熱點(diǎn)09 尺規(guī)作圖（7大題型+滿分技巧+限時(shí)分層檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)09尺規(guī)作圖中考數(shù)學(xué)中《尺規(guī)作圖》部分主要考向分為三類(lèi)：一、尺規(guī)作圖的痕跡（每年1道，3~8分）二、尺規(guī)作圖畫(huà)圖（每年1道，3~12分）三、網(wǎng)格問(wèn)題中的作圖設(shè)計(jì)（每年1題，6~8分）尺規(guī)作圖指的是只用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，作已知線段的中垂線、已知角的角平分線；部分題型則考察由作圖痕跡逆向推導(dǎo)是什么線，然后利用中垂線或者角平分線的性質(zhì)繼續(xù)解題。最近幾年又出現(xiàn)一類(lèi)不用“尺規(guī)”，只用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格圖中按要求畫(huà)圖或找點(diǎn)。當(dāng)考察作圖痕跡時(shí)，基本以選擇題為主，實(shí)際畫(huà)圖題或者網(wǎng)格類(lèi)問(wèn)題則是簡(jiǎn)單題，雖然難度中等，但是對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的綜合性已經(jīng)越來(lái)越強(qiáng)，需要在做題時(shí)更加全面的分析?？枷蛞唬撼咭?guī)作圖的痕跡【題型1線段中垂線的尺規(guī)作圖痕跡】滿分技巧1、線段垂直平分線的畫(huà)圖痕跡：2、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等1．（2023?涼山州）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，大于AB為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接MN，直線MN與AC交于點(diǎn)D，連接BD，則∠DBC的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】利用基本作圖得MN垂直平分AB，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠A＝40°，則計(jì)算出∠ABC＝∠C＝70°，然后計(jì)算∠ABC﹣∠ABD即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故選：B．2．（2023?西寧）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD＝AB C．DE＝BC D．S△ADE：S四邊形DBCE＝1：4【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理一一判斷即可．【解答】解：由作圖可知PQ垂直平分線段AC，故選項(xiàng)A正確，∴DA＝DC，AE＝EC，∴∠A＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AD＝DB，∴CD＝AB，故選項(xiàng)B正確，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，故選項(xiàng)C正確，據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DE∥BC，進(jìn)而證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到面積比S△ADE：S△ABC＝1：4；故選：D．3．（2023?隨州）如圖，在?ABCD中，分別以B，D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過(guò)M，N兩點(diǎn)作直線交BD于點(diǎn)O，交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論不正確的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC【分析】根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BO＝DO，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF＝DE，OE＝OF，故B，C正確；無(wú)法證明DE＝CD，故D錯(cuò)誤．【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正確；無(wú)法證明DE＝CD，故D錯(cuò)誤；故選：D．4．如圖，在△ABC中，∠C＝40°，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交邊AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ADB的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】根據(jù)線段的垂線平分線的性質(zhì)及三角形的外角定理求解．【解答】解：由作圖得：MN垂直平分BC，∴CD＝BD，∴∠CBD＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝80°，故選：C．5．（2023?西藏）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線MN交AB于點(diǎn)E．若線段AE＝5，AC＝12，則BE長(zhǎng)為13．【分析】連接CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CE，由作圖知，直線MN是線段BC的垂直平分線，∴CE＝BE，∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12，∴BE＝CE＝＝＝13，故答案為：13．6．（2023?廣元）如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF，分別交直線a，b于點(diǎn)C，D，連接AC，若∠CDA＝34°，則∠CAB的度數(shù)為56°．【分析】由作圖可知CD垂直平分線段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖可知CD垂直平分線段AB，∴CA＝CB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∵a∥b，∴∠ADC＝∠BCD＝34°，∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．故答案為：56°．【題型2角平分線的尺規(guī)作圖痕跡】滿分技巧1、角平分線的畫(huà)法：2、角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等1．（2023?衢州）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F．連結(jié)AF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G．連結(jié)DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC【分析】根據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項(xiàng)所給的條件逐次判斷能否得出BG＝CG即可．【解答】解：根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，AB是△ABC的角平分線，即∠BAG＝∠CAG．當(dāng)AB＝AC時(shí)，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（SAS），所以BG＝CG，故A選項(xiàng)不符合題意．當(dāng)AG⊥BC時(shí)，∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（ASA），所以BG＝CG，故B選項(xiàng)不符合題意．當(dāng)∠DGB＝∠EGC時(shí)，因?yàn)椤螧AG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，所以△ADG≌△AEG（SAS），所以∠AGD＝∠AGE，又∠DGB＝∠EGC，所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，即∠AGB＝∠AGC．又∠AGB+∠AGC＝90°，所以∠AGB＝∠AGC＝90°，則方法同（2）可得出BG＝CG，故C選項(xiàng)不符合題意．故選：D．2．（2023?