數(shù)學(xué)學(xué)案：算法的含義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.1算法的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．知道算法的含義和特征．2．體會(huì)算法思想，會(huì)用自然語(yǔ)言敘述算法.重點(diǎn)：會(huì)用自然語(yǔ)言敘述算法．難點(diǎn):了解算法的含義和特征,體會(huì)算法的思想.1．算法的概念一般而言,對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱(chēng)為算法．預(yù)習(xí)交流1算法與數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？提示：(1)區(qū)別：算法是解決某一類(lèi)問(wèn)題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱(chēng)．它可以理解為數(shù)學(xué)中的“通法通解”；而解法是解決某一個(gè)具體問(wèn)題的過(guò)程，是具體的解題過(guò)程．(2）聯(lián)系：它們是一般與特殊的關(guān)系,也是抽象與具體的關(guān)系．算法的獲取要借助一般意義上具體問(wèn)題求解的方法，而任何一個(gè)具體問(wèn)題都可利用這類(lèi)問(wèn)題的一般算法解決．2．算法的特征算法是指使用一系列運(yùn)算規(guī)則能在有限步驟內(nèi)求解某類(lèi)問(wèn)題，其中的每條規(guī)則必須是明確定義的、可行的．算法從初始步驟開(kāi)始，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟,從而組成一個(gè)步驟序列，序列的終止表示問(wèn)題得到解答或指出問(wèn)題沒(méi)有解答．預(yù)習(xí)交流2求解某一類(lèi)問(wèn)題的算法一定是唯一的嗎？提示:不一定．因?yàn)橐患虑橥皇侵挥幸粋€(gè)解決方案，同樣,對(duì)于某一類(lèi)問(wèn)題，它的算法也可以是多樣的．如二元一次方程組的解法就有加減消元法和代入消元法兩種，因此求解此類(lèi)問(wèn)題的算法就不是唯一的．預(yù)習(xí)交流3(1）下面的結(jié)論正確的是__________．（填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào))①一個(gè)程序的算法步驟是可逆的；②一個(gè)算法可以無(wú)止境地運(yùn)算下去；③完成一件事情的算法有且只有一種；④算法的步驟是有限的．提示：由算法的概念及特征知①②③錯(cuò)，④正確．（2)寫(xiě)出解方程ax＋b＝0(a≠0)的一個(gè)算法的過(guò)程如下：第一步將不含x的常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，并改變常數(shù)項(xiàng)的符號(hào);第二步__________.提示：根據(jù)解一元一次方程的方法與步驟即可得到答案為方程兩邊同除以a.一、算法的含義下列關(guān)于算法的說(shuō)法，正確的有__________．①求解某一類(lèi)問(wèn)題的算法是唯一的；②算法必須在有限步驟操作之后停止；③算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果．思路分析：本題給出了有關(guān)算法的四種說(shuō)法,找出其中正確的說(shuō)法．解答時(shí)，要根據(jù)算法的概念和特征逐一判斷．解析:由算法的概念和特征可知②③④正確，但解決某一類(lèi)問(wèn)題的算法不一定是唯一的，故①錯(cuò)．答案：②③④1．下列語(yǔ)句中是算法的有__________個(gè)．①?gòu)臐?jì)南到巴黎,可以先乘火車(chē)到北京，再坐飛機(jī)抵達(dá);②利用公式S＝eq\f（1,2)ah，計(jì)算底為1、高為2的三角形的面積；③eq\f（1，2）x＞2x＋4；④求M(1,2)與N(－3,－5)兩點(diǎn)連線所在直線的方程，可先求直線MN的斜率，再利用點(diǎn)斜式求得方程．答案：3解析：因?yàn)樗惴ㄊ菫榻鉀Q某類(lèi)問(wèn)題而設(shè)計(jì)的一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過(guò)這些步驟能夠有效地解決問(wèn)題，顯然四個(gè)語(yǔ)句中，①②④都是算法，③不是算法．2．下列對(duì)算法的理解不正確的是__________．①算法有一個(gè)共同特點(diǎn)就是對(duì)一類(lèi)問(wèn)題都有效(而不是個(gè)別問(wèn)題)②算法要求是一步步執(zhí)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果③算法一般是機(jī)械的，有時(shí)要進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法④解決某一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，算法不同，結(jié)果不同答案：④解析：根據(jù)算法的概念知①②③正確;④中解決某一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，算法不同，但結(jié)果相同．