2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第19講 直角三角形（練習(xí)）（解析版）

第19講直角三角形

錄

題型過關(guān)練

題型01

利用直角三角形的性質(zhì)求解

型

題02

根據(jù)已知條件判定直角三角形

型

題03

與直角三角形有關(guān)的面積計算

型

題04

利用勾股定理求線段長

型

題05

利用勾股定理求面積

型

題06

已知兩點坐標(biāo)求兩點距離

型

題07

判斷勾股數(shù)問題

型

題08

勾股定理與網(wǎng)格問題

型

題09

勾股定理與無理數(shù)

型

題10

以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

型

題11

利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

型

題12

勾股定理的證明方法

型

題13

以弦圖為背景的計算題

型

題14

利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

型

題15

利用勾股定理解決實際問題

型

題16

型勾股定理與規(guī)律探究問題

題17

型在網(wǎng)格中判定直角三角形

題18

型

題19利用勾股定理逆定理求解

利用勾股定理解決實際生活問題

真題實戰(zhàn)練

題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解

I.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）如圖,已知III4B,CD12于點D,若4C=40。，則乙1的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出ZCE。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：在RtACDE中,“DE=90。,LDCE=40%

r

則,CED=90°-40°=50°,

??Ylh4B,

Azi=Z.CED=50°,

故選：C.

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東中山??？家荒＃┤鐖D，在Rta/IBC中，Z,ABC=90%4C=60。，點。為邊4c的中點，BD=2,

則8。的長為（）

A.V3B.2V3C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N4=30。，由直角三角形斜山上的中線的性質(zhì)得出AC=28D=4,再利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???NA8G90。，ZC=60°,

/.NA=30。,

丁點。為邊AC的中點，BD=2

：,AC=2BD=4,

：.BC=-AC=2,

2

故選:c.

【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)

等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

3.12021?河南信陽?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形48CD中，對角線AC、8D相交于點。，“為BC中點，AC=6,BD=

8.則線段?！钡拈L為：（）

A.-B.-C.3D.5

52

【答案】B

【分析】因為菱形的對角線互相垂直且平分，從而有AO=OC=3,8。=。。=4,又因為“為

BC中點，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答.

【詳解】解：:四邊形A8CO是菱形

：.AC1BD,AO=OC=3,BO=OD=4

???△8OC是直角三角形

：.BO2+OC2=BC2

???〃為8c中點

???**

故最后答案為

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的

性質(zhì)，對角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的頂點A,B分別在3軸的正半軸

和I軸的正半軸上，當(dāng)8在x軸的正半軸上運動時，4隨之在），軸的正半軸上運動，矩形4BC7）的形狀保持

不變.若NOA8=30。時，點A的縱坐標(biāo)為20，點C的縱坐標(biāo)為1,則點。到點O的最大距離是（）

A.2A/5B.2&+2C.2&+4D.273+4

【答案】B

【分析】由R/ZXAOB中的條件可得48=4,由△AOBsaBf'C,可得BC=2,再AB上取一點E,利用勾股定

理求出OE,利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出0￡由三角形兩邊之后大于第三邊可求出。。最

大值.

【詳解】解：取A4中點￡連接。瓜OE、OD,過C作CFJ_此與點F,

在R/4A0B中，AO=2V3,NO4B=30。，

???止4,OE=-AB=2=AE,

2

由矩形的性質(zhì)，可得A。=BC,NDA8;NA8G90。，

/.△AOBsgFC,

???C的縱坐標(biāo)為I,

：.BC=2=AD；

在中，DE=2x/2,

當(dāng)。、D、E三點共線時，OO=QE+OE最大，

此時0。=2/+2；

故選：B.

【點睛】本題考查相似二角形的性質(zhì)，直角二角形的性質(zhì)，二角形二邊關(guān)系，根據(jù)性質(zhì)求出相應(yīng)線段，根

據(jù)兩邊之和大于第三邊求出最大值是解題的關(guān)鍵.

題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

5.(2022?重慶?重慶市松樹橋中學(xué)校校考模擬預(yù)測)已知A/WC的三條邊分別是Q、氏c,則下列條件中不

能判斷△力8c是直角三角形的是()

A.a:b:c=3:4:5B.Z.C=z/14-Z.F

C.Z.A:Z.B:LC=1:5:6D.Z.A:Z.B:Z.C=3:4:5

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯誤.

