函數(shù)值域；2020：函數(shù)圖像的運用；函數(shù)作為高中數(shù)學內(nèi)容的一條主線,對整個高中數(shù)學有著重要的意義,題目分布在選擇題和填空題居多,以基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，以函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的定義域、值域,函數(shù)的表示方法、圖象及性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)。常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等必備知識,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想.考查學生運算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學建模等關(guān)鍵能力,尤其加大了對數(shù)學建模的考查力度,根據(jù)實際問題,建立函數(shù)模型或用已知模型解決實際問題?？键c2基本初等函數(shù)（5年幾考）2020-2024：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的互化，指對性質(zhì)的運用考點01函數(shù)基本概念1．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳析】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．3．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D〖祥解〗根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項.【詳析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D4．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.5．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳析】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【『點石成金』】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.6．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1〖祥解〗根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳析】函數(shù)，所以.故答案為：17．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③〖祥解〗先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳析】依題意，，當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當時，當時，；當時，顯然取得最大值；當時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，此時，，故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.8．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】〖祥解〗根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳析】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：9．（2020·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】〖祥解〗根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳析】由題意得，故答案為：【『點石成金』】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1〖祥解〗根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳析】解：若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1考點02基本初等函數(shù)11．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳析】由題意得，則，即，所以.故選：D.12．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.1．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，若，且，則下面結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)基本不等式判斷，根據(jù)指數(shù)的運算判斷.【詳析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，又，所以，故正確；因為，，所以，又，所以上式取不到等號，所以，故正確；，，，，，故錯誤；，，故正確.故選：C.2．（2024·北京西城·三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的定義和基本函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷即可.【詳析】對于A，定義域為，因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，所以A錯誤，對于B，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上遞增，所以B錯誤，對于C，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上有增區(qū)間也有減區(qū)間，所以C錯誤，對于D，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，因為在上遞增，所以在上遞減，所以D正確，故選：D3．（2024·北京海淀·二模）設(shè)函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)圖象上一點，若集合只有1個元素，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)性質(zhì)的定義，結(jié)合各個函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.【詳析】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)，則的圖象不能在過點的直線的上方，且這樣的直線只有一條；對A：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，過點的直線有無數(shù)條都滿足題意，故A錯誤；對B：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故B錯誤；對C：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故C錯誤；對D：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，存在唯一的一條過點的直線，即，滿足題意，故D正確.故選：D.4．（2024·北京海淀·二模）函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且沒有極值點 B．偶函數(shù)，且有一個極值點C．奇函數(shù)，且沒有極值點 D．奇函數(shù)，且有一個極值點【答案】B〖祥解〗根據(jù)函數(shù)奇偶性定義計算以及極值點定義判斷即可.【詳析】當時，，則，當時，，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)有一個極大值點.

故選：B.5．（2024·北京朝陽·二模）已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳析】當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，無最小值，根據(jù)題意，存在最小值，所以，即.故選：A.6．（2024·北京朝陽·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)已知的各個函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.【詳析】是奇函數(shù)，它在區(qū)間上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以選項A是錯誤的；是偶函數(shù)，所以選項B是錯誤的；既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項C是錯誤的；滿足既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)，所以選項D是正確的；故選：D.7．（2024·北京通州·二模）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷A、D錯誤；由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)可得B正確；由正切函數(shù)的定義域可得C錯誤.【詳析】A：因為，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；B：因為的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，又在恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；C：由正切函數(shù)的定義域可得函數(shù)在上不連續(xù)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯誤；D：因為，所以不是奇函數(shù)，故D錯誤；故選：B.8．（2023·上海寶山·一模）函數(shù)的定義域是.【答案】〖祥解〗根據(jù)已知，可得，解出不等式即可得到結(jié)果.【詳析】要使函數(shù)有意義，則應(yīng)滿足，即該不等式等價于，解得.所以，函數(shù)的定義域是.故答案為：.9．（2