山西省大同市煤礦第四中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省大同市煤礦第四中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．2．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若從圓：的內(nèi)部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)，，則（）A． B．C． D．6．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．7．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．8．設(shè)過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．10．已知函數(shù)，，則的極大值點為()A． B． C． D．11．已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則_________.14．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)________．15．從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_______．16．設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有，則___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）的角的對邊分別為且，，求邊上的高的最大值.18．（12分）已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實數(shù)的最大值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，若有兩個極值點，，且，，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，,使得對任意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有兩個實根，且，求證：.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當(dāng)直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點；②若直線過橢圓的右焦點，試判斷是否為定值，并說明理由.22．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.2、C【解析】

由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，可得有解，令，則，對分類討論，得出時，取得極大值，也即為最大值，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，即有解，令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故時，取得極大值，也即為最大值，當(dāng)趨近于時，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運算求解等數(shù)學(xué)能力，屬于難題．3、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時，則時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題．5、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因為，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標(biāo)為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標(biāo)，最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設(shè)與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.9、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】

設(shè)，由，得，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，故，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.12、D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】，故，故選：D.【點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.4【解析】

因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性，即得解.【詳解】因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所.【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

解：故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數(shù)為9個，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個，故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).16、【解析】

利用行列式定義，得到與的關(guān)系，賦值，即可求出結(jié)果。【詳解】由，令，得，解得?！军c睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論.（2）由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值，可得邊上的高的最大值.【詳解】解：（1）∵函數(shù)，當(dāng)時，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即的最大值為3.再根據(jù)，故當(dāng)取得最大值3時，取得最大值為.【點睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，所用公式較多，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙忸}關(guān)鍵，本題屬于中檔題．18、（1）見解析；（2）最大值為.【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；（2）由可得出，并將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】（1）.當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則.綜上所述，，所以；（2）因為恒成立，且，，所以恒成立，即.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，實數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解，同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點在切線上以及斜率等于，構(gòu)造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，，不等式恒成立，等價于恒成立，，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當(dāng)時，，，有兩個極值點，，且，，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點的個數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)題意，在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)得，分類討論的單調(diào)性，結(jié)合題意，得出的解析式；（2）由為方程的兩個實根，得出，，兩式相減，分別算出和，利用換元法令和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出，即可證出結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意，對任意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立.則在上單調(diào)遞減，因為，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減.，當(dāng)時，由，有，此時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，綜上，，所以.（2）由為方程的兩個實根，得，兩式相減，可得，因此，令，由，得，則，構(gòu)造函數(shù).則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，可知，故，命題得證.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的解析式、以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想、解題分析能力和計算能力.21、（1）；（2）①證明見解析；②【解析】

（1）由題意焦距為2，設(shè)點，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，推導(dǎo)出，，，，由此猜想：直線過定點，從而能證明，，三點共線，直線過定點．②由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，推導(dǎo)出，，由此推導(dǎo)出（定值）．【詳解】（1）由題意焦距為2，可設(shè)點，代入橢圓，得，解得，四邊形的面積，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，，解得，從而，，，同理可得，，猜想：直線過定點，下證之：，，，，三點共線，直線過定點．②為定值，理由如下：由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，，，，（定值）．【點睛】本題考查橢圓