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)G，作射線AG，交BC于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】由角平分線的性質(zhì)定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由△ABC的面積＝△ACD的面積+△ABD的面積，得到AC?BC＝AC?CD+AB?MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的長(zhǎng)，得到DB的長(zhǎng)．【解答】解：作DM⊥AB于M，由題意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵△ABC的面積＝△ACD的面積+△ABD的面積，∴AC?BC＝AC?CD+AB?MD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．故選：D．3．閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；②分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)M；③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．【解答】解：A、以C，D為圓心畫(huà)弧的半徑相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合題意；B、因?yàn)镺C、CM的長(zhǎng)在變化，所以O(shè)C和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合題意；C、因?yàn)镺D、DM的長(zhǎng)在變化，所以O(shè)D和DM不一定相等，故C不符合題意；D、CM的位置在變化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合題意．故選：A．4．（2023?湖北）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P，作射線BP，過(guò)點(diǎn)C作BP的垂線分別交BD，AD于點(diǎn)M，N，則CN的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【分析】如圖，設(shè)BP交CD與點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)J作JK⊥BD于點(diǎn)K．首先利用相似三角形的性質(zhì)證明CN?BM＝12，再想辦法求出BM，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)BP交CD與點(diǎn)J，交CN與點(diǎn)T．過(guò)點(diǎn)J作JK⊥BD于點(diǎn)K．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，∵CN⊥BT，∴∠CTB＝∠CDN＝90°，∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，∴∠CBT＝∠DCN，∴△BTC∽△CDN，∴＝，∴BM?CN＝CD?CB＝3×4＝12，∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，∴＝＝5，由作圖可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC，∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，∴JC＝KJ＝，∴BJ＝＝＝，∵cos∠CBJ＝＝，∴＝，∴BT＝，∵CN?BT＝12，∴CN＝．故選：A．5．（2023?丹東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線BP，交AD于點(diǎn)G，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．若AB＝AG＝4，GD＝5，則CH的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】證明四邊形ABCD是平行四邊形，推出BC＝AD＝9，再證明CH＝CB，可得結(jié)論．【解答】解：由作圖可知BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵AB＝AG＝4，∴∠ABG＝∠AGB，∴∠AGB＝∠CBH，∴AD∥CB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，∵AB∥CH，∴∠ABG＝∠CHB，∴∠CBH＝∠CHB，∴CH＝CB＝9．故選：C．6．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)D，連接BD，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)E，連接DE，則S△BDE：S△CDE是（）A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8【分析】先根據(jù)三角函數(shù)求出AB：AC的值，再根據(jù)三角形的面積公式求出BE：CE的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴AB：AC＝sinC＝1：2，由題意得：AP平分∠BAC，∴AB：AC＝BE：CE＝1：2，∴S△BDE：S△CDE＝1：2，故選：A．7．如圖，在?ABCD中，∠D＝60°．以點(diǎn)B為圓心，以BA的長(zhǎng)為半徑作弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE．分別以點(diǎn)A，E為圓心，以大于AE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AE于點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)F，則的值為．【分析】證明△ABE是等邊三角形，推出BO⊥AE，AO＝OE，可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF＝＝，∴＝，故答案為：．8．（2023?鞍山）如圖，△ABC中，在CA，CB上分別截取CD，CE，使CD＝CE，分別以D，E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ACB內(nèi)交于點(diǎn)F，作射線CF，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，則AC的長(zhǎng)為6．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到MB＝MC，因此∠B＝∠BCM，由角平分線定義推出∠ACM＝∠B，又∠CAM＝∠CAB，推△ACM∽△ABC，得到AC：AB＝AM：AC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出AC的長(zhǎng)．【解答】解：由題中作圖可知：CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM，∵M(jìn)N⊥BC，BN＝CN，∴MB＝MC，∴∠B＝∠BCM，∴∠ACM＝∠B，∵∠CAM＝∠CAB，∴△ACM∽△ABC，∴AC：AB＝AM：AC，∵AM＝4，BM＝5，∴AB＝AM+BM＝9，∴AC：9＝4：AC，∴AC＝6．故答案為：6．9．（2023?甘孜州）如圖，在平行四邊形ABCD（AB＜AD）中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠BAD內(nèi)交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)E．若∠B＝120°，則∠EAD為30°．【分析】先利用基本作圖得到∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BAD＝180°﹣∠B＝60°，從而得到∠EAD＝30°．【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD＝30°．故答案為：30．10．（2023?阜新）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．連接AC，在AC和AD上分別截取AE，AF，使AE＝AF，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以大于EF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線AG交CD于點(diǎn)H，則線段DH的長(zhǎng)是．