《隨機過程-計算與應用》課件隨機過程引論課件3

三.有限維分布函數(shù)族1定義2.3.1

設是定義在概率空間上取實值的隨機過程.對任意的自然數(shù)及任意的和實數(shù)稱n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為隨機過程X的n維分布函數(shù)。將隨機過程X的所有有限維分布函數(shù)的全體記為則稱函數(shù)集F為隨機過程X的n維分布函數(shù)族。有限維分布函數(shù)族具有以下相容性條件補例1.設隨機過程,其中為常數(shù)，

隨機變量V服從[0,1]上的均勻分布.分別計算當

時,隨機過程X的一維分布函數(shù).346補例2.其中隨機變量A有分布律：試求(1)隨機過程X的一維分布函數(shù)(2)隨機過程X的二維分布函數(shù)解789為隨機過程X的n維特征函數(shù).定義2.3.3

設是定義在概率空間上取實值的隨機過程.對任意的自然數(shù)及任意的稱為隨機過程X的有限維特征函數(shù)族.定義設隨機變量X的分布函數(shù)F(x),則稱為隨機變量X的特征函數(shù).關于隨機變量的特征函數(shù)的回顧對任意實數(shù)u,有|ejux|=1.故E[ejux]總存在.(1)特征函數(shù)總是存在的.特征函數(shù)的幾點說明（2）

若X與Y相互獨立,Z=X+Y,則

(可推廣到n個相互獨立隨機變量)（3）設隨機變量X的n階原點矩(即E[Xn])存在,

則存在k(k≤n)階導數(shù),且有(4)一些重要分布的特征函數(shù)計算單點分布P(X=c)=1,c常數(shù).則二項分布k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.則特征函數(shù)泊松分布k=0,1,2,…,

λ>0則特征函數(shù)均勻分布r.v.X～U(a,b],密度函數(shù)為則特征函數(shù)正態(tài)分布X～N(μ,σ2),密度函數(shù)為則特征函數(shù)特別X～N(0,1)時指數(shù)分布r.v.X服從參數(shù)為λ(>0)的指數(shù)分布,概率密度為則特征函數(shù)(5)隨機變量的分布函數(shù)與其特征函數(shù)相互唯一確定.n維隨機變量X=(X1,X2,…,Xn)的特征函數(shù)也稱多元特征函數(shù)特征函數(shù)應用舉例:Yn與Nt獨立例2.3.5（2）設f(u)是Yn(n=1,2,…)的特征函數(shù)，試計算復合泊松過程的一維特征函數(shù).Yn獨立同分布補例5

獨立增量過程的有限維分布函數(shù)由其一維分布函數(shù)和增量分布函數(shù)確定．

提示：利用特征函數(shù)證明n維隨機變量的的特征函數(shù)為令則①代入①式由題意知Y1,Y2,…,Yn獨立由Y1Y2,…,Yn的獨立性證畢例2.3.5（1）試計算布朗運動的有限維特征函數(shù)提示：利用獨立增量過程的有限維特征函數(shù)例2.3.1驗證：等價的兩個隨機過程具有相同的有限維分布函數(shù).1.利用重復擲硬幣的試驗定義一個隨機過程

出現(xiàn)正面與反面的概率相等.⑴求Xt的一維分布函數(shù)F(1/2;x