【詳解】解：A、設(shè)0=3匕b=4k,c=5k,

V(3/c)2+(4/c)2=(5/c)2，

即a?4-b2=C2,

???三角形是直角三角形，

正確；

B、VZA+ZB+ZC=180°,

NONA+N4,

/.2ZC=180°,

BPZC=90°,

正確；

C、設(shè)NAr。，ZB=5x°,ZC=6x°,

乂三角形內(nèi)角和定理得x+5x+64180,

解得6尸90.

故正確；

D、設(shè)NA=3H,ZB=4x°,ZC=5x°,

又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180,

5戶75,

故不是直角三角形，

錯誤；

故本題選擇D.

【點睛】本題考查宜角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角.

6.（2022.云南昆明.統(tǒng)考二模）己知實數(shù)-），，2滿足（X-5）2+百=^+憶-13|=0,則以x,y,z的值

為邊長的三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法判斷

【答案】B

【分析】根據(jù)平方式、算式平方根和絕對值的非負(fù)性求出x、y、z,再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：???實數(shù)x,y,z滿足（工一5）2+五二^+|2-13|=0,

工戶5,y=12,z=13,

V52+122=132,???X2+）?=Z2

工以x,y,z的值為邊長的三角形是直角三角形，

故選B.

【點睛】本題考查平方式、算式平方根和絕對值的非負(fù)性、勾股定理的逆定理，熟練掌握非負(fù)性是解答的

關(guān)鍵.

7.（2022?安徽合肥?合肥38中?？家荒＃┮阎猯AABC的三邊長分別為小b,c,選擇下列條件中的一個，能

判斷A4BC是直角三角形的是（）

?ZA=ZB-ZC；②/=（b+c）（b-c）：③NA：ZC=3：4：5；@a：b：c=3：4：5

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可.

【詳解】①???NA=N4-ZC,

/.NA+NC=N8,

*/NA+/3+NC=180°,

AZB=90°,

工是直角三角形，

故①是直角三角形；

②；/=（b+c）（b?c）,

/.a2=b2-c2,

cr+（r=b2,

故②是直角三角形；

③7/A：NB：NC=3：4：5,

ZZ+ZB+ZC=I8O°,

AZC=75°,

故③不是直角三角形；

④b：c=3：4：5,

.\32+42=52,

J,.a2+b2=c2,

故④是直角三角形；

是直角三角形的三角形有3個①②④

故選：C.

【點睛】此題考查了勾股定理逆定理的運用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要

利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數(shù)據(jù)的計算.

題型03與直角三角形有關(guān)的面積計算

8.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，乙4=30。，/.ACB=90°,BC=4,以點A為圓心，4c長

為半徑畫弧，交4B于點C,則圖中陰影部分的面積是（）

A.8^/3—47rB.8V3-2TTC.16V3-87TD.16V3-4/r

【答案】A

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=4百，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???在中，LA=30°,^ACB=90°,8c=4,

：.AB=2BC=8,AC=V82-42=4百，

**?陰影部分的面積=S&ACB-S扇形"D=gx4x4\/3-卻"；：；?=8百-4TT,

故選：A.

【點睛】本題考查了扇形面積的計算，含31r角的直角二角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?山東泰安?統(tǒng)考一模）如圖，RtZkZBC中，乙4=30。,乙48c=90。，將Rt△4BC繞點8逆時針方向

旋轉(zhuǎn)得到△48C—此時恰好點。在HC」:，48交AC于點E,則△A8E與△A8C的面積之比為（）

【答案】D

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=8C',乙4c8=WB=60°,則△BCC'是等邊三角形,ACBC=60°,

得出乙8區(qū)4=90。，設(shè)CE=a,則BE=V5a,AE=3a,求出會二:,可求出答案.

AC4

【詳解】VZJ4=30°,2G4BC=90°,

：.LACB=60°,

由旋轉(zhuǎn)得：BC=BC,^ACB=LA'CB=60°,

???A8CC'是等邊三角形，

：.LCBC=60°,

：.LABA'=60°,

：.LBEA=90°,Z-CBE=^A=30°,

設(shè)CE=a,則BC=2a,AC=2BC=4a,

:.由勾股定理得BE=V3a,AE=AC-CE=3a,

.AE3

??=一,

AC4

???zM8E與△力8c同高,

.??△48￡與4力BC的面積之比為2.