【分析】過(guò)H作HQ⊥AC于Q，再根據(jù)勾股定理列方程求解．【解答】解：設(shè)DH＝x，過(guò)H作HQ⊥AC于Q，在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∴AC＝10，由作圖得：AG平分∠CAD，∴∠CAG＝∠DAG，∵∠D＝∠AQH＝90°，AH＝AH，∴△ADH≌△AQH（AAS），∴DH＝HQ＝x，AQ＝QD＝8，∴CQ＝AC﹣QA＝2，在Rt△CHQ中，有CQ2+QH2＝CH2，即：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，故答案為：．考向二：尺規(guī)作圖畫(huà)圖【題型3作一條線段的垂直平分線】滿分技巧線段垂直平分線的畫(huà)圖步驟：分別以線段兩端點(diǎn)為圓心，相同適當(dāng)長(zhǎng)（大于線段的一半）為半徑畫(huà)圓弧，上下各得兩個(gè)弧的一個(gè)交點(diǎn)；過(guò)兩個(gè)弧的交點(diǎn)作一條直線，則該直線即為所求作的線段中垂線。1．（2023?陜西）如圖．已知銳角△ABC，∠B＝48°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】先作∠ABC的平分線BD，再作BC的垂直平分線l，直線l交BD于P點(diǎn)，則P點(diǎn)滿足條件．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．2．（2023?連云港）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交邊AC于點(diǎn)D，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交CE于點(diǎn)F；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）（2）在（1）的條件下，求證：BD＝BF．【分析】（1）過(guò)B作AB的垂線即為過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線；（2）由AB＝AC，AB∥CE，可得∠BCF＝∠ACB，而點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，BF為⊙O的切線，可得∠BDC＝∠BFC，即可證明△BCD≌△BCF，從而B(niǎo)D＝BF．【解答】（1）解：如圖：過(guò)B作BF⊥AB，交CE于F，直線BF即為所求直線；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB，∵點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BF為⊙O的切線，∴∠ABF＝90°，∵AB∥CE，∴∠BFC+∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC，在△BCD和△BCF中，，∴△BCD≌△BCF（AAS），∴BD＝BF．【題型4作一個(gè)角的角平分線】滿分技巧一個(gè)角的角平分線的畫(huà)圖步驟：1、以角的頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交角的兩邊于一點(diǎn)；2、分別以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，相同適當(dāng)長(zhǎng)（大于兩交點(diǎn)長(zhǎng)的一半）為半徑畫(huà)圓弧，相交于一點(diǎn)；3、連結(jié)角的頂點(diǎn)與兩弧交點(diǎn)并延長(zhǎng)，則該射線即為所求作的角平分線。1．（2023?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作⊙O，使得圓心O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且與邊AC相切于點(diǎn)D（請(qǐng)保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O與△ABC重疊部分的面積．【分析】（1）如圖，先作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，再作DO⊥AC交AB于O點(diǎn)，則以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑的圓滿足條件；（2）⊙O交BC于E點(diǎn)，交AB于F點(diǎn)，連接OE，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AC，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到OA＝2r，接著求出r＝，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用⊙O與△ABC重疊部分的面積＝S扇形EOF+S△OBE進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）如圖，先作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，再過(guò)D點(diǎn)作AC的垂線交AB于O點(diǎn)，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑作⊙O，則⊙O為所作；（2）⊙O交BC于E點(diǎn)，交AB于F點(diǎn)，連接OE，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，∵AC為⊙O的切線，∴OD⊥AC，OD＝r，∵∠C＝90°．∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴OA＝2r，∵AB＝4，∴2r+r＝4，解得r＝，∵OB＝OE，∠OBE＝60°，∴△OBE為等邊三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠EOF＝120°，∴⊙O與△ABC重疊部分的面積＝S扇形EOF+S△OBE＝+×（）2＝π+．2．（2023?無(wú)錫）如圖，△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5．（1）尺規(guī)作圖：作菱形ADEF，使D、E、F分別在AB、BC、AC上；（2）題（1）中所作的菱形ADEF的周長(zhǎng)為．【分析】（1）先作∠BAC的平分線AE，再作∠BED＝∠C交AB于D點(diǎn)，作∠CEF＝∠B交AC于F點(diǎn)，則四邊形ADEF滿足條件；（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則AF＝EF＝x，CF＝6﹣x，再證明△CFE∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，即＝，利用比例性質(zhì)求出x，從而得到菱形的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，菱形ADEF為所作；（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則AF＝EF＝x，CF＝6﹣x，∵四邊形ADEF為菱形，∴EF∥AD，∴△CFE∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝，即菱形的邊長(zhǎng)為，∴菱形的周長(zhǎng)＝4×＝．故答案為：．3．（2023?無(wú)錫）如圖，已知∠APB，點(diǎn)M是PB上的一個(gè)定點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中作⊙O，使得⊙O與射線PB相切于點(diǎn)M，同時(shí)與PA相切，切點(diǎn)記為N；（2）在（1）的條件下，若∠APB＝60°，PM＝3，則所作的⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積是3﹣π．【分析】（1）先作∠APB的平分線PQ，再過(guò)M點(diǎn)作PB的垂線交PQ于點(diǎn)O，接著過(guò)O點(diǎn)作ON⊥PA于N點(diǎn)，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，OM為半徑作圓，則⊙O滿足條件；（2）先利用切線的性質(zhì)得到OM⊥PB，ON⊥PN，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，則∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出OM＝，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積＝S四邊形PMON﹣S扇形MON進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）如圖，⊙O為所作；（2）∵PM和PN為⊙O的切線，∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，∴OM＝PM＝×3＝，∴⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積＝S四邊形PMON﹣S扇形MON＝2××3×﹣＝3﹣π．