第五章測量誤差的基本知識

測量學(xué)第五章測量誤差的基本知識

本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)

1、測量誤差概念（重點(diǎn)）；

2、評定精度的標(biāo)準(zhǔn)（重點(diǎn)）

3、誤差傳播定律（重點(diǎn)）；

4、等精度直接觀測平差（難點(diǎn)）測繪工程系§

5-1測量誤差概述5.1.1測量誤差及其來源●測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等。

●

測量誤差的表現(xiàn)形式

●

測量誤差（真誤差

=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）三者共稱為觀測條件（觀測條件好，測量精度就高，反之，精度就低）,觀測條件一樣叫等精度觀測。否則~。1.粗差(錯誤)——超限的誤差錯誤產(chǎn)生的原因：較多a.可能由作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起。如大數(shù)讀錯、讀數(shù)被記錄員記錯、照錯了目標(biāo)等；b.可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起；c.可能是容許誤差取值過小造成的。

錯誤對觀測成果的影響極大，所以在測量成果中絕對不允許有錯誤存在。發(fā)現(xiàn)錯誤的方法：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測，通過多余觀測條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國家有關(guān)部門制定的各種測量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。測量誤差分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。5.1.2測量誤差的種類例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差

ld計(jì)算改正鋼尺溫度誤差

lt

計(jì)算改正水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C操作時抵消(盤左盤右取平均)…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：

儀器工具上的某些缺陷；觀測者的某些習(xí)慣的影響；外界環(huán)境的影響。5.1.2測量誤差的種類●系統(tǒng)誤差對觀測值的準(zhǔn)確度（偏離真值的程度）影響很大，必須消除。

(計(jì)算改正、觀測方法、儀器檢校)A、找出產(chǎn)生的原因和規(guī)律，對測量結(jié)果加改正數(shù)。

例：光電測距中的氣象、加常數(shù)、乘常數(shù)與傾斜改正數(shù)等。B、在觀測方法和觀測程序上采取一定的措施;

例：前后視距相等——水準(zhǔn)測量中i角誤差對h的影響、球氣差對h的影響及調(diào)焦所產(chǎn)生的影響。盤左盤右取均值——經(jīng)緯儀的CC不垂直于HH；HH不垂直于VV；度盤偏心差、豎盤指標(biāo)差對測角的影響。水準(zhǔn)測量往返觀測取均值——儀器和尺墊下沉對h的影響。C、仔細(xì)檢校儀器。

例：經(jīng)緯儀的LL不垂直于VV對測角的影響5.1.2測量誤差的種類3．偶然誤差——從表面上看，觀測誤差的大小和符號均呈現(xiàn)偶然性。

偶然誤差產(chǎn)生的原因：主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等，以及環(huán)境中不能控制的因素(如不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境)所造成。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差

。偶然誤差就單個而言具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。例如:

在某測區(qū)，等精度觀測了217個三角形的內(nèi)角之和，得到217個三角形閉合差

i(偶然誤差，也即真誤差)

，然后對三角形閉合差i進(jìn)行分析。分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。5.1.2測量誤差的種類誤差區(qū)間d△正誤差負(fù)誤差合計(jì)個數(shù)k頻率k/n個數(shù)k頻率k/n個數(shù)k頻率k/n0″～3″3″～6″6″～9″9″～12″12″～15″15″～18″18″～21″21″～24″24″～27″27″以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合計(jì)1080.4981090.5022171.0005.1.2測量誤差的種類從表中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差出現(xiàn)的個數(shù)比大誤差多；絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個數(shù)和頻率大致相等；最大誤差不超過27″。偶然誤差分布的表示方法：表格法（見課本84頁）頻率直方圖正態(tài)分布曲線5.1.3偶然誤差的特性a、頻率直方圖橫坐標(biāo)—以偶然誤差為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)—以頻率

d△(頻率/組距)為縱坐標(biāo)。在每一個區(qū)間上根據(jù)相應(yīng)的縱坐標(biāo)值畫出一矩形，各矩形的面積=誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率(Kn),而所有條形的總面積等于1。所有區(qū)間的矩形構(gòu)成了直方圖，如圖所示。5.1.3偶然誤差的特性b、正態(tài)分布曲線x=

y正態(tài)分布曲線

在直方圖中：當(dāng)n→∞，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。

正態(tài)分布曲線的方程式：式中、為常數(shù)；

=2.72828…sae令：，上式為：ax-=D)(()22221sspjaxex--=22221)(sspD-=D=efy5.1.3偶然誤差的特性

特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實(shí)用意義。

(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多(趨向性)；(3)絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等(對稱性)；(4)當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零(抵償性)：偶然誤差的特性：[]0limlim21=D=D++D+D￥?￥?nnnnnL5.1.3偶然誤差的特性誤差理論研究的主要對象——偶然誤差在測量的成果中：

錯誤可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，偶然誤差是不可避免的，它在測量成果中占主導(dǎo)地位，測量誤差理論主要是處理偶然誤差的影響。

●準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測量平差（求解最或是值并評定精度）先了解幾個概念:

