數(shù)學(xué)期望在決策型問題中的應(yīng)用資料

0?上一記錄0返回O下載?打印?Em日il?下一記錄【標(biāo)題】數(shù)學(xué)期望在決策型問題中的應(yīng)用【作者】付奎【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)期望經(jīng)濟(jì)問題決策型問題【指導(dǎo)老師】林昌盛【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【正文】一、引言在日常生活和經(jīng)濟(jì)活動中，公民應(yīng)該具有合理的決策能力.所謂決策能力就是指決策分析，這是在20世紀(jì)發(fā)展起來幫助人們在復(fù)雜情況下,在可供選擇的行動中,作出選擇的一組數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法.決策分析有助于闡明許多復(fù)雜的情況，那里存在著數(shù)目極大的可能的行動以及許多不同的自然狀態(tài)，決策者必須平衡極大化期望和極小化風(fēng)險這樣的矛盾的要求，還必須在一個多階段過程的每一個階段做出決策.例如：個人的采購、求職、投資、企業(yè)的生產(chǎn)或經(jīng)營方案、股票和保險的獲利等方面.經(jīng)常需要對事物的進(jìn)展情況作出決策，以便用最有利的方式采取行動，由于事物的進(jìn)展情況和信息往往受隨機(jī)因素的影響，使得決策帶有風(fēng)險性.因此，人們常把數(shù)學(xué)期望作為決策參考的重要依據(jù).其原理如下：1、若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為：若級數(shù)絕對收斂，則稱為的數(shù)學(xué)期望或均值.2、若連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為若絕對收斂，則稱的值為的數(shù)學(xué)期望或均值.我們知道數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的概率平均值.因此，數(shù)學(xué)期望能夠從最大程度上刻畫、反映出各種隨機(jī)因素的影響，從而成為風(fēng)險決策的重要數(shù)字特征.二、主要定義定義1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為( )=( 1，2， )，若級數(shù)絕對收斂，則稱的值為的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記作 ,即.定義2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為,若絕對收斂，稱的值為的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記作()，即() .定義3隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是隨機(jī)變量，=()是的函數(shù)，()是連續(xù)實函數(shù).當(dāng)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為( ) ( 1，2， )，當(dāng)級數(shù)絕對收斂時，隨機(jī)變量()的數(shù)學(xué)期望為:() [()]當(dāng)是連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度是，若積分絕對收斂，隨機(jī)變量=()的數(shù)學(xué)期望為:() [()]數(shù)學(xué)期望無論從計劃還是從決策觀點(diǎn)看都是至關(guān)重要的，在日常生活和經(jīng)濟(jì)活動中，人們往往不自覺地利用它.本文就是通過具體的實例來說明數(shù)學(xué)期望在決策型問題(日常生活和經(jīng)濟(jì)活動中)中的應(yīng)用.三、數(shù)學(xué)期望在實踐中的應(yīng)用求職決策問題有三家公司為大學(xué)畢業(yè)生李明提供了應(yīng)聘的機(jī)會，按面試的時間順序這三家公司分別記為A、B、C,每家公司都可以提供極好、好、一般三種職位.每家公司根據(jù)面試情況決定給予何種職位或拒絕提供職位.按規(guī)定，雙方在面試后要立即作出決定提供、接受或拒絕某種職位,且不允許毀約.咨詢專家在為李明的學(xué)業(yè)成績和綜合素質(zhì)進(jìn)行評估后認(rèn)為,他獲得極好、好、一般、沒有的可能性分別為、 、、.三家公司的工資承諾見下表：李明如果把工資作為首選條件的話,那么他在各公司面試時,對該公司提供的各種職位應(yīng)如何對策？公司 職位極好好一般ABC解析：由于面試時間有先有后，使得李明在A、B公司作選擇時，還要考慮后面的C公司的情況，所以應(yīng)先從C公司開始討論：C公司的工資期望值為：(元)現(xiàn)在考慮B公司.因為B公司的一般職位工資只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司極好或好的職位，否者就到C公司應(yīng)聘.如此決策時，他的工資期望值為:(元)最后考慮A公司.只有極好職位的工資超過3015元，所以他只接受A公司極好的職位，否則就到B公司應(yīng)聘.因此，他的總決策是這樣的：先去A公司應(yīng)聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則就到B公司應(yīng)聘，若B公司提供極好或好的職位就接受，否則就到C公司應(yīng)聘，接受C公司提供的任何職位.在這一決策下，他的工資期望值為：（元）.營銷決策問題暑假期間，某書店計劃訂購一本新版書，根據(jù)以往經(jīng)驗來預(yù)測，這本新書銷售量為、、（本）的概率分別為、、，這本書的訂購價為元，銷售價為元，如果售不出以后處理剩書每本為元，試確定應(yīng)訂購多少本新書盈利才最大？分析：售出一本新書能得到利潤元，處理剩書將虧損元，為決定進(jìn)貨量，應(yīng)先求出在不同銷售量時盈利的數(shù)學(xué)期望.