故答案為：3﹣π．4．（2023?常州）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）點(diǎn)P、Q分別是△ABC、△DEF的內(nèi)心．①用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)Q（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；②連接PQ，則PQ與BE的關(guān)系是PQ∥BE，PQ＝BE．【分析】（1）利用SSS即可證明△ABC≌△DEF；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)心定義和角平分線的畫(huà)法即可解決問(wèn)題；②根據(jù)三角形的內(nèi)心定義證明四邊形PQEB是平行四邊形，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：①如圖，點(diǎn)Q即為所求；②PQ與BE的關(guān)系是：PQ∥BE，PQ＝BE，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∵點(diǎn)P、Q分別是△ABC、△DEF的內(nèi)心，∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，∴∠PBE＝∠ABC，∠QEF＝∠DEF，∴∠PBE＝∠QEF，∴PB∥QE，∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∴△ABG≌△DEH（ASA），∴BG＝EH，∵點(diǎn)P、Q分別是△ABC、△DEF的內(nèi)心，∴BP＝EQ，∴四邊形PQEB是平行四邊形，∴PQ∥BE，PQ＝BE．故答案為：PQ∥BE，PQ＝BE．【題型5作一個(gè)三角形一邊上的高線】滿分技巧一個(gè)三角形一邊上的高線的畫(huà)圖步驟：1、以邊所對(duì)的頂點(diǎn)為圓心，頂點(diǎn)挨著的較短邊為半徑畫(huà)弧，交邊與兩點(diǎn)（其中一點(diǎn)為邊的端點(diǎn)）；2、作兩交點(diǎn)間線段的垂直平分線，以虛線形式畫(huà)，必過(guò)邊所對(duì)的頂點(diǎn)；3、將垂直平分線中頂點(diǎn)到邊的部分畫(huà)成實(shí)線，表上字母，則該線段即為所求作的三角形的高線。1．（2023?廣東）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）由基本作圖即可解決問(wèn)題；（2）由銳角的余弦求出AE的長(zhǎng)，即可得到BE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點(diǎn)；（2）∵cos∠DAB＝，∴AE＝AD?cos30°＝4×＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．2．（2023?青島）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC．求作：點(diǎn)P，使PA＝PC，且點(diǎn)P在△ABC邊AB的高上．【分析】作AC的垂直平分線和AB邊上的高，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)．【解答】解：如圖，點(diǎn)P為所作．3．（2022?重慶）在學(xué)習(xí)矩形的過(guò)程中，小明遇到了一個(gè)問(wèn)題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，試說(shuō)明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖痕跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．【分析】以C為圓心DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于F，連接CF，根據(jù)已知條件依次寫(xiě)出相應(yīng)的解答過(guò)程即可．【解答】解：根據(jù)題意作圖如下：由題知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，故答案為：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．考向三：網(wǎng)格問(wèn)題中的作圖設(shè)計(jì)【題型5利用網(wǎng)格找符合題意的點(diǎn)】滿分技巧1、找中點(diǎn)：則找矩形對(duì)角線交點(diǎn)；2、找三等分點(diǎn)：則轉(zhuǎn)化為水平或豎直邊的平行相似的相似比；1．（2023?長(zhǎng)春）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，△ABC的面積為；（2）在圖②中，△ABC的面積為5；（3）在圖③中，△ABC是面積為的鈍角三角形．【分析】（1）先根據(jù)三角形的面積求出AB邊上的高，再作圖；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及三角形的面積公式作圖；（3）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及三角形的面積公式作圖．【解答】解：如圖：（1）如圖①：△ABC即為所求；（2）如圖②：△ABC即為所求；（3）如圖③：△ABC即為所求．2．（2023?江西）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作銳角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；（2）在圖2中的線段AB上作點(diǎn)Q，使PQ最短．【分析】（1）根據(jù)銳角三角形的定義及網(wǎng)格線的特點(diǎn)作圖；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及垂線段最短作圖．【解答】解：如圖：（1）△ABC即為所求（答案不唯一）；（2）點(diǎn)Q即為所求．【題型6利用網(wǎng)格畫(huà)符合題意的線】滿分技巧1、畫(huà)平行線：利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等畫(huà)圖；2、畫(huà)垂線：利用正方形的十字架模型畫(huà)圖；1．（2023?深圳）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，OA＝3，AB＝2，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：①過(guò)點(diǎn)A作切線AC，且AC＝4（點(diǎn)C在A的上方）；②連接OC，交⊙O于點(diǎn)D；③連接BD，與AC交于點(diǎn)E．（1）求證：DB為⊙O的切線；（2）求AE的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線”，進(jìn)行證明；（2）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求解．【解答】解：如圖：（1）∵AC是圓的切線，∴∠OAC＝90°，∴OC＝5，由題意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴∠ODB＝∠OAC＝90°，∵OD是圓的半徑，∴DB為⊙O的切線；（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAO，∴，即：，解得：CE＝2.5，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．2．（2023?吉林）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫(huà)三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．【分析】根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形的意義作圖．