4

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?山東濟南?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，=90。，ZC=30°,以點A為圓心，任

意長為半徑作弧，分別交邊AB,4c于點P,Q：再分別以點P,Q為圓心，以大于：PQ的長

為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線AE交BC于點F.設(shè)AABF,AABC的面積分別為S1，S?,

則金的值為（）

S2

A.-B.-C.-7=D.-

23代4

【答案】B

【分析】根據(jù)作圖過程可知：AF^ABAC的平分線，設(shè)BF=x，在Rt^ABC中，/_B=90°,"=30°,

則在Rt^ABF中，F(xiàn)A=2x,分別表示出Si.S2,即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：是NB4C的平分線，

：.LBAF=LCAF=-￡.BAC,

2

'：LB=90°,乙C=30°,

：.LBAC=60°

：.2.BAF-^.CAF--^.BAC-30°,

2

：.ACAF=zc=30°

：.FA=FC

設(shè)BF=x,則在Rt△ABF中，F(xiàn)A=2x

:.FC=FA=2x,BC=BF+FC=x+2x=3x,

13x

?.?&=9?AB/至S2.BJAB=”B'

?S1二28二1

飛~AB3

故選B.

【點睛】本題考查了先平分線的作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?浙江金華?統(tǒng)考一模)把一副「角尺如圖所示拼在一起，其中AC邊長是2逐，則△ACO的面枳是

()

A.4A/2B.6C.4V3D.6或

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理得到BC=VAC?+482=4g,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到。。二弓AC=4,過人作

人石_LCO交。。的延長線于E,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：VZCAB=90°,ZACB=ZABC=45°,AC=2限,

:,AC=AB=2瓜

:?BC=ylAC2+AB2=4V3,

VZBCD=90°,NCBD=30。,

：.CD=—BC=4,

3

過A作AELCD交DC的延長線于E,

???NEC8=90。，

:.N4CE=45。，

:.AE2+CE2=AC2,

：,AE=—AC=2y/3

2f

:.AACD的面積=1CD*A￡=gx4x26=4技

故選:c.

【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

題型04利用勾股定理求線段長

12.（2021?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示,

若水面寬48=48cm,則水的最大深度為（）

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

【答案】C

【分析】過點O作。。_L4B于。，交。。于E,連接04,根據(jù)垂徑定理即可求得A。的長，又由。。的直

徑為52cm,求得QA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得。。的長，進(jìn)而求得水的最大深度OE的長.

【詳解】解：過點。作于。，交。O于E,連接04,

由垂徑定理得：AD=^AB==24cm,

???。0的直徑為52c771,

0A=OE=26cm,

在中，由勾股定理得：0D=70Az一一。2="262-242=10C7TI,

:.DE=0E—。。=26—10=16cm,

工水的最大深度為16sn,

故選：C.

【點睛】本題主要考看了垂徑定理的知識.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三

角形，利用勾股定理解決.

13.（2022?云南昆明,官渡六中?？家荒＃┰?48c中，"EC=90。，若AC=100,sin力=則48的長是（）

A.出B.蚪C.60D.80

35

【答案】D

【分析】根據(jù)二角函數(shù)的定義得到“。和AC的比值，求出〃C,然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：VZA5C=90°,sinZA=^=^AC=100,

ABC=100x3^5=60,

:.4c2-8C2=80,

故選D.

【點睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇

兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形0ABC.若OC=5BC=1,乙AOB=30°,

貝1」0力的值為（）

圖2

C.\f2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理和含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?:乙OBC=9。。,OC=y[5,BC=1,

:.OB=y/OC2-BC2=J（布）2-I2=2

???N力=90°,乙AOB=30°,

.?.4B=RB=1,

???OA=yJOB2-AB2=V22-l2=用,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

題型05利用勾股定理求面積

15.（2022?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┤糁苯侨切蔚膬蛇呴L分別是方程/-7%+12=0

的兩根，則該直角三角形的面積是（）

A.6B.12C.12或乎D.6或手

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，先將方程/-7%+12=0的兩根求出，然后對兩根分別作為直角三角形的直角邊和斜

邊進(jìn)行分情況討論，最終求得該直角三角形的面積即可.

【詳解】解方程/一7%+12=0得%=3,x2=4

當(dāng)3和4分別為直角三角形的直角邊時，面積為：X3X4=6；

當(dāng)4為斜邊，3為直角邊時根據(jù)勾股定理得另一直角邊為二孕=夕，面枳為gx夕X3=孚；

則該直角三角形的面積是6或呼，

故選:D.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面積求解，熟練

掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

16.（2023?河南南陽?統(tǒng)考三模）如圖，在正方形4BCD中，48=4cm,在等腰直角三角形EFG中，HEG=90°,

FF=10cm.邊與FG在同一直線上.CF=8cm.若正方形45CD以2cm/s的速度沿直線向右運動，經(jīng)過.

s,此三角形和正方形重置部分的面積是4cm2.