解：訂購本，銷售本，盈利（元），因此，盈利數(shù)的分布列為：（元）（1）訂購本，銷售本、本.盈利分別為（元），因此，盈利數(shù)的分布列為：（元）（2）訂購本，銷售本、本、本時盈利分別為（元）、 （元）、 （元），此時盈利數(shù)的分布列為:元根據(jù)盈利的數(shù)學(xué)期望較高，決定訂本.投資決策問題某人有萬元,有兩種投資方案:一是購買股票,二是存入銀行獲取利息.買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢,假設(shè)可分三種狀態(tài):形勢好、形勢中等、形勢不好（即經(jīng)濟(jì)衰退）.若形勢好可獲利萬元,若形勢中等可獲利萬元,若形勢不好要損失萬元.如果是存入銀行,假設(shè)年利率為,即可得利息元,又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為、和,試問選擇哪一種方案可使投資的效益較大?分析：要確定選擇哪一種投資方案，就必須通過計算這兩種投資方案對應(yīng)的收益期望值來進(jìn)行判斷.解：由假設(shè)，一年中兩種投資方式在不同經(jīng)濟(jì)形勢下對應(yīng)的收益與概率如下表所示：購買股票狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形勢好經(jīng)濟(jì)形勢中等經(jīng)濟(jì)衰退收益概率存入銀行狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形勢好經(jīng)濟(jì)形勢中等經(jīng)濟(jì)衰退收益概率從上表可以初步看出，如果購買股票在經(jīng)濟(jì)形勢好的經(jīng)濟(jì)形勢中等的情況下是合算的，但如果經(jīng)濟(jì)形勢衰退，則采取存入銀行的方案比較好.小面通過計算加以分析：如果購買股票，其收益的期望:元如果存入銀行，其收益的期望:元因此，按照期望收益最大原則，應(yīng)選擇購買股票.保險公司獲利問題一年中一個家庭萬元被盜的概率是，保險公司開辦一年期萬元上家庭財產(chǎn)保險，參加者需繳保險費(fèi)元，若在一年內(nèi)，萬元以上財產(chǎn)被盜，保險公司賠償元(<)，試問如何確定，才能使保險公司期望獲利?解：只需考察保險公司對任一參保家庭的獲利情況，設(shè)表示保險公司對任一參保家庭的收益，則的取值為或，其分布列為:根據(jù)題意：()>解得<，又>，所以￡(,)時保險公司才能期望獲利.進(jìn)貨問題設(shè)某種商品每周的需求是取從區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量，經(jīng)銷商進(jìn)貨量為區(qū)間中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損元．若供不應(yīng)求，則可以外部調(diào)劑供應(yīng)．此時一單位商品獲利元．為使商品所獲利潤期望不少于元，試確定進(jìn)貨量．解：設(shè)進(jìn)貨量為，則利潤為=()期望利潤為：()+依題意有：解得：故利潤期望值不少于元的最少進(jìn)貨量為單位.風(fēng)險決策問題某漁船要對下月是否出海作出了決策，如果出海后遇到好天氣，可得到收益元，如果出海后天氣變壞將損失元，若不出海，無論天氣如何都將承擔(dān)元損失費(fèi).據(jù)氣象部門的預(yù)測下月好天氣的概率是，天氣變壞的概率為，請你為漁船做出決定，是出海還是不出海？依據(jù)是什么？分析：因為天氣好與壞是一個不確定的因素，因此作出決策時會存在一定的風(fēng)險，但必須按風(fēng)險決策中的期望收益最大準(zhǔn)則選擇方案.解：設(shè)該漁船的一次試驗收益數(shù)為一隨機(jī)變量，則其分布列為：數(shù)學(xué)期望由>知，該漁船出海可得到收益的數(shù)學(xué)期望元高于不出海經(jīng)濟(jì)損失費(fèi)元，故應(yīng)選擇出海.方案決策問題某廠要決定今后年內(nèi)生產(chǎn)某電子產(chǎn)品的生產(chǎn)批量，以便及早做好生產(chǎn)前的各項準(zhǔn)備工作.根據(jù)以往銷售統(tǒng)計資料及市場調(diào)查和預(yù)測知：未來市場出現(xiàn)銷路好、銷路一般、銷路差三種狀態(tài)的概率分別為、和，若按大、中、小不同生產(chǎn)批量投產(chǎn)，今后年不同銷售狀態(tài)下的益損值如下所示：狀態(tài)益損銷路好銷路一般銷路差方案 概率大批量生產(chǎn)益損中批量生產(chǎn)益損小批量生產(chǎn)益損試作出分析，以確定最佳生產(chǎn)批量.解：比較期望益損法是常用的決策方法之一，下面算出每一方案的期望益損：比和 均大，所以認(rèn)為選擇中批量生產(chǎn)方案為優(yōu).決策優(yōu)化問題對某學(xué)校的名高三畢業(yè)生進(jìn)行乙型肝炎病毒檢查，可以用以下兩種方法：(1)每個人的血樣分別化驗，這時共需化驗次；(2)把每個人的血樣分成兩份，取個人的血樣各一份混在一起化驗，如果結(jié)果為陰性，那么對這個人只作一次檢驗就夠了；如果結(jié)果是陽性，那么再對這個人的另一份血樣逐個化驗，這時對這個人共需次化驗．據(jù)報道，對所有人來說，化驗結(jié)果為陽性的概率為.試比較兩種方法所需次數(shù)的多少．解:考慮第二種方法時，每個人所需的檢驗次數(shù)為.個人的混合血樣呈陰性的概率為,呈陽性的概率為.當(dāng)個人一組的混合血樣呈陰性時，可以認(rèn)為每個人需要次化驗；當(dāng)個人一組的混合血樣呈陽性時，可以認(rèn)為每個人需要次化驗．所以()()為是的函數(shù)，表3是取一些正整數(shù)時的值．(由計算器講行計算)表3函數(shù)值由以上數(shù)據(jù)可知，當(dāng)=時，最小，約為，即對每個人約需檢驗次，人約需次檢驗,因此應(yīng)采取第二種方法.把個人的血樣分成一組，所需檢驗次數(shù)最少,這樣可減少的工作量,從而提高了工作效率．而當(dāng)大于時，接近于,分組已經(jīng)沒有意義了.四、結(jié)