【解答】解：如圖：圖①△ABC即為所求銳角三角形；圖②△ABD即為所求直角三角形；圖③△ABCF為所求鈍角三角形．3．（2023?廣安）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請(qǐng)?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫(huà)出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形的意義作圖．【解答】解：如圖：（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2023?樂(lè)至縣）下列說(shuō)法不正確的是（）A．方程3x2+5x﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．若△A′B′C′由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，則它們的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊以及對(duì)應(yīng)邊上的高都相等 C．用尺規(guī)作圖能完成：過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線 D．在同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等【分析】利用根的判別式，全等三角形的性質(zhì)，基本作圖，平行線的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：A、方程3x2+5x﹣4＝0，Δ＝52﹣4×3×（﹣4）＝73＞0，∴方程3x2+5x﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、若△A′B′C′由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，則它們的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊以及對(duì)應(yīng)邊上的高都相等，正確，本選項(xiàng)不符合題意；C、用尺規(guī)作圖能完成：過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線，正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等，錯(cuò)誤這兩個(gè)角也可能是互補(bǔ)，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（2023?貴州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交DA，DC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接DP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G．則BG的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)角平分線的定義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得到CG＝CD，進(jìn)而得到BG的長(zhǎng)．【解答】解：由題可得，DG是∠ADC的平分線．∴∠ADG＝∠CDG，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故選：A．3．（2023?黃石）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EF和BC交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)D，C為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，連接AM，AM和CD交于點(diǎn)N，連接ON．若AB＝9，AC＝5，則ON的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用三角形中位線定理以及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖可知EF垂直平分線段BC，AM垂直平分線段CD，∴OB＝OC，DN＝CN，∴ON＝BD，∵AB＝9，AC＝AD＝5，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，∴ON＝×4＝2．故選：A．4．（2023?河北）綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫(huà)出△ABD，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形ABCD為平行四邊形．（1）～（3）是其作圖過(guò)程．（1）作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)O；（2）連接AO，在AO的延長(zhǎng)線上截取OC＝AO；（3）連接DC，BC，則四邊形ABCD即為所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)邊分別相等 C．對(duì)角線互相平分 D．一組對(duì)邊平行且相等【分析】根據(jù)：“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證明．【解答】解：由作圖得：DO＝BO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選：C．5．（2023?蘭州）我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方：操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康，則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在MO的延長(zhǎng)線及ON上取點(diǎn)A，B，使OA＝OB；（3）連接AB，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線a∥b．按以上作圖順序，若∠MNO＝35°，則∠AOC＝（）A．35° B．30° C．25° D．20°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖得：a∥b，∴∠CON＝∠MNO＝35°，∵OA＝OB，C平分AB，∴OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON＝35°，故選：A．6．（2023?通遼）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：Rt△ABC的外接圓．作法：如圖2，（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)；（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)作圖判定．【解答】解：由作圖得：PQ垂直平分AB，∴O為AB的中點(diǎn)，∴AO＝BO，∵∠C＝90°．∴CO＝AO＝BO，∴⊙O是△ABC的外接圓，故選：D．7．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過(guò)點(diǎn)N′作射線DN′交BC于點(diǎn)E．若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為．【分析】由作圖知∠A＝∠BDE，由平行線的性質(zhì)得到DE∥AC，證得△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面積：△BDE的面積＝（△BDE的面積+四邊形ACED的面積）：△BDE的面積＝1+四邊形ACED的面積：△BDE的面積＝1+＝，∴△BDE的面積：△BAC的面積＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案為：．8．（2023?荊州）如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C在OB上，OC＝2，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)P到OA的距離為1．