E

D

C

【答案】（4+e）或（6+4近）

【分析】分兩種情況討論，當(dāng)CD交￡廣于點〃和力B交EG于點H時.，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形

的面積公式即可求解.

【詳解】解：???在等腰直角三角形EFG中，

LEFG=45°,

當(dāng)CD交EF于點H時,

:?乙HFC=乙FHC=45°,

.??設(shè)b=CH=x,

由題意得=4,

解得％=2^2,即CF=CH=2&,

，點C移動的距離為8+2企，

所用時間為巴乎=4+或（s）；

當(dāng)交EG于點”時，

:.乙HGB=乙BHG=45°,

同理，得BG=BH=2\[2,

：,CG=4-BG=4-2V2,

???在等腰直角三角形EFG中，AFEG=90°,EF=10cm,

:.FGMEEF=\。鼻,

，點C移動的距離為8+10V2+4-2a=12+8VL

所用時間為歿底=6+4或(s)；

故答案為：(4+甸或(6+4&).

【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角

三角形的性質(zhì).

17.(2。23?廣東潮州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，△出汨是等腰直角三角形，AC經(jīng)過點兒過點次作!MlAC,過

點。作DCIIB4若4。=10,CD=8,求△BOE的面積.

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=OE,乙BED=9。。,證明△4E8三△CDE(AAS),由全等三角形

的性質(zhì)得出CO=4。求出CE的長，由三角形面積公式可得出答案.

【詳解】解：???△BE。是等腰直角三角形，

：.BE=DE,ABED=90°,

：.LAEB+Z.CED=90。，

,：BALAC,

??.乙4=90。，

：.LAEB+ABE=90°,

：.LABE=MED,

\'DC\\BA,

：,LC=180。一乙4=90°=乙4,

?入AEB三△COE(AAS),

：.CD=AE,

*：AC=10,CD=8,

：,CE=AC-AE=2,

在DUE中，由勾股定理得：DE3=EC24-CD2=68,

,?S&BDE=2^^二%.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△HE8三△6?/)￡是

解題的關(guān)鍵.

題型06已知兩點坐標(biāo)求兩點距離

18.(2022?廣東中山?校聯(lián)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(3：-2)到原點的距離是—.

【答案】V13

【分析】根據(jù)兩點的距離公式計算求解即可.

【詳解】解：由題意知點(3,-2)到原點的距離為J(3-0尸+(—2—0尸=同

故答案為：713.

【點睛】本題考查了用勾股定理求解兩點的距離公式.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握距離公式：4H1，%)、

8(%2，乃)兩點間的距離公式為4B=yj(x1-x2y+(y1-y2y.

19.(2022.寧夏銀川?銀川市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測)閱讀下列一段文字，然后回答卜.列問題.已知在平面

內(nèi)兩點P/(XI，9)、Pl(X2，＞2)，其兩點間的距離—無2/+(力—%/，同時，當(dāng)兩點所在的

直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為民■刈或仇-_y/|.

(1)已知A(2,4)、8(-3,-8),試求4、8兩點間的距離；

⑵已知4、8在平行于)，軸的直線上，點A的縱坐標(biāo)為4,點B的縱坐標(biāo)為-1,試求4、8兩點間的距離;

(3)已知一個三角形各頂點坐標(biāo)為D(I,6)、E(-2,2)、F(4.2),你能判定此三角形的形狀嗎？說明理

由.

【答案】(1)A8=13

(2)AB=5

(3)ADEV是等腰三角形，理由見解析

【分析】(1)直接套公式^(基一、)2+(力一丫?)?即可求解;

(2)根據(jù)題干中“當(dāng)兩點所在的直線平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸對，兩點間距離公式可簡化為必-回或值?

刈”即可求解;

(3)套公式-Qi+(力一ya)?求出三角形三邊的長度即可求解?

【詳解】(1)解：由題意可知4、I兩點間的距離為J(2+3)2+(4+8)2=13,

故a、B兩點間的距離為13.

(2)解：由題意可知，直線平行y軸，

3兩點之間的距離為4.(?1)=5.

(3)解：△￡>￡尸是等腰三角形，理由如下：

22

DE=7(-2-I)4-(2-6)=5?

EF=，(4+2)2+(2-2)2=6,

DF=J(4-1。+(2-6)2=5,

:?DE=DF,

???△￡)￡：?是等腰三角形.

