滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題11垂直平分線定理應(yīng)用的4種常見(jiàn)壓軸題型全攻略(原卷版+解析)

專題11垂直平分線定理應(yīng)用的4種常見(jiàn)壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一由垂直平分線定理求角的大小】 1【考點(diǎn)二由垂直平分線定理求線段的大小】 2【考點(diǎn)三由垂直平分線定理求三角形周長(zhǎng)的大小】 2【考點(diǎn)四垂直平分線定理應(yīng)用的拓展提高】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一由垂直平分線定理求角的大小】【例題1】如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，平分，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式1】如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，則（

）A． B． C． D．【變式2】如圖，在中，，垂直平分，垂足為點(diǎn)，垂直平分，垂足為點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式3】如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若垂直平分，垂足為點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【考點(diǎn)二由垂直平分線定理求線段的大小】【例題2】如圖，在中，點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，垂直平分，若，，則點(diǎn)A、O之間的距離為（）A．4 B．8 C．2 D．6【變式1】如圖，是的邊的垂直平分線，若的周長(zhǎng)為14，，則的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．7 C．8 D．11【變式2】如圖，在中，，線段的垂直平分線交，于點(diǎn)，，的周長(zhǎng)是，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式3】如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為23，的周長(zhǎng)為15，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【考點(diǎn)三由垂直平分線定理求三角形周長(zhǎng)的大小】【例題3】11．如圖，是的邊的垂直平分線，D為垂足，交于點(diǎn)E，且，，則的周長(zhǎng)是（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【變式1】如圖，在中，，．分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于D、E兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)F，連接．以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，若，則的周長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】如圖，等腰三角形底邊的長(zhǎng)為，面積是，腰的垂直平分線交于點(diǎn)，若為邊上的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最短為（

）

A． B． C． D．【變式3】如圖，在中，邊、的垂直平分線分別交于、，若，則的周長(zhǎng)為．

【考點(diǎn)四垂直平分線定理應(yīng)用的拓展提高】【例題4】如圖，在中，I是三角形角平分線的交點(diǎn)，連接，，，若，則的大小為（）

A． B． C． D．【變式1】如圖，在等腰中，，，的平分線與的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2】中，，點(diǎn)M在的內(nèi)部，BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，若連接PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則（

）（用含的代數(shù)式表示）．A． B． C． D．【變式3】如圖，在中，度，，，在直線上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．如圖，在中，，分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)的連線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則（

）

A． B． C． D．4．如圖，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．0 B．6二、填空題6．如圖，在中，的垂直平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)P，垂足分別為D，E，連接，，，若，則．7．如圖，中，，，，，垂直平分，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為．

8．如圖，的周長(zhǎng)為16，的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為，若，則的周長(zhǎng)是．

9．如圖，中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)．

10．如圖，在中，分別垂直平分，且交于，兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

（1）若的周長(zhǎng)為8，，則的長(zhǎng)為；（2）若，則的度數(shù)為．11．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)，這兩條直平分線分別交于點(diǎn)、．已知的周長(zhǎng)為．

（1）線段；（2）分別連接、、，若，則．12．如圖，已知在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．分別連接、、，已知，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．

13．如圖，在銳角三角形中，的面積15，平分交于點(diǎn)，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．14．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．已知的周長(zhǎng)為．分別連接、、，若的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．15．如圖，在中，、分別是、的垂直平分線，，則．

16．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，的垂直平分線交于點(diǎn)F，連接，，若的周長(zhǎng)為7，則的長(zhǎng)為．

17．如圖，D、E是的邊上的兩點(diǎn)，分別垂直平分，垂足分別為點(diǎn)M、N．若，則的度數(shù)為．

18．如圖，在中，是上一點(diǎn)，，垂直平分，于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，，則的長(zhǎng)為．19．如圖，在中，，的垂直平分線交于M，交于E，的垂直平分線交于N，交于F，則的周長(zhǎng)為．

三、解答題20．已知：如圖，中，，，是的垂直平分線交于D點(diǎn)．求證：．

21．如圖，在中，于點(diǎn)D，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連接，且．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．