【分析】由作圖知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OE＝OC＝，∠PEO＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠POE＝∠AOC＝＝30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到EP＝OE×tan30°＝，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：由作圖知PE垂直平分OC，OP平分∠AOB，∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，∴EP＝OE×tan30°＝，∵PO平分∠AOB，∴點(diǎn)P到OA的距離＝PE＝1．故答案為：1．9．（2023?盤(pán)錦）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB和BC于點(diǎn)P，Q，以點(diǎn)P，Q為圓心，大于PQ的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線BH交邊AD于點(diǎn)E；分別以點(diǎn)A，E為圓心，大于AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交邊AD于點(diǎn)F，連接CF，交BE于點(diǎn)G，連接GD，若CD＝4，DE＝1，則＝．【分析】先由作圖得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根據(jù)三角形的面積公式求出△EFG和△DEG的面積關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝CD＝4，∴AF＝EF＝2，∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，S△DEG＝x，則S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，∵AD∥BC，∴△EFG∽△BCG，∴＝（）2＝（）2＝，S△BCG＝12.5x，∴＝＝，故答案為：．10．（2023?營(yíng)口）如圖，在△ABC中，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線AP，交CD于點(diǎn)E．若AC＝5，CD＝6，則AE＝4．【分析】由作圖可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分線，求出CE＝DE＝3，由勾股定理可得出答案．【解答】解：由作圖可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分線，∵CD＝6，∴CE＝DE＝3，∵CA＝5，∴AE＝＝＝4，故答案為：4．11．（2023?威海）如圖，在正方形ABCD中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接DE，則∠CDE＝15°．【分析】根據(jù)條件可以得到△ABE是等邊三角形，然后利用正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：連接AE、BE，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等邊三角形．∴∠EAB＝60°，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∵AE＝AD，∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，故答案為：15．12．（2023?天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．（1）線段AB的長(zhǎng)為；（2）若點(diǎn)D在圓上，AB與CD相交于點(diǎn)P，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．．【分析】（1）利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）AB＝＝．故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)Q即為所求；方法：取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求；理由：可以證明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，∵AC＝CB，∴△ACP≌△BAQ（ASA），∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等邊三角形．故答案為：取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．13．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AD是中線，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG∥CE，交AB于點(diǎn)G，若DG＝2，則CF的長(zhǎng)為．【分析】先判斷DG為△BCE的中位線，再根據(jù)三角形相似求解．【解答】解：由作圖得：MN垂直平分AB，∴AE＝BE＝AB，∵DG∥CE，∴AD是中線，∴GB＝EG＝BE＝AB，∴GD為△BCE的中位線，∴CE＝2GD＝4，∵DG∥CE，∴△AEF∽△AGD，∴，即：，解得：EF＝，∴CF＝EC﹣EF＝4﹣＝，故答案為：．14．（2023?河南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝AB．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）若（1）中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE．求證：DE＝BE．【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求，（2）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE＝BE．15．（2023?襄陽(yáng)）如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線．（1）作邊AB的垂直平分線，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，連接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度數(shù)．【分析】（1）按照尺規(guī)作圖的要求作出邊AB的垂直平分線即可；（2）由菱形的性質(zhì)得∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，則∠BAC＝∠BCA＝20°，由線段的垂直平分線的性質(zhì)得AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAC＝20°，則∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°．【解答】（1）作法：1．分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，2．作直線MN交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，直線MN、點(diǎn)E、點(diǎn)F就是所求的圖形．（2）解：連接FB，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣140°）＝20°，∵M(jìn)N垂直平分AB，點(diǎn)F在MN上，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝20°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣20°＝120°，∴∠CBF的度數(shù)是120°．16．（2023?鹽城）如圖，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．（1）求證：AC＝AD．（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【分析】（1）證明△ABC≌△AED（SAS），即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和尺規(guī)作圖方法即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD；（2）解：如圖AF即為所求．17．（2023?