【點睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點之間距離的求法，其本質(zhì)是勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意即可求

解.

題型07判斷勾股數(shù)問題

20.(2023.陜西西安.陜西師大附中校考三模)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，

經(jīng)隅五”，我國占代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦觀

察下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為

1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17：…，若此類勾

股數(shù)的勾為10，則其弦是.

【答案】26

【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果M是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，Q=m(m為偶數(shù)且血工4),根據(jù)所給

的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果。力c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m(機為偶數(shù)且mN4),則另一

條直角邊b=管丫-1,弦c=⑨之十1.

則弦為(當(dāng))+1=26,

故答案為：26.

【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

21.(2022?河北石家莊?校聯(lián)考三模)已知：整式力二九2+1,B=2n,C=n2-l,整式C>0.

(1)當(dāng)n二1999時，寫出整式4+B的值______(用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果)；

(2)求整式42一82；

(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)幾取正整數(shù)時，整式4、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由.

【答案】(1)4x106

⑵(M-1產(chǎn)

(3)王確，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意可得，4+8=(/+1+2幾)=(九+1)2,把刀=1999代入計算應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表

示方法進(jìn)行計算即可得出答案；

(2)把A=n2+1,8=2九，代入42—B2中，可得(彥+1尸一(2n)2,應(yīng)用完全平方公式及因式分解的方

法進(jìn)行計算即可得出答案；

(3)先計算辟+。2=(2n)2+(九2一1)2,計算可得(M+1)2,應(yīng)用勾股定理的逆定理即可得出答案.

(詳解】(1)解：A+B=(n24-1+2n)=(n+l)2,

當(dāng)人=1999時，

原式=(1999+l)2

=20002

=4xl06；

故答案為：4X106；

(2)A2-B2=(n2+I)2-(2n)2

=(n2)24-2n2+1-4n2

=(n2)2-2n2+1

=(n2-l)2；

(3)嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：

vB2+C2=(2n)2+(n2—l)2

=4n2+(n2)2—2n2+1

=(n24-1)2,

:.B2+C2=A2,

二當(dāng)九取正整數(shù)時，整式4、B、。滿足一組勾股數(shù).

【點睛】本題主要考杳了勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法的計

算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

22.(2019?安徽馬鞍山?校聯(lián)考二模)若正整數(shù)a,b,cCa<b<c)滿足。2+/=/,則稱(〃，力，c)為一組

“勾股數(shù)”.

觀察卜列兩類“勾股數(shù)”：

第一類（。是奇數(shù)）:（3,4,5）；（5,12,13）：（7,24,25）；...

第二類（。是偶數(shù)）：（6,8,10）；（8,15,17）；（10,24,26）；...

（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；

（2）分別就。為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用。表示方和c,并選擇其中一種情形證明（a,b,c）是“勾股數(shù)”.

【答案】（1）第一組（〃是奇數(shù)）：9,40,41（答案不唯一）；第二組（〃是偶數(shù)）：12,35,37（答案不唯

一）；（2）當(dāng)。為奇數(shù)時，b=三4c=三2；當(dāng)。為偶數(shù)時，5=-c=?+l；證明見解析.

2244

【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義因可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)〃為奇數(shù)時，當(dāng)〃為偶數(shù)時，根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）第一組（。是奇數(shù)）：9,40,41（答案不唯一）：

第二組（“是偶數(shù)）：12,35,37（答案不唯一）；

（2）當(dāng)〃為奇數(shù)時，b=三二，c=三匚；

22

當(dāng)。為偶數(shù)時，b=三—1,c=：+l；

44

證明：當(dāng)〃為奇數(shù)時，a2+b2=a2+=（哼B=c?,

:.（〃，b,c）是“勾股數(shù)”.

當(dāng)〃為偶數(shù)時，a2+b2=a2+（Y_1）=（9+1）=占

???（〃，b,c）是“勾股數(shù)”

【點睛】本題考查了勾股數(shù)，數(shù)字的變化類■規(guī)律型，讀懂表格，從表格中獲取有用信息進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是

解題的關(guān)鍵.

題型08勾股定理與網(wǎng)格問題

23.（2020?山東聊城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,△48C的

頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin乙4cB的值為（）.

【答案】D

【分析】過點A作/1D1BC于點。，在RtA/lCO中，利用勾股定理求得線段AC的長，再按照正弦函數(shù)的定

義計算即可.

/.s\nz.ACB=臆=g，

故選：D.