●精（密）度（觀測值之間的離散程度）衡量精度的指標(biāo)主要有:方差、標(biāo)準(zhǔn)差、中誤差、相對誤差、極限（容許）誤差、權(quán)、協(xié)方差等?！?-2評定精度的指標(biāo)

標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)意義

表示的離散程度x=

y較小較大上式中稱為方差，稱為標(biāo)準(zhǔn)差：正態(tài)分布密度函數(shù)1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差:()()22221sspjaxex--=5.2.1中誤差

測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。2.中誤差:上式中，偶然誤差為觀測值

與真值X之差：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：

i=

i-

X觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差表示偶然誤差的離散情形：snn][limDD±=￥?snnmn][22221DD±=D++D+D±=L5.2.1中誤差5.2.1中誤差

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。5.2.1中誤差

——誤差絕對值與觀測量之比。

一般用于表示距離的精度。

用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。

分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。絕對誤差:

有符號，并且有與觀測值相同的單位的誤差。（如真誤差和中誤差）

絕對誤差主要用于衡量其誤差與觀測值大小無關(guān)的觀測值的精度。（如角度、方向等）

在某些測量工作中，如測距。絕對誤差不能完全反映出觀測的質(zhì)量。5.2.2相對誤差（相對中誤差）

K2<K1，所以距離S2精度較高。例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計(jì)算S1、S2的相對誤差。K1=——=——；K2=——=——100500020010000

0.0210.021解：5.2.2相對誤差（相對中誤差）根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d

內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|D=DD=DD-demdfPm22221)()(pò+-D-D=<DkmkmmdemkmP22221)(p5.2.3極限（容許）誤差

在測量工作中一般采用中誤差作為評定精度的指標(biāo)。誤差傳播定律：

說明觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律。間接觀測量:

在實(shí)際測量工作中，往往會碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的,由直接觀測的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出的量稱為間接觀測量。

例如：用水準(zhǔn)儀測量兩點(diǎn)間的高差h，通過直接觀測值后視讀數(shù)a和前視讀數(shù)b來求得的：h=a－b。

間接觀測量的誤差：

由于直接觀測值(a、b)中都帶有誤差,因此間接觀測量——函數(shù)(h)也必然受到影響而產(chǎn)生誤差?！?-3誤差傳播定律1.一般函數(shù)的中誤差代入(b)得對(a)全微分：設(shè)有函數(shù)：令的系數(shù)為，(c)式為：ixDiixFf??=為獨(dú)立觀測值ix設(shè)有真誤差，函數(shù)

也產(chǎn)生真誤差ixDZDZix由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：DZdzidxixD(a)),,,(21nxxxFZL=(b)nndxxFdxxFdxxFdZ??++??+??=L2211(c)nnxxFxxFxxFD??++D??+D??=DZL22115.3.1誤差傳播定律對Z觀測了k次，有k個式對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）對K個(e)式取總和：(f)[][][][][]?1=DD+D++D+D=DZnjijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122L(e)jijinnxxffxxffxxffxfxfxfDD++DD++DD+D++D+D=DZ2223131212122222221212LL(d))()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfD++D+D=DZD++D+D=DZD++D+D=DZLLLLLLLLL5.3.1誤差傳播定律(f)式兩邊除以K，得(g)式：由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，則：<<前面各項(xiàng)即(g)[][][][][]?1=DD+D++D+D=DZnjijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122L[]0lim=DD￥?nxxjin[][][][]KxfKxfKxfKnn22222221212D++D+D=DZLL(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm+++=LL5.3.1誤差傳播定律上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。

通過誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；

2.對函數(shù)式求全微分；

3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式?？紤]，代入上式，得中誤差關(guān)系式：iixFf??=(6-10)2222222121nnZmxFmxFmxFm÷÷????è???++÷÷????è???+÷÷????è???±=LL5.3.1誤差傳播定律2.幾種常用函數(shù)的中誤差

(1).倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))

全微分得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ±=±===22例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長度

=168.5mm

0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：1000:1l解：列函數(shù)式求全微分中誤差式m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000±=\±=±=′=±==′=SmmddlSlSlS5.3.1誤差傳播定律(2).線性函數(shù)的中誤差

解：對上式全微分：由中誤差式得：設(shè)有函數(shù)式全微分中誤差式nnxkxkxkZ±±±=LL2211nndxkdxkdxkdz±±±=LL22112222222121nnZmkmkmkm+++±=L例：設(shè)有某線性函數(shù)其中

、

、分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。

314121491144xxxZ++=321xxxmm6,mm2,mm3321±=±=±=mmmZm314121491144dxdxdxdz++=()()()()()()mm6.1623214121492144233222211±=′+′+′±=++±=xxxZmfmfmfm5.3.1誤差傳播定律(3).算術(shù)平均值的中誤差式

●對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。函數(shù)式全微分中誤差式[]nnnnnllllx12111+++==LLlnnlnlnddddx12111+++=L21221211222nnnnxmmmm+++±=L由于等精度觀測時，，代入上式：得mmmmn====LL21nmmnnmX±=±=221