專題11垂直平分線定理應(yīng)用的4種常見(jiàn)壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一由垂直平分線定理求角的大小】 1【考點(diǎn)二由垂直平分線定理求線段的大小】 2【考點(diǎn)三由垂直平分線定理求三角形周長(zhǎng)的大小】 2【考點(diǎn)四垂直平分線定理應(yīng)用的拓展提高】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一由垂直平分線定理求角的大小】【例題1】如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，平分，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、等邊對(duì)等角等知識(shí)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∵平分，∴，∴，故選：B．【變式1】如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．首先利用的垂直平分線交于點(diǎn)得到，進(jìn)一步得到，然后利用等腰三角形的性質(zhì)求得頂角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點(diǎn)E，∴，∴，∵在中，，∴，，故選：C．【變式2】如圖，在中，，垂直平分，垂足為點(diǎn)，垂直平分，垂足為點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．連接、，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：連接、，，是、垂直平分線的交點(diǎn)，、，、、，，，，．故選：A．【變式3】如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若垂直平分，垂足為點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．全等三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，連接，中垂線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，即可．解題的關(guān)鍵是得到為等邊三角形．【詳解】解：∵，∴，∴，連接，

∵垂直平分，∴，∴，∴為等邊三角形，∴；故選C．【考點(diǎn)二由垂直平分線定理求線段的大小】【例題2】如圖，在中，點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，垂直平分，若，，則點(diǎn)A、O之間的距離為（）A．4 B．8 C．2 D．6【答案】A【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊，連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，由等角對(duì)等邊可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【變式1】如圖，是的邊的垂直平分線，若的周長(zhǎng)為14，，則的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．7 C．8 D．11【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，證明，再根據(jù)周長(zhǎng)，進(jìn)行等量代換即可．【詳解】解：是的邊的垂直平分線，，，的周長(zhǎng)，，故選：C．【變式2】如圖，在中，，線段的垂直平分線交，于點(diǎn)，，的周長(zhǎng)是，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)：熟記：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，，，即，，，故選：B．【變式3】如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為23，的周長(zhǎng)為15，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線得到，利用三角形周長(zhǎng)得到，，進(jìn)而求出，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵垂直平分，∴，∵的周長(zhǎng)為23，的周長(zhǎng)為15，∴，∴故選：D．【考點(diǎn)三由垂直平分線定理求三角形周長(zhǎng)的大小】【例題3】如圖，是的邊的垂直平分線，D為垂足，交于點(diǎn)E，且，，則的周長(zhǎng)是（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的邊的垂直平分線，∴，∵，，∴的周長(zhǎng)是：．故選：B．【變式1】如圖，在中，，．分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于D、E兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)F，連接．以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，若，則的周長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】此題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出是解題關(guān)鍵．直接利用基本作圖方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：由基本作圖方法得出：垂直平分，則，，，，，的周長(zhǎng)為：，故選：B．【變式2】如圖，等腰三角形底邊的長(zhǎng)為，面積是，腰的垂直平分線交于點(diǎn)，若為邊上的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最短為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，連接，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積得出，再根據(jù)是線段的垂直平分線，可得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，從而得到的長(zhǎng)為的最小值，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，

，是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，的長(zhǎng)為的最小值，的周長(zhǎng)最短，故選：A．【變式3】如圖，在中，邊、的垂直平分線分別交于、，若，則的周長(zhǎng)為．

【答案】15【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵分別為邊、的垂直平分線，∴，∵，∴的周長(zhǎng)，故答案為：15．【考點(diǎn)四垂直平分線定理應(yīng)用的拓展提高】【例題4】如圖，在中，I是三角形角平分線的交點(diǎn)，連接，，，若，則的大小為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理：連接CO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，，求出，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接CO，

∵，∴，∴，∵O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴∴，故選：D．【變式1】如圖，在等腰中，，，的平分線與的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出，以及，再利用翻折變換的性質(zhì)得出進(jìn)而求出即可．【詳解】解：連接，的平分線與的中垂線交于點(diǎn)O，，，，∵在等腰中，，，，在和中，，，∵點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2】中，，點(diǎn)M在的內(nèi)部，BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，若連接PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則（

）（用含的代數(shù)式表示）．A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得,,即得,,即可求解.【詳解】解：∵BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q.∴,..∵.∴..故選：D.【變式3】如圖，在中，度，，，在直線上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如下圖，