【點睛】本題考杳了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預(yù)測）如圖，在9x5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點

A,B,C都在格點上，若8。是N4BC的平分線，則BD的長為（）

【答案】A

【分析】利用勾股定理求出力8、BC、"的長，可得△48C為等腰三角形，利用等腰三角形三線合一可得40

的值，繼續(xù)用勾股定理即可求出5D的值.

【詳解】解：由題可知，AB=5,BC=V324-42=5,AC=V92+32=3710,

AB=BC,

又???80平分乙4BC,

...AD=^AC=^-t且801AC、即三角形A8。是直角三角形，

二BD=yjAB2-AD2=卜一（嚕）2=祟

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的三線合一，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

題型09勾股定理與無理數(shù)

25.（2020?河南?模擬預(yù)測）小明學(xué)了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進(jìn)行練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原

點為O,在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A,然后過點A作AB_LOA,使AB=3（如圖）.以O(shè)為圓心，OB的長

為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P,則點P所表示的數(shù)介于（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【答案】C

【分析】利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可求得答案.

【詳解】由作法過程可知，OA=2,AB=3,

VZOAB=90°,

：，OB=y/OA2+AB2=V22+32=V13,

???P點所表示的數(shù)就是g,

,:病<V13<代，

A3<yfl3<4,

即點P所表示的數(shù)介于3和4之間，

故選C.

【點睛】本題考查了勾股定理和無理數(shù)的估算，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容以及無理數(shù)估算的方法是解題的

關(guān)鍵.

26.（2022?廣東佛山?西南中學(xué)?？既＃┕垂啥ɡ碓凇毒耪滤阈g(shù)》中的表述是：“勾股術(shù)日：勾股各自乘,

井而開方除之，即弦”.即c=78十，（a為勾,b為股,c為弦），若“勾”為2,“脫'為3,則“弦“最接近的

整數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算術(shù)平方根的性質(zhì)估計其最接近的整數(shù).

【詳解】解：依題意“弦”為配百=g,

而3.5=V1225<>/13<^=4,

.木弦”最接近的整數(shù)是4.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了利用勾股定理進(jìn)行計算，同時也利用了算術(shù)平方根的性質(zhì)估計無理數(shù)的大小.

27.（2019?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖所示，數(shù)軸上點4表示的數(shù)是-1,。是原點，以4。為邊作正方形AOBC,

以4為圓心、力8長為畫弧交數(shù)軸于片、P2兩點，則點Pi表示的數(shù)是，點P?表示的數(shù)是（結(jié)果精

確到0.1,參考數(shù)據(jù)：V21.41,731.73）.

-3-2-1AOP2123

【答案】-2.40.4

【分析】首先根據(jù)題意求得力。=80=1,再利用勾股定理求得力8=V2,然后根據(jù)題意可得HP】=AP2=

AB=a,最后根據(jù)數(shù)軸上點的相對位置求得點所表示的數(shù).

【詳解】解：???點4表示的數(shù)是-1,。是原點，以4。為邊作正方形力。8c

??AO=BO=1

=y/AO2+BO2=V2

???以A為圓心、AB長為畫弧交數(shù)軸于P1、P2兩點

.\APi=AP2=AB=y/2

，點尸1表示的數(shù)是一1一企右-2.4：點P?表示的數(shù)是一1+V2?0.4.

故答案是:—2.4；0.4

【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理，還涉及到了正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等，能利用勾股定

理求得48=&是解題的關(guān)鍵.

題型10以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

28.（2020?浙江?一模）如圖來自占希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個

半圓的直徑分別為直角三角形力8C的斜邊8C,直角邊灰色部分面積記為Si，黑色部分面積記為§2,

白色部分面積記為S3,則（）

A.Sr=S2B.S2—S3C.Si=S3D.Sj=S2—S3

【答案】A

【分析】由勾股定理，由整個圖形的面枳減去以AC為直徑的半圓的面枳，即可得出結(jié)論.

【詳解】RQA8C中，

,：AB2^AC2=BC2

???S2=）G甸2+扛（次）2一1（）。）2+S.ABC

=^n（AB2+AC2-BC2）+S

O6ABC

=S].

故選A.

【點睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數(shù)學(xué)常識；熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

29.（2019?內(nèi)蒙占鄂爾多斯?校聯(lián)考一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向外作等邊三角形、半圓、

等腰直角三角形和正方形，上述囚種情況的面積關(guān)系滿足S|+S2=S3的圖形有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【詳解】解：(1)Si=—a2>S2=—^2,S3=—c2?\,a2+b2=c2—a2+—b2=—c2,/.Si+S7=S^.

