數(shù)學學案：平面向量基本定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2向量的分解與向量的坐標運算2.2。1平面向量基本定理基礎知識基本能力1．了解平面向量基本定理及其意義．（重點、難點）2．理解直線的向量參數(shù)方程式，尤其是線段中點的向量表達式．(易錯點)1．會利用平面向量基本定理和向量的線性運算進行向量之間的相互表示．（重點、難點)2．在向量之間的線性表示中，能靈活地選好基底進行表示．(難點、易錯點)3．能正確地應用線段中點的向量表達式來解決與中線、中位線等相關的幾何問題．(重點）1．平面向量基本定理如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一的一對實數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2。我們把不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為｛e1，e2｝．a(chǎn)1e1＋a2e2叫做向量a關于基底{e1，e2}的分解式．平面向量的基底唯一嗎？答:不唯一，只要兩個向量不共線，都可以作為平面向量的一組基底．【自主測試1－1】如果e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底,那么()A．對平面α中任一向量a,使a＝a1e1＋a2e2的實數(shù)a1,a2有無數(shù)對B．對實數(shù)a1，a2，a1e1＋a2e2不一定在平面α內(nèi)C．空間任一向量a可以表示為a＝a1e1＋a2e2，這里a1,a2是實數(shù)D．若實數(shù)a1，a2使a1e1＋a2e2＝0,則a1＝a2＝0答案：D【自主測試1－2】在四邊形ABCD中，設eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a,eq\o（AD，\s\up6（→）)＝b，用基底a，b表示eq\o(DB,\s\up6（→））＝__________。解析：eq\o(DB,\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→))－eq\o（AD,\s\up6(→））＝a－b.答案：a－b2．直線的向量參數(shù)方程式已知A,B是直線l上任意兩點,O是l外一點，則對于直線l上任一點P，存在實數(shù)t，使eq\o（OP，\s\up6（→)）關于基底{eq\o（OA，\s\up6（→)），eq\o（OB，\s\up6(→））}的分解式為eq\o（OP，\s\up6(→））＝(1－t）eq\o(OA，\s\up6(→）)＋teq\o(OB，\s\up6（→))，這個等式叫做直線l的向量參數(shù)方程式，其中實數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．當t＝eq\f（1，2)時，P為線段AB的中點，則eq\o（OP,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）(eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（OB,\s\up6(→)))．這是線段AB的中點的向量表達式．名師點撥上述的向量參數(shù)方程式與P，A，B三點共線的條件是完全一致的，學習了向量的正交分解后，可以進一步地認識它與解析幾何中直線方程的聯(lián)系．【自主測試2】M為線段AB的中點，O為平面上任一點，eq\o(OM，\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6（→））＋yeq\o(OB,\s\up6（→）），則有x＝__________，y＝__________.解析：由線段AB的中點的向量表達式,知x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)。答案:eq\f（1,2）eq\f（1,2)正確理解平面向量基本定理剖析：（1）e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量．(2)對給定的向量a，實數(shù)λ1，λ2存在且唯一．實數(shù)λ1，λ2的唯一性是相對于基底e1，e2而言的．(3)只要是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量都可作為一組基底，所以基底的選取不唯一．一旦選定一組基底,則給定向量沿著基底的分解是唯一的．(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本結構，即同一平面內(nèi)任意三個向量之間的關系是其中任何一個向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合．(5）這個定理體現(xiàn)了轉化與化歸思想,用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決．題型一用基底表示向量【例題1】已知△ABC中,D為BC的中點，E，F(xiàn)為BC的三等分點，若eq\o(AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（AC,\s\up6（→）)＝b，用a,b表示，,。