由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

n5.3.1誤差傳播定律例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。ABhmm2±=mABhhm(4).和差函數(shù)的中誤差當(dāng)?shù)染扔^測時：上式可寫成：函數(shù)式：全微分：中誤差式：nxxxZ±±±=LL21ndxdxdxdz±±±=LL2122221nZmmmm+++±=Lmmmmmn=====L321nmmZ±=921hhhhAB+++=LLmm692±=±=±=nmmh5.3.1誤差傳播定律

解：

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

2222222121nnZmxFmxFmxFm÷÷????è???++÷÷????è???+÷÷????è???±=LL),,,(21nxxxFZL=xxZKmmKmKxZ±=±==22nmmZ±=nxxxZ±±±=LL21nnxkxkxkZ±±±=LL22112222222121nnZmkmkmkm+++±=L[]nnnnnllllx12111+++==LLnmmX±=5.3.1誤差傳播定律在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長度為d=23.4

mm，其中誤差md=±0.2

mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差mD

。解：函數(shù)關(guān)系式：D=Md，屬倍數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為：11.7m±0.1m?！纠?】5.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用【例2】 水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)a=1.734

m，前視讀數(shù)b=0.476

m，中誤差分別為ma=±0.002

m，mb=±0.003

m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258m±0.004

m。5.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(1)測量水平距離的精度基本公式：求全微分：水平距離中誤差：其中：【例3】5.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用解:(2)測量高差的精度基本公式：求全微分：高差中誤差：其中：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度?！纠?】5.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用

圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為mi=±2mm，假定視距平均長度為50m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為Lkm的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許值。解:1)每站觀測高差為：

2)每站觀測高差的中誤差：因視距平均長度為50m，則每公里可觀測10個測站，L公里共觀測10L個測站，L公里高差之和為：

L(km)高差和的中誤差為：【例4】5.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用在第二章中，取作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。往返高差的較差（即高差閉合差）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：(接上頁)5.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)要正確列出函數(shù)式

例：用長30m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為ml=±5mm，求全長D及其中誤差mD。

a）函數(shù)式

按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出

b）實(shí)際上全長應(yīng)是10個尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為

用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯誤的。5.3.3應(yīng)用誤差傳播定律時要注意的問題(2)在函數(shù)式中各個觀測值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。 如有函數(shù)式：而：

若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。直接用公式計(jì)算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得

（上面所得的結(jié)果是錯誤的）5.3.3應(yīng)用誤差傳播定律時要注意的問題因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。正確的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。5.3.3應(yīng)用誤差傳播定律時要注意的問題多余觀測:對一個未知量，進(jìn)行重復(fù)觀測。多余觀測目的

:提高觀測成果的質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)和消除錯誤。有一個多余觀測，就會產(chǎn)生一個矛盾（閉和差），消除矛盾的過程，稱為測量平差。直接觀測平差:重復(fù)觀測產(chǎn)生了觀測值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求出觀測值的最佳估值，同時對觀測質(zhì)量進(jìn)行評估，即對一個未知量的直接觀測值進(jìn)行平差.根據(jù)觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。先明確一些概念§5-4等精度直接觀測平差－－等精度直接觀測值的最或是值就是各觀測值的算術(shù)平均值。觀測值的算術(shù)平均值(最或然/是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X對某未知量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值

1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：[]nlnlllLn=+++=L215.4.1等精度直接觀測平差的最或然值當(dāng)觀測無限多次時：

得

當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X兩邊除以n：由[][]nXl-=D[][]XLXnln-=-=D[]0)(limlim=-=D￥?￥?XLnnnXnln=￥?][lim5.4.1等精度直接觀測平差的最或然值等精度觀測值的中誤差計(jì)算方法

a．由真誤差來計(jì)算當(dāng)觀測量的真值已知時,可根據(jù)中誤差估值的定義即由觀測值的真誤差來計(jì)算其中誤差。b．由改正數(shù)（最或然值誤差v）來計(jì)算

在實(shí)際工作中，觀測量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求得的。因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測值的最或然值來求觀測值的中誤差。5.4.2評定精度觀測值的改正數(shù):最或然值x與各觀測值

i之差，其表達(dá)式為:

在等精度直接觀測中，最或然值x即是各觀測值的算術(shù)平均值。即

顯然

式是改正數(shù)的一個重要特征，在檢核計(jì)算中有用。x=

nVi=x-

i(i=1,2,···,n)5.4.2評定精度比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，由改正數(shù)來計(jì)算等精度觀測值的中誤差(白塞爾公式)：1][-±=nvvm即在與中：nmnvvm][1][DD±=-±=1][][-=DDnvvn5.4.2評定精度證明如下：真誤差：改正數(shù)：對上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:1][][-=DDnvvnnnnnlxvlXlxvlXlxvlX-=-=D-=-=D-=-=DLLLL222211115.4.2評定精度中誤差定義:白塞爾公式:5.4.2評定精度最或然值的中誤差

一組等精度觀測值為l1、l2、…ln，其中誤差均相同，設(shè)為m，最或然值x（算術(shù)平均值）的中誤差M為：x=

n5.4.2評定精度解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測值的中誤差。次數(shù)觀測值VVV備注176

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