444444f

)222222222

(2)S=—4a,S4z=—b4>Si=—c?Va+b=c,—4a+4—b4=—c>Si+S2=S1.

(3)Si=-a2>S2=-b2,S3=-C2?*.*a2+b2=c2,.*.-a2+-b2=-c2,/.Si+82=83.

444444

(4)Si=a2,S2=b2,S3=c2,Va2+b2=c2,.*.81+82=83.

綜上，可得：面積關(guān)系滿足Si+S尸S3圖形有4個.

故選D.

30.(2021?江蘇無錫??？级?如圖，町AABC中，NACB=90。，4C=8,BO6,分別以48、AC.BC為邊

在A8的同側(cè)作正方形A4北、AC卜G、BC1H,四塊陰影部分的面積分別為S/、出、S3、%Wl5/+52+5J+5>

等于__________.

【分析】過D作B尸的垂線交BF于N,連接川，容易證得ZL4cB蘭ABND,AACB蘭ZL4GE,則有%4c8=SABND,

SAACB=Si；根據(jù)DN=G,DN//CLz/VC/=90°,可證得四邊形ONG是矩形，即。、/、〃三點共線，根

據(jù)AAS可證4MND三4。。氏△EFM川。則有S^MND=S/OCB，S2=SR^Dor可得S3=SRC「則SI+

S2+S3+S4=3SRSA8C，據(jù)此求解即可，

【詳解】解：如圖示，過。作8戶的垂線交B尸于N,連接川，

F

F^\M「二

'：AB=AD,Z.ACB=乙BND=9?！?Z.ABC+Z.CAB=Z.ABC+乙NBD=90°

：.LCAB=乙NBD

：.6ACBABND,

**^ACB=S^BND'

同理可證44Q?^AAGE,

?*?S^ACB=S]>

：?DN=BC=CI,AC=BN,

貝I」有"=BN

??NDNC=乙ICB=90°

：.DN//Ch

???四邊形ONG是平行四邊形，

???/NG=90°,

二四邊形DNG是矩形，

乙DIC=90°,

：.D、/、，三點共線，

■:乙MDN+乙NDB=4DBN+乙NDB=90°

：?&MDN=Z-DBN

又YND=CB,乙MND=Z.OCB=90°,

:"MND三AOCB

**?乙DMN=Z.BOC?MN=OC，并有：S4MND=^AOCB^

???S3=SRSDMN+S梯形DNCO=SRCBOC+S梯形DNCO=SRSBDN=SRSABC

■:乙DMN=^EMF,乙DOI=^BOC,

：,LEMF=乙DOI

?；￡DMN=^EMF,/.DOI=Z.BOC,

J.LEMF=乙DOI

?:FC=BN

：.FN=BC=CI

：,FM+MN=CO+01

：,FM=01

?:乙EFM=乙DIO=90°

:MEFM三△D/O

即：S?=SRSDOI

.，?S]+S4=SRI&DBH-SRLDN=SRSABC，

??.&+S?+S3+S4

=S[+S3+(S2+S4)

=SRSABC+SRIXABC+SRSABC

=3SptAADC

1

=3x-ACBC

乙

1

=3x-x8x6

乙

=72

故答案為：72.

【點睛】本題考查勾股定理的知識，將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

31.(2020?新疆?統(tǒng)考二模)圖中是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形.若最大的正方形￡的邊長為3,則正方形4、B、C、。的面積之和為.

【分析】根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理得出正方形力、B、C、。的面積之和為正方形E的面積，然后代

入正方形的邊長即可求解.

【詳解】如圖，

:.FJ=MN,1H=JG

由勾股定理得，F(xiàn)J2+JG2=FG2,PM2+PN2=MN2,Q12+QH2=IH2

：.PM2+PN2=FJ2,QI2+QH2=JG2

???正方形A的面積為PM2,B的面積為PN2,C的面積為Q/2,D的面積為QH?

???正方形A、B、C、D的面積之和為

PM2+PN2+QI2+QH2=FJ2+JG2=FG2=32=9

故答案為：9.

【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

題型11利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

32.（2021?廣東深圳?明德學(xué)校?？家荒＃蔷€互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂

美“四邊形ABCD,對角線4C、BD交于點。.若AD=2,BC=4,則/IB?+CD2=.

【答案】20

【分析】由垂美四邊形的定義可得ACJ_BD,再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2,從而求解.