解：由題意，得＝eq\o（AB,\s\up6(→)）＋＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\f（1,2)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2）（eq\o(AC,\s\up6（→）)－eq\o（AB,\s\up6(→)))＝a＋eq\f（1，2)(b－a）＝eq\f(1，2）a＋eq\f（1，2）b；＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋＝a＋eq\f(1,3)（b－a)＝eq\f(2，3）a＋eq\f(1,3）b；＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋＝a＋eq\f（2，3）(b－a)＝eq\f（1,3）a＋eq\f（2,3）b。反思用基底表示向量主要有以下兩種類型：(1)直接利用基底,結合向量的線性運算，靈活應用三角形法則與平行四邊形法則求解;(2）若直接利用基底表示比較困難,則依據(jù)“正難則反"的原則，采用方程思想求解．【例題2】如圖，在ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點,已知eq\o（AM,\s\up6（→））＝c，eq\o（AN,\s\up6(→））＝d,試用c，d表示eq\o（AC,\s\up6(→））.分析：本題要求用c，d表示eq\o(AC,\s\up6（→）)，所以可以將c，d看作基底,把eq\o(AB，\s\up6(→）)和eq\o(AD,\s\up6（→））表示出來，再由eq\o(AC，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6(→))得到eq\o(AC，\s\up6(→））。解：設eq\o(AB,\s\up6(→））＝a,eq\o(AD,\s\up6(→)）＝b，則由M,N分別為DC，BC的中點，得eq\o(BN，\s\up6(→)）＝eq\f（1,2)b,eq\o(DM，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）a.在△ABN和△ADM中，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2）b＝d，，b＋\f（1，2）a＝c，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f（2，3)2d－c,,b＝\f（2,3)2c－d，))即eq\o(AB,\s\up6（→))＝eq\f（2，3)（2d－c），eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\f（2，3）（2c－d)．所以,eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6（→))＝eq\f(2,3）（2d－c）＋eq\f（2，3）(2c－d）＝eq\f(2,3）(d＋c）．反思從解答本題的過程來看,策略性較強:（1)為使問題表達簡單,采用了eq\o(AB，\s\up6（→）)＝a,eq\o(AD,\s\up6（→))＝b的代換;(2）直接用c,d表示eq\o（AB，\s\up6（→)），eq\o（AD,\s\up6（→））困難，反過來改用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD，\s\up6（→)）表示c，d，然后將eq\o(AB，\s\up6(→））和eq\o（AD，\s\up6(→)）看成是未知量，利用方程組的知識解得eq\o（AB，\s\up6（→))和eq\o（AD，\s\up6（→)）,進一步求出eq\o(AC，\s\up6(→)).題型二直線的向量參數(shù)方程式【例題3】如圖，設一直線上三點A,B，P滿足eq\o（AP,\s\up6(→)）＝λeq\o（PB,\s\up6（→))（λ≠－1），O是平面上任意一點，則（）A．eq\o(OP,\s\up6（→)）＝eq\f(\o(OA,\s\up6（→）)＋λ\o（OB，\s\up6(→）)，1＋λ)B．eq\o(OP，\s\up6（→）)＝eq\f(\o（OA，\s\up6（→))＋λ\o（OB，\s\up6（→)）,1－λ）C．eq\o(OP，\s\up6（→))＝eq\f（\o(OA,\s\up6(→）)－λ\o(OB，\s\up6（→))，1＋λ)D．eq\o(OP,\s\up6(→)）＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→）)－2λ\o(OB,\s\up6（→）),1－λ)解析：解答本題可直接利用直線的向量參數(shù)方程式判斷；或利用向量的加、減運算法則進行轉化，作出判斷．解析一：∵P，A，B三點共線,∴一定存在實數(shù)t，使得eq\o（OP，\s\up6（→）)＝(1－t）eq\o(OA，\s\up6（→））＋teq\o(OB,\s\up6（→))，則t滿足（1－t)＋t＝1,只有選項A：eq\f（1,1＋λ）＋eq\f（λ,1＋λ）＝eq\f(1＋λ，1＋λ）＝1符合,故選A．