算法的主要特征:（1)有窮性：一個(gè)算法的步驟是有限的,它應(yīng)在有限步操作之后停止，而不能是無(wú)限的．(2）確定性:算法的每一步應(yīng)該是明確的，不能模棱兩可，即經(jīng)過(guò)一步操作后能得出確定的結(jié)果．(3)有序性：算法的步與步之間是環(huán)環(huán)相扣的，即“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的繼續(xù)．（4）不唯一性：對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法．二、算法的設(shè)計(jì)試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求底面邊長(zhǎng)為4eq\r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為5的正四棱錐的體積．思路分析：由底邊長(zhǎng)可求底面積，由底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)可求出正四棱錐的高，再由棱錐的體積公式求得體積．也可由高與側(cè)棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的關(guān)系及底面積與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系,直接得到體積與底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)的關(guān)系，從而直接求解．解法一：第一步取a=4eq\r(2），l=5；第二步計(jì)算；第三步計(jì)算；第四步計(jì)算S=a2；第五步計(jì)算V=Sh；第六步輸出運(yùn)算結(jié)果．解法二：第一步取a=4eq\r(2),l=5；第二步計(jì)算V=a2·；第三步輸出運(yùn)算結(jié)果．1．已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)是89,數(shù)學(xué)成績(jī)是96，外語(yǔ)成績(jī)是99，求他的總分和平均分的一個(gè)算法如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整:第一步取A＝89，B＝96,C＝99；第二步計(jì)算總分S＝__________；第三步計(jì)算平均分M＝__________;第四步輸出S，M.答案：A＋B＋Ceq\f(S,3)解析：總分S＝A＋B＋C，平均分M＝eq\f(S，3）.2．已知點(diǎn)P0（x0，y0)和直線l：Ax＋By＋C＝0,求點(diǎn)到直線距離的一個(gè)算法有如下幾步：①輸入點(diǎn)的坐標(biāo)x0，y0；②計(jì)算z1＝Ax0＋By0＋C；③計(jì)算z2＝A2＋B2；④輸入直線方程的系數(shù)A，B和常數(shù)C；⑤計(jì)算d＝eq\f（|z1｜，\r（z2））；⑥輸出d的值．其正確的順序?yàn)開(kāi)_________．答案:①④②③⑤⑥解析:利用點(diǎn)到直線的距離公式d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜,\r（A2＋B2）)即可得解．3．試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求表面積為16π的球的體積．解：第一步取S＝16π；第二步計(jì)算R＝eq\r(\f（S，4π))（S＝4πR2)；第三步計(jì)算V＝eq\f（4,3)πR3；第四步輸出運(yùn)算結(jié)果．(1）設(shè)計(jì)算法的步驟為：①認(rèn)真分析問(wèn)題，找出解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法；②借助有關(guān)的變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述；③將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干步驟；④用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來(lái),即為該具體問(wèn)題的算法．（2）設(shè)計(jì)算法要做到以下幾點(diǎn)：①寫(xiě)出的算法必須能解決一類(lèi)問(wèn)題，并且能夠重復(fù)使用；②要使算法盡量簡(jiǎn)單，步驟盡量少；③要保證算法正確,且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行．三、算法的應(yīng)用給出分段函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x,x≥1,，x2＋1，0≤x<1,））請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法，輸入任意非負(fù)實(shí)數(shù)x0，輸出相應(yīng)的f（x0)的值．