高中數(shù)學湘教版（2019）選擇性必修第一冊 求軌跡方程

2.4.2圓的方程第2課時

動點的軌跡方程選擇性必修第一冊

第二章《直線和圓的方程》軌跡方程的定義軌跡的定義：平面上一動點M,按照一定規(guī)則運動,形成的曲線叫做動點M的軌跡.軌跡方程的定義：點M的軌跡方程是指點M的坐標(x,y)滿足的關系式.若求“軌跡方程”，只需寫出動點坐標x,y滿足的關系式，注意x,y的取值范圍；若求“軌跡”，則要先求出“軌跡方程”，再說明方程的軌跡圖形，注意“補漏”和“去掉多余”的點．求軌跡方程的關鍵：動中找定——在動點運動的過程中找出動點滿足的不變的性質。求軌跡方程——①直接法

①建：建立平面直角坐標系；②設：求誰的軌跡就設誰的坐標為(x,y);③限：找限制條件，即動點滿足的幾何關系；④代：將點的坐標代入幾何關系式中；⑤化：化簡代數(shù)式，查漏排余(建系不同,方程不同)求軌跡方程——②相關點法[例2]已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.求誰設誰為(x,y)點A的運動點M的運動引起找所求點與已知點的坐標關系，代入已知點的方程(x,y)(a,b)點A的方程點M的方程坐標關系代換鞏固：求軌跡方程解：設△ABC的重心M(x，y)，頂點C(a，b)，將②代入①得(3x＋3)2＋(3y＋3)2＝93.已知△ABC的頂點A(－3,0),B(0,－3),另一個頂點C在曲線x2＋y2＝9上運動.求△ABC的重心M的軌跡方程．由三角形重心坐標公式得化簡得△ABC重心M的軌跡方程求軌跡方程——③定義法例3等腰三角形的頂點A的坐標是(4,2)，底邊一端點B的坐標是(3,5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它是什么圖形.求軌跡方程——③定義法定義法[練習]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN為斜邊的直角三角形直角頂點P的軌跡方程，并說明它是什么圖形.求軌跡方程——④消參法

（1）在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t的每一個允許值，由上述方程組所確定的點M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。（2）相對于參數(shù)方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標關系的方程，叫做曲線的普通方程。參數(shù)方程的定義求軌跡方程——④消參法

(1)直接法：建立適當?shù)淖鴺讼岛?，設動點為(x，y)，根據(jù)幾何條件尋求x，y之間的關系式．求曲線方程的常見方法(2)定義法：如果所給幾何條件正好符合已學曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程．(3)代入法(相關點法)：利用所求曲線上的動點與已知曲線上動點的關系,把所求動點轉換為已知動點．具體地說,就是用所求動點的坐標(x，y)來表示已知動點的坐標,并代入已知動點滿足的曲線的方程,由此可求得動點坐標(x,y)滿足的關系．(4)消參法：鞏固：求軌跡方程1.長為2a的線段AB的兩個端點分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程.動點M的特征滿足某曲線的定義當A或B與O重合時,上式仍然成立.定義法直接法鞏固：求軌跡方程定義法相關點法鞏固：求軌跡方程直接法【課后練習】求軌跡方程

相關點法定義法【課后練習】求軌跡方程

消參法【課后練習】求軌跡方程

【課后練習】求軌跡方程

幾何法

補例

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點，P，Q為圓上的動點.若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程.解：設線段PQ的中點N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)