【詳解】???四邊形ABCD是垂美四邊形，

AAC±BD,

???ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AAD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BCM,

：.AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

故答案為：20.

【點睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運用勾股定理.

33.（2022?山東濟南?統(tǒng)考二模）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,=C。，問四邊形力是垂美四邊形嗎？請說

明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形/BCD的對角線力C,BD交于點0.猜想：AB2+CD2^AD2+BC2^^

么關(guān)系？并證明你的猜想.

（3）解決問題：如圖3,分另IJ以的直角邊4C和斜邊28為邊向夕卜作正方形4CFG和正方形480E,

連結(jié)CE,BG,GE.已知力C=4,AB=5,求GE的長.

【答案】（1）四邊形力8（7。是垂美四邊形，理由見解析；（2）AS?十。。2=4。2十8（;2,證明見解析；（3）

GE=V73.

【分析】（1）連接力G80,先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線力C是線段80的垂直平分線，再根據(jù)

垂美四邊形的定義即可得證；

（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得力C18。，再利用勾股定理解答即可；

（3）設(shè)CE分別交4B于點M,交BG于點N,連接8E,CG,先證明△GHB會△C4E,得到乙48G=乙/lEC,再

根據(jù)角的和差可證=90。，即CE1BG,從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形，然后結(jié)合(2)的結(jié)論、

利用勾股定理進(jìn)行計算即可得.

【詳解】證明：(1)四邊形48CD是垂美四邊形，理由如下：

如圖，連接力C,BD,

*：AB=/W,

???點4在線段BD的垂直平分線上，

■:CB=CD,

???點C在線段8。的垂直平分線上，

工直線4C是線段8。的垂直平分線，即“C1B。，

???四邊形力BCD是垂美四邊形；

(2)+CD2=AD2+BC2,證明如下：

???四邊形48CD是垂美四邊形，

：.AC±BD.

：.LAOD=LAOB=Z.BOC=乙COD=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)如圖，設(shè)CE分別交于點M,交BG于點N,連接8E,CG,

???四邊形力CFG和四邊形48DE都是正方形，

：.LCAG=/.BAE=90。,AG=AC,AB=AE,

：.LCAG+Z-BAC=Z.BAE+乙BAC,^/.GAB=Z.CAE,

AG=AC

在AGAB^AC4E中，Z.GAB=Z.CAE,

AB=AE

：,LGAB三△C/1E(S力S),

：,LABG=Z.AEC,

又「44EC+/4ME=90。，44ME=iBMN,

：,z.ABG+^BMN=90Q,

=90°,即CE18G,

???四邊形CGE8是垂美四邊形，

由(2)得：CG2+BE2=CB2-^-GE2,

???48是/?￡44。8的斜邊，且AC=4,48=5,

AFC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,

在R￡A4CG中，CG2=AC2+AG2=32,

在RtZk/18E中，BE2=AB2+AE2=50,

，9+GE2=32+5O,

解得G￡=g或GE=-g(不符題意，舍去)，

故GE的長為房.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等

知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵.

34.(2022?河北廊坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知A40B和aMON都是等腰直角三角形，Z.AOB=LM0N=90°.

(1)如圖1,連接力M,BN,求證：AAOM"BON：

(2)如圖2,將△MON繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點N恰好在A3邊上時，求證：BN2+AN2=MN2.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）通過代換得對應(yīng)角相等，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得對應(yīng)邊相等，利用“SAS”即可證明4

AOM三ABON：

（2）連接4M,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用“SAS”證明AAOM為BON,得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，

從而可證NM4N=90。，再根據(jù)勾股定理，結(jié)合線段相等進(jìn)行代換，即可證明結(jié)論成立；

【詳解】（1）證明：'：LAOS=AMON=90°,

：.z.AOB+乙AON=乙MON+Z.AON,

即N/IOM=乙BON,

〈A403和AMON都是等腰直角三角形，

：.0A=OB,OM=ON,

???△HOM三△30N(SAS)：

(2)證明：連接AM,

：.LAOB-乙AON=乙MON-Z-AON,

即乙40M=z80N,

〈AAOB和AMON都是等腰直角三角形,

.\0A=OB,OM=ON,

：.LAOM三△BON(SAS),

???乙M40=乙NBO=45°,AM=BN,

J./-MAN=90°,

：.AM2+AN2=MN?,

/.BN2+AN2=MN2；

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理等知識點,

構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

35.（2022?北京石景山?統(tǒng)考二模）在△ABC中,^ACB=90°,CA=CB