解析二:由eq\o(AP，\s\up6（→）)＝λeq\o(PB,\s\up6（→))（λ≠－1），得eq\o(OP，\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ（eq\o(OB，\s\up6（→)）－eq\o（OP,\s\up6（→))）,故eq\o(OP,\s\up6（→）)＝eq\f(\o(OA，\s\up6（→))＋λ\o（OB,\s\up6(→）），1＋λ）(λ≠－1)．答案：A反思本題采用了兩種解題方法．解法一是應用直線的向量參數(shù)方程式判斷．由直線的向量參數(shù)方程式得，若P在直線AB上（或P，A，B共線)，則一定存在實數(shù)t，使得eq\o（OP,\s\up6(→））＝(1－t）eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6（→)），注意(1－t）＋t＝1；解法二直接利用向量減法的幾何意義,構造向量方程，解出eq\o(OP,\s\up6（→))?！蓟犹骄俊皆Oeq\o（OA，\s\up6(→）)，eq\o（OB，\s\up6(→)）不共線,P點在線段AB上，求證:eq\o（OP，\s\up6（→）)＝λeq\o（OA，\s\up6(→)）＋μeq\o(OB，\s\up6（→）)，且λ＋μ＝1（λ，μ∈R）．證明:∵P點在線段AB上，∴eq\o(AP,\s\up6(→））與eq\o（AB，\s\up6(→））共線．∴eq\o(AP,\s\up6（→)）＝teq\o(AB，\s\up6(→））(t∈R)．∴eq\o（OP,\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（AP,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→））＋teq\o（AB，\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6(→））＋t（eq\o(OB，\s\up6(→）)－eq\o(OA,\s\up6（→))）＝（1－t)eq\o(OA,\s\up6（→））＋teq\o(OB，\s\up6(→)）。令λ＝1－t，μ＝t,則有eq\o（OP，\s\up6（→））＝λeq\o(OA，\s\up6（→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)）,λ＋μ＝1(λ，μ∈R)．1．下列關于基底的說法正確的是()①平面內(nèi)的任意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關于基底的線性分解形式是唯一確定的．A．①B．②C．③D．②③答案：C2．已知ABCD的對角線的交點為O，下列各組向量中，可作為這個平行四邊形所在的平面內(nèi)所有向量的基底的是(）①與；②與；③與；④與.A．①②B．①③C．①④D．③④解析：平面內(nèi)任意不共線的兩個向量均能構成一組向量基底．通過畫圖可得：①與不共線；②＝，則∥;③與不共線；④＝，則∥。于是僅①③可以構成平面內(nèi)所有向量的基底．答案：B3．O為平面上任一點,＝xeq\o(OA,\s\up6(→)）＋yeq\o(OB，\s\up6（→）)，若A，B，C三點共線，則必有(）A．x＋y＝1B．x－y＝1C．x＝－yD．x，y為任意實數(shù)解析:若A,B,C三點共線，則＝(1－t）eq\o(OA，\s\up6(→）)＋teq\o（OB，\s\up6(→）)，知x＋y＝1－t＋t＝1.答案：A4．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o（OB，\s\up6（→))，的終點A，B，C在一條直線上,且＝－3，設eq\o（OA，\s\up6(→））＝p，eq\o（OB,\s\up6(→))＝q，＝r，則下列等式成立的是(）A．r＝－eq\f（1，2）p＋eq\f(3,2）qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3，2）p－eq\f（1,2)qD．r＝－q＋2p解析：＝－＝r－p,＝－＝q－r，又∵＝－3，∴r－p＝－3（q－r），∴r＝－eq\f(1,2）p＋eq\f（3,2)q.答案：A5．已知e1，e2是兩個不共線的向量，而a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5，2）k)）e2與b＝2e1＋3e2是兩個共線向量，則實數(shù)k＝__________。解析:∵a與b共線,∴存在實數(shù)λ，使得a＝λb，即k2e1＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(5，2）k））e2＝λ（2e1＋3e2）＝2λe1＋3λe2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝2λ，，1－\f(5，2）k＝3λ，)）解得k＝eq\f（1，3）或－2.答案：eq\f（1,3）或－26．如圖所示，在ABCD中,eq\o（AB，\s\up6(→))＝a，eq\o（AD，\s\up6（→））＝b，H，M分別是AD,DC的中點，F(xiàn)為BC上的點且eq\o（BF,\s\up6（→）)＝eq\f（1，3)eq\o(BC,\s\up6（→）)，用a,b表示向量eq\o(AM,\s\up6(→）)與eq\o