數(shù)學(xué)學(xué)案：命題與量詞

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修1-1第一章1.1命題與量詞1．了解命題的定義．2．理解全稱量詞與存在量詞的意義．3．會判斷全稱命題與存在性命題的真假．1．命題(1)定義：能夠判斷______的語句叫做命題．（2）表示形式：一個(gè)命題，一般可用一個(gè)______英文字母表示，如:p，q，r,…。【做一做1】“同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行”，該語句是命題嗎？(1)并不是任何語句都是命題,只有能夠判斷真假的語句才是命題．一般地，祈使句、感嘆句、疑問句都不是命題．（2）有些命題盡管現(xiàn)在不能確定其真假，但隨著時(shí)間的推移，總能判斷其真假,這樣的語句也是命題．(1）真命題：如果由命題的條件通過推理一定可以得出命題的結(jié)論，那么這樣的命題叫做真命題．（2)假命題：如果由命題的條件通過推理不一定得出命題的結(jié)論，那么這樣的命題叫做假命題．2．全稱量詞與全稱命題(1）全稱量詞：短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做______量詞,并用符號“______"表示．(2)全稱命題：含有__________的命題,叫做全稱命題．（3）全稱命題的形式：一般地,設(shè)p(x)是某集合M的______元素都具有的性質(zhì)，那么全稱命題就是形如“對M中的______x,p（x)"的命題．用符號簡記為__________．【做一做2】命題“對所有整數(shù)x，x2＋1＞0。"是全稱命題嗎？若是，用符號表示出來．（1）與“所有”等價(jià)的說法有“一切”“每一個(gè)"“任一個(gè)"等．(2）全稱命題有時(shí)省去全稱量詞，仍為全稱命題．如，“菱形都是平行四邊形"，省去了全稱量詞“所有”．3．存在量詞與存在性命題(1)存在量詞:短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)"在陳述中表示所述事物的____________,邏輯中通常叫做______量詞,并用符號“______"表示．（2)存在性命題:含有存在量詞的命題，叫做__________命題．（3）存在性命題的形式：一般地，設(shè)q(x)是某集合M的______元素x具有的__________,那么存在性命題就是形如“______集合M中的元素x，q（x）"的命題，用符號簡記為________．【做一做3】判斷命題“有一個(gè)整數(shù)x，x2＋1＝0.”是否是存在性命題,若是，用符號表示．存在性命題中的存在量詞不能省略．1．判斷某個(gè)語句是否是命題．剖析：首先，要看這個(gè)句子的句型．一般地,疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題．其次，要看能不能判斷其真假，也就是判斷其是否成立．2．判斷一個(gè)全稱命題是真(假）命題的方法．剖析：要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對限定集合中的每一個(gè)元素x驗(yàn)證p（x）成立，一般用代數(shù)推理給出證明．要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例(滿足命題的條件，但不滿足命題結(jié)論的例子)．例如，命題p：?x∈R,x2－4x≥0；當(dāng)x＝1時(shí)，x2－4x＝－3,－3＜0，故命題p為假命題．3．判斷一個(gè)存在性命題是真(假）命題的方法．剖析:要判斷一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個(gè)x＝x0使p(x0）成立即可；否則，這個(gè)存在性命題就是假命題．題型一語句是否是命題的判定【例1】下列語句是不是命題？如果是，注明其真假：（1）函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函數(shù)嗎？(2）偶數(shù)的平方仍是偶數(shù)；（3)若空間的兩條直線垂直，則這兩條直線相交；(4)兩個(gè)向量的夾角可以等于π.分析:(1）該語句是疑問句，不能判斷其真假，故不是命題；（2)因所有偶數(shù)的平方都是偶數(shù)，無一例外，故該語句是命題且為真命題；（3）根據(jù)空間立體幾何知識知,垂直的兩條直線不一定相交,故所給語句是命題且為假命題;（4）根據(jù)兩個(gè)向量夾角的定義知，兩個(gè)向量反向時(shí)夾角為π,故所給語句是命題且為真命題．反思：判斷某個(gè)語句是否是命題的方法：首先，要看這個(gè)句子的句型．其次,要看能不能判斷其真假．題型二全稱命題與存在性命題真假的判定【例2】指出下列命題是全稱命題還是存在性命題,并判斷其真假：（1）p：所有正方形都是矩形;（2)q:?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；（3)r：?x∈Z，x2＋2x≤0;（4)s：至少有一個(gè)正整數(shù)x，使x3＋1＝0。分析:利用全稱命題和存在性命題的定義判定命題是全稱命題還是存在性命題．（1）利用正方形的定義進(jìn)行判定;(2)將不等式的左邊配方后進(jìn)行判定；(3）將x＝－1代入不等式后進(jìn)行判定；(4）解方程x3＋1＝0后，依據(jù)方程的解進(jìn)行判定．1下列語句中,不是命題的是()A．兩點(diǎn)之間線段最短B．互補(bǔ)的兩個(gè)角相等C．不是對頂角的兩個(gè)角不相等D．延長線段AB2下列命題是存在性命題的是（）A．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行線D．存在實(shí)數(shù)大于等于33下列命題是假命題的是()A．若a·b＝0，那么a⊥bB．若｜a｜＝｜b|,則a＝bC．若ac2＞bc2,則a＞bD．7＞64下列命題中是真命題的是()A．?x∈R,x2＋1＜0B．?x∈Z，3x＋1是整數(shù)C．?x∈R，|x|＞3D．?x∈Q，x2∈Z5下列命題中是全稱命題的是__________．（1）菱形的四條邊相等;(2)所有有兩個(gè)角是45°的三角形都是等腰直角三角形；(3)正數(shù)的平方根不等于0；(4）至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)；（5）所有整數(shù)都是實(shí)數(shù)嗎？答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．（1)真假(2)小寫【做一做1】是．2．（1）全稱?（2）全稱量詞(3）所有所有?x∈M，p（x）【做一做2】分析:因該命題含有全稱量詞“所有”,故是全稱命題．解：是，用符號表示為：?x∈Z，x2＋1>0.3．（1）個(gè)體或部分存在?(2）存在性（3)有些某種性質(zhì)存在?x∈M，q(x）【做一做3】分析：因該命題含有存在量詞，故該命題是存在性命題．解：是,用符號表示為:?x∈Z，x2＋1＝0。典型例題·領(lǐng)悟【例1】解:(1）不是；(2）是，真命題；(3）是，假命題;（4）是，真命題．【例2】解：(1)命題p是全稱命題，因?yàn)檎叫问青忂呄嗟鹊木匦?，所以命題p是真命題；（2)命題q是全稱命題，因?yàn)?x∈R,x2－x＋eq\f（1，4)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2）)）2≥0,所以命題q是真命題；(3）命題r是存在性命題，因?yàn)椋?∈Z,當(dāng)x＝－1時(shí),能使x2＋2x≤0成立，所以命題r是真命題;(4）命題s是存在性命題，因?yàn)榻鈞3＋1＝0得x＝－1,而－1不是正整數(shù)，因此，沒有正整數(shù)滿足x3＋1＝0，所以命題s是假命題．隨堂練習(xí)·鞏固1．D因只有選項(xiàng)D不能判斷其真假,故選項(xiàng)D不是命題．2．D只有選項(xiàng)D中含有存在量詞，故選項(xiàng)D是存在性命題．3．B|a|＝|b|只是兩向量的大小相等，但方向不