作垂直平分線與相交于點(diǎn)P，可得，以A為圓心，為半徑畫圓，交有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，，以B為圓心，為半徑畫圓，交有一個(gè)交點(diǎn)，可得，∴符合條件的點(diǎn)P共有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查作圖基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)內(nèi)角和定理求得，由中垂線性質(zhì)知，即，從而得出答案．【詳解】解：在中，，，，由作圖可知為的中垂線，，，，故選A2．如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B3．如圖，在中，，分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)的連線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角求出即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，由作圖知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題．4．如圖，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，得，結(jié)合，計(jì)算即可．【詳解】∵在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，∴，∵，∴，∵，，∴，故選B．5．如圖，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．0 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】由“”可證，可得，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在與中，，∴∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，在中，的垂直平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)P，垂足分別為D，E，連接，，，若，則．【答案】45【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】解：的垂直平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)P，，，，，，，即：，，，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，，，，，垂直平分，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為．

【答案】7【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)．根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)，根據(jù)，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的值，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)的最小值為，即可．熟練掌握中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，

∵垂直平分，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，∴，∴的周長(zhǎng)，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的值，∴的周長(zhǎng)的最小值為；故答案為：7．8．如圖，的周長(zhǎng)為16，的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為，若，則的周長(zhǎng)是．

【答案】10【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵的周長(zhǎng)為16，∴，∵是線段的垂直平分線，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，故答案為：10．9．如圖，中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)．

【答案】19【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到，，結(jié)合周長(zhǎng)，進(jìn)行線段的等量代換可得答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，，∴，，又的周長(zhǎng)，，即，的周長(zhǎng)，故答案為：19．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等），進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，分別垂直平分，且交于，兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

（1）若的周長(zhǎng)為8，，則的長(zhǎng)為；（2）若，則的度數(shù)為．【答案】4/40度【分析】（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，，推出的周長(zhǎng)為，求解即可；（2）三角形的內(nèi)角和定理，得到，三線合一得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求解即可．【詳解】解：（1）∵分別垂直平分，∴，，∵的周長(zhǎng)，∴；故答案為：4；（2）∵，∴，∵，，分別垂直平分，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．本題的綜合性較強(qiáng)，正確的識(shí)圖，從復(fù)雜圖形中有效的獲取等量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)，這兩條直平分線分別交于點(diǎn)、．已知的周長(zhǎng)為．

（1）線段；（2）分別連接、、，若，則．【答案】13100【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和，（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，問(wèn)題隨之得解；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得答案．【詳解】（1）∵是線段的垂直平分線，∴，同理，，∵的周長(zhǎng)，∴，∴；（2）連接、、，

∵垂直平分，垂直平分，∴，∵，，，，，∴，即，故答案為：13，100．12．如圖，已知在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．分別連接、、，已知，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線得到，，，結(jié)合周長(zhǎng)求解即可得到答案；【詳解】解：∵邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)O，，∴，，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∵，∴的周長(zhǎng)為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等．13．如圖，在銳角三角形中，的面積15，平分交于點(diǎn)，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查三角形中的最短路徑，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，解題的關(guān)鍵是理解的長(zhǎng)度即為最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作于，∵平分，于點(diǎn)E，于，∴，∴∴當(dāng)點(diǎn)M與重合，點(diǎn)N與重合時(shí)，的最小值．∵三角形的面積為15，，∴，∴．即的最小值為．故答案為：．14．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．已知的周長(zhǎng)為．分別連接、、，若的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線得到，，結(jié)合的周長(zhǎng)為得到，再根據(jù)的周長(zhǎng)為即可得到答案；【詳解】解：∵邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相等線段轉(zhuǎn)換求出．15．如圖，在中，、分別是、的垂直平分線，，則．

【答案】/40度【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，又由，即可求得，則可得度數(shù)，繼而求得．【詳解】解：∵在中，、分別是、的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，的垂直平分線交于點(diǎn)F，連接，，若的周長(zhǎng)為7，則的長(zhǎng)為．

【答案】7【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可求出．掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點(diǎn)E，∴，∵的垂直平分線交于點(diǎn)F，∴，∵的周長(zhǎng)為7，∴．故答案為：717．如圖，D、E是的邊上的兩點(diǎn)，分別垂直平