金昌）1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫(xiě)在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：如圖，已知⊙O，A是⊙O上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將⊙O的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）①以點(diǎn)A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑，自點(diǎn)A起，在⊙O上逆時(shí)針?lè)较蝽槾谓厝。剑?；②分別以點(diǎn)A，點(diǎn)D為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于⊙O上方點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，OE長(zhǎng)為半徑作弧交⊙O于G，H兩點(diǎn)．即點(diǎn)A，G，D，H將⊙O的圓周四等分．【分析】根據(jù)題中的步驟作圖．【解答】解：如圖：點(diǎn)G、D、H即為所求．18．（2023?陜西）如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AD上求作一點(diǎn)E，在邊BC上求作一點(diǎn)F，使四邊形BFDE為菱形．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】作BD的垂直平分線與AD，BC的交點(diǎn)即可．【解答】解：如圖所示：E、F即為所求．19．（2023?朝陽(yáng)）如圖1，在?ABCD中，求作菱形EFGH，使其面積等于?ABCD的面積的一半，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AD，AB，BC，CD上．小明的作法①如圖2，連接AC，BD相交于點(diǎn)O．②過(guò)點(diǎn)O作直線l∥AD，分別交AB，CD于點(diǎn)F，H．③過(guò)點(diǎn)O作l的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)E，G．④連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH為所求作的菱形．（1）小明所作的四邊形EFGH是菱形嗎？為什么？（2）四邊形EFGH的面積等于?ABCD的面積的一半嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA＝OC，AB∥CD，則∠OAF＝∠OCH，再證明△AOF≌△COH得到OF＝OH，同理可得OE＝OG，于是可判斷四邊形EFGH是平行四邊形，然后利用EG⊥FH可判斷四邊形EFGH是菱形；（2）先證明四邊形AFHD為平行四邊形得到FH＝AD，再根據(jù)菱形的面積公式和平行四邊形的面積公式得到菱形EFGH的面積＝平行四邊形ABCD的面積的一半．【解答】解：（1）小明所作的四邊形EFGH是菱形．理由如下：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAF＝∠OCH，在△AOF和△COH中，，∴△AOF≌△COH（ASA），∴OF＝OH，同理可得OE＝OG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EG⊥FH，∴四邊形EFGH是菱形；（2）四邊形EFGH的面積等于?ABCD的面積的一半．理由如下：∵FH∥AD，AB∥CD，∴四邊形AFHD為平行四邊形，∴FH＝AD，∵菱形EFGH的面積＝FH?EG，平行四邊形ABCD的面積＝AD?EG，∴菱形EFGH的面積＝平行四邊形ABCD的面積的一半．20．（1）已知線段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請(qǐng)借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出已知、求證與證明）【分析】（1）先做直角，再截取做三角形；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明．【解答】解：（1）如圖：Rt△ABC即為所求；（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB邊上的中線，求證：CE＝AB，證明：延長(zhǎng)CE到D，使得DE＝CE，∵CD是AB邊上的中線，∴BE＝AE，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∵∠BCA＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴CE＝CD＝AB．21．（2023?巴中）如圖，已知等邊△ABC，AD⊥BC，E為AB中點(diǎn)．以D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交DE于點(diǎn)M，交DB于點(diǎn)N，分別以M、N為圓心，大于MN為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線DP交AB于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交射線DP于點(diǎn)F，連接BF、AF．（1）求證：四邊形BDEF是菱形．（2）若AC＝4，求△AFD的面積．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到D是BC的中點(diǎn)，求得△BED是等邊三角形，得到BE＝BD＝DE，由作圖知，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義得到∠EDF＝∠FDB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD＝∠FDB，求得∠EFD＝∠RDF，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AG⊥FD，F(xiàn)G＝GD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝AB，∵E為AB中點(diǎn)．∴，∴BD＝DE，∴△BED是等邊三角形，∴BE＝BD＝DE，由作圖知，DF平分∠EDB，∴∠EDF＝∠FDB，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠FDB，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF∥BD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵DE＝BD，∴四邊形BDEF是菱形；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，∵AC＝4，∴＝2，∵四邊形BDEF是菱形，∴AG⊥FD，F(xiàn)G＝GD，在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，∴，∴，∴．（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2023?扶余市四模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圓規(guī)在邊BC上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【分析】點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，故選：C．2．（2023?鎮(zhèn)平縣模擬）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】利用基本作圖得到OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，則根據(jù)“SSS”可判斷△A'O'B'≌△AOB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A'O'B'＝∠AOB．【解答】解：由作圖痕跡得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，所以△C'O'D'≌△COD（SSS），所以∠A'O'B'＝∠AOB．故選：D．3．（2023?衡陽(yáng)模擬）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α的度數(shù)為（）A．68° B．56° C．45° D．54°【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EAF的度數(shù)，再由EF是線段AC的垂直平分線得出∠AEF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AFE的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．