高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟類-上冊第2版）課件：不定積分的概念與性質(zhì)

不定積分不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、不定積分的幾何意義三、基本不定積分公式四、不定積分的性質(zhì)五、小結(jié)

在中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了求給定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的方法，本章主要討論其反問題，即求某一區(qū)間的一個未知函數(shù)，使其在該區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)恰好是已知函數(shù),這種由已知導(dǎo)數(shù)求原來函數(shù)的逆運算稱為不定積分，本章將介紹不定積分的概念及其各種計算方法.如果，則稱f(x)為F(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么F(x)為f(x)的什么呢？

在區(qū)間(-1,1)中一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1設(shè)在區(qū)間I上，有或則稱，F(xiàn)(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).因此，在(-1,1)中，是的一個原函數(shù).

是比如:的原函數(shù).

在整個實數(shù)集，因此，在是的原函數(shù).問題：(1)在什么條件下，一個函數(shù)存在原函數(shù)？(2)如果f(x)有原函數(shù)，原函數(shù)是唯一的嗎？

若不唯一，原函數(shù)之間有什么關(guān)系？簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).如果f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)一定在區(qū)間I上存在原函數(shù).

定理1（原函數(shù)存在定理）

注：由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的，因此，初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).定理2設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則（1）F(x)+C也為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù).（2）f(x)在區(qū)間I上的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).證（1）由于F(x)為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，即成立.因而

由原函數(shù)的定義知，對任意的常數(shù)C,F(x)+C也為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù).定理2設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則（1）F(x)+C也為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù).（2）f(x)在區(qū)間I上的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).證令（2）設(shè)F(x)和都為f(x)在區(qū)間I上的一原函數(shù)，則有則有因此，必有常數(shù)，不妨記為C,則

定理2說明，如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，那么原函數(shù)將有無窮多個，并且彼此之間相差一個常數(shù).定義2在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為

函數(shù)f(x)的不定積分，記作任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量由定義可知，若F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則f(x)的不定積分可以表示為可見，一個函數(shù)的不定積分是一族函數(shù).例1求解：因為則，是x的一個原函數(shù)，因此例2求解：因為因此二、不定積分的幾何意義若F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則稱y=

F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線.顯然，

f(x)的不定積分在幾何上表示f(x)的積分曲線族，它可由f(x)的某一條積分曲線y=F(x)沿著y軸方向上下平移而得到.曲線族中的每一條積分曲線橫坐標(biāo)相同點處的切線相互平行.例3設(shè)曲線通過點(0,0)

，且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)2倍，求此曲線.解：設(shè)所求曲線為y=f(x),(x,y)為曲線上任意一點，由導(dǎo)數(shù)幾何意義和題設(shè)條件有所以，將條件x=0,y=0代入，有C=0因此，所求曲線方程為三、基本不定積分公式根據(jù)求導(dǎo)公式可得出積分公式.K為常數(shù)；例5求解由不定積分的基本公式知，例4求解由不定積分的基本公式知，四、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1或性質(zhì)2或性質(zhì)3性質(zhì)4微分運算(d)和不定積分()的運算是互逆的！d使函數(shù)還原，d使函數(shù)相差一個常數(shù).例6求解例7求解例8求解例10求例9求解解例12求