思路分析：題中給出了分段函數(shù)的解析式，要求設(shè)計(jì)算法，給出任意非負(fù)實(shí)數(shù)x0時(shí),求相應(yīng)的函數(shù)值．設(shè)計(jì)算法時(shí),應(yīng)有輸入和輸出,并要對(duì)輸入的x0的值進(jìn)行判斷．解：第一步輸入x0；第二步若x0＜0,輸出“輸入的數(shù)據(jù)有誤"，結(jié)束算法；否則執(zhí)行第三步；第三步若x0≥1，則y＝2x0；否則，y＝xeq\o\al（2,0)＋1;第四步輸出y的值，結(jié)束算法．1．寫(xiě)出求過(guò)兩點(diǎn)M（－2，－1)，N(2,3）的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的一個(gè)算法．解:第一步取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3;第二步計(jì)算eq\f（y－y1，y2－y1）＝eq\f(x－x1,x2－x1）；第三步在第二步結(jié)果中令x＝0得到y(tǒng)的值m，得直線與y軸交點(diǎn)(0，m);第四步在第二步結(jié)果中令y＝0得到x的值n,得直線與x軸交點(diǎn)(n,0)；第五步計(jì)算S＝eq\f（1，2）｜m｜｜n|；第六步輸出運(yùn)算結(jié)果S的值．2．給出一個(gè)判斷點(diǎn)P（x0，y0)是否在直線y＝x－1上的一個(gè)算法．解:第一步將點(diǎn)P(x0，y0）的坐標(biāo)代入y＝x－1；第二步若等式成立,則輸出“點(diǎn)P(x0，y0)在直線y＝x－1上"；若等式不成立，則輸出“點(diǎn)P(x0，y0)不在直線y＝x－1上”，結(jié)束算法．(1)輸入自變量的值,設(shè)計(jì)算法求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值時(shí)，如果是分段函數(shù)，那么在設(shè)計(jì)算法時(shí),要對(duì)輸入的自變量的值根據(jù)已知條件去判斷，分類(lèi)求值．(2）算法是解決某一類(lèi)問(wèn)題的步驟,要善于從特殊問(wèn)題的解決方法中總結(jié)、歸納出一般問(wèn)題的解決方法及步驟．通過(guò)解決具體的實(shí)際問(wèn)題提高分析、解決問(wèn)題的能力．1．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是__________．①整數(shù)的加法運(yùn)算法則是一個(gè)算法；②發(fā)電子郵件的操作程序是一個(gè)算法；③從徐州乘火車(chē)到南京，從南京坐飛機(jī)到海南是一個(gè)算法；④求所有能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12，…是一個(gè)算法．答案：3解析:①②③正確．由算法的有窮性知④不正確．2．對(duì)于算法：第一步輸入n;第二步判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿(mǎn)足條件;若n＞2,則執(zhí)行第三步；第三步依次從2到n－1檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n,則執(zhí)行第四步；若能整除n，則執(zhí)行第五步;第四步輸出n；第五步結(jié)束．滿(mǎn)足條件的n是__________．（填序號(hào)）①質(zhì)數(shù)②奇數(shù)③偶數(shù)④約數(shù)答案:①解析：這個(gè)算法通過(guò)對(duì)2到n－1逐個(gè)驗(yàn)證，看是否有其他約數(shù),依此來(lái)判斷其是否為質(zhì)數(shù)．3．早上從起床到出門(mén)需要洗臉?biāo)⒀溃?min)、刷水壺（2min)、燒水(8min）、泡面（3min）、吃飯（10min)、聽(tīng)廣播(8min）這幾個(gè)步驟．下列選項(xiàng)中最好的一種算法是__________（填序號(hào))．①S1洗臉?biāo)⒀馈2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽(tīng)廣播．②S1刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5聽(tīng)廣播．③S1刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播．④S1吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播、S2泡面、S3燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S4刷水壺．答案：③解析:可按兩個(gè)原則：一是合理，二是節(jié)約時(shí)間，不難看出③是最合適的．4．寫(xiě)出求解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,4x＋5y＝13）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①,②）)的一個(gè)算法．解：用消元法，算