由作法可知，AF是∠DAC的平分線，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故選：B．4．（2024?潮州模擬）如圖，在△ABC中，分別以A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)P．若AC＝3，△ACP的周長(zhǎng)為10，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由作圖可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，則AP＝BP，進(jìn)而可得AC+BP+PC＝3+BC＝10，即可得出答案．【解答】解：由作圖可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，∴AP＝BP，∵△ACP的周長(zhǎng)為10，∴AC+AP+PC＝10，即AC+BP+PC＝3+BC＝10，∴BC＝7．故選：B．5．（2024?廣平縣模擬）在給定的平行四邊形ABCD中作出一個(gè)菱形，甲、乙兩人的作法如下：甲：如圖（1），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)N，連接MN，則四邊形ABNM是菱形．乙：如圖（2），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)B，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)G，H，作直線GH交BC于點(diǎn)K，連接EK，則四邊形ABKE是菱形．下列判斷正確的是（）A．甲對(duì)，乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)，乙對(duì) C．甲和乙都對(duì) D．甲和乙都錯(cuò)【分析】甲：根據(jù)作圖過(guò)程可得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；乙：根據(jù)作圖過(guò)程可得GH是BE的垂直平分線，然后證明△AOE≌△KOB（ASA），可得OA＝OK，判斷四邊形AEKB是平行四邊形，根據(jù)AK⊥BE，即可得四邊形AEKB是菱形．【解答】解：甲正確，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，根據(jù)作圖過(guò)程可知：AM＝AB，BN＝AB，∴AM＝BN，∴四邊形AMNB是平行四邊形，∵AM＝AB，∴四邊形AMNB是菱形，故甲的說(shuō)法正確；乙正確，理由如下：如圖（2），連接BE交AK于點(diǎn)O，根據(jù)作圖過(guò)程可知：GH是BE的垂直平分線，∴AK⊥BE，OB＝OE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠KBO，∵∠EOA＝∠BOK，在△AOE和△KOB中，，∴△AOE≌△KOB（ASA），∴OA＝OK，∵OB＝OE，∴四邊形AEKB是平行四邊形，∵AK⊥BE，∴四邊形AEKB是菱形，故乙的說(shuō)法正確，故選：C．6．（2024?臺(tái)安縣一模）如圖，已知菱形AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣4，0），按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，N；②作直線MN，且MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（，﹣5） B．（﹣5，） C．（1，﹣4﹣） D．（﹣4﹣，1）【分析】連接AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)線段垂直平分線和菱形的性質(zhì)可得△ABC為等邊三角形，進(jìn)而可得∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，利用三角函數(shù)求出DE，AE的長(zhǎng)，從而可得答案．【解答】解：連接AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，由作圖過(guò)程可知，直線MN為線段AC的垂直平分線，∴BC＝AB，AD＝，∵四邊形AOBC為菱形，A（﹣4，0），∴OA＝AC＝BC＝4，∴AD＝2，BC＝AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠C＝60°，∴∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，DE＝AD?sin60°＝2×＝，AE＝AD?cos60°＝＝1，∴OE＝OA+AE＝4+1＝5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣5，）．故選：B．7．（2023?臨淄區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，∠DEA的度數(shù)是（）A．35° B．60° C．70° D．85°【分析】由題可得，直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC的平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：由題可得，直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC的平分線，∴AD＝BD，∠DAE＝∠CAE，∴∠B＝∠BAD＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠DAE＝∠CAE＝∠DAC＝35°，∴∠DEA＝∠C+∠CAE＝85°．故選：D．8．（2023?三亞模擬）如圖，已知AB∥CD，∠BFC＝126°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為（）A．22° B．26° C．27° D．36°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DCF，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠BFC＝126°，∴∠DCF＝180°﹣∠BFC＝54°，由作圖得：BC平分∠FCD，∴∠BCD＝∠DCF＝27°，故選：C．9．（2024?平輿縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，且A（0，2），C（4，0）．點(diǎn)E為OC上一點(diǎn)，連接AE，射線AF⊥AE．以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AE，AF于點(diǎn)N，M，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交BC于點(diǎn)G．若OE＝1，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（4，） B．（4，1） C．（4，） D．（4，）【分析】延長(zhǎng)CB交射線AF于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AF于點(diǎn)H，求出CG，可得結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)CB交射線AF于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AF于點(diǎn)H，如解圖所示．∵AE⊥AF，四邊形ABCO是矩形，∴∠EAF＝∠OAB＝90°，∴∠OAE＝∠BAF，∵GH⊥AF，∴∠GHF＝∠ABQ＝∠AOE＝90°，∵∠AQB＝∠CQH，∴△GHQ∽△ABQ∽△AOE，∴，∴GH＝2HQ，．∴．由作圖的步驟，可知AP平分∠EAF，∴∠HAG＝45°．又∵GH⊥AF，∴AH＝HG．設(shè)HQ＝x，則AH＝HG＝2x．∴AQ＝AH+HQ＝3x，即．∴．∴．∴．∴．∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，故選：A．10．（2024?河?xùn)|區(qū)模擬）如圖，在每個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上，以AB為直徑作圓，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)度等于．（Ⅱ）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在圓上找一點(diǎn)P，使得∠MAP＝3∠BMP，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；（Ⅱ）取格點(diǎn)T，連接AT，BT，A