數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究函數(shù)第課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求函數(shù)的定義域1．求函數(shù)的定義域之前，不能對函數(shù)的解析式進行變形,否則可能會引起定義域的變化．2．求函數(shù)定義域的基本原則有:(1)如果f(x）是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.（2)如果f（x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合．（3）如果f（x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合．(4）如果f（x)是由幾個數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的實數(shù)的集合(即求各部分定義域的交集）．(5）對于由實際問題的背景確定的函數(shù),其定義域還要受實際問題的制約．【典型例題1】求下列函數(shù)的定義域：（1）f(x)＝；(2)f(x)＝;(3)f（x）＝(x∈Z)．思路分析：本題主要考查函數(shù)的定義域．只給出函數(shù)的關(guān)系式，而沒有指明它的定義域,那么函數(shù)的定義域就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的實數(shù)的全體構(gòu)成的集合．解:（1)要使有意義,x需滿足x－2≠0，即x≠2,故該函數(shù)的定義域為｛x｜x≠2}．(2)要使有意義，x需滿足3x＋2≥0，即x≥－，故該函數(shù)的定義域為.（3）要使有意義，x需滿足－x2＋2≥0，即－≤x≤,又結(jié)合x∈Z,則x等于－1,0，1,故該函數(shù)的定義域為｛－1，0，1｝．探究二用區(qū)間表示數(shù)集用區(qū)間表示數(shù)集要首先弄清區(qū)間的含義，掌握區(qū)間的四種形式所對應(yīng)的數(shù)集;其次要特別注意數(shù)集中的符號“≤”“≥”“＜"“＞"與區(qū)間中的符號“[”“］”“(”“)”的對應(yīng)關(guān)系．【典型例題2】（1）①數(shù)集｛x|x≤－2}用區(qū)間表示為______________；②數(shù)集{x｜x＞7｝用區(qū)間表示為______________;③數(shù)集｛x｜0＜x≤3}用區(qū)間表示為______________．(2）用區(qū)間表示數(shù)集｛x｜x＜－2或x≥0｝．(1）解析：①｛x|x≤－2}用區(qū)間表示為(－∞，－2];②｛x|x＞7}用區(qū)間表示為（7,＋∞）;③數(shù)集｛x｜0＜x≤3｝用區(qū)間表示為(0,3］．答案：①(－∞,－2]②（7，＋∞)③（0,3］（2）解:{x｜x＜－2或x≥0｝用區(qū)間表示為(－∞，－2)∪［0,＋∞)．探究三簡單函數(shù)值域的求法求函數(shù)的值域時，常用的方法有:(1）觀察法：通過對函數(shù)關(guān)系式的簡單變形,利用熟知的一些函數(shù)的值域，觀察求得函數(shù)的值域．(2)配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量的取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域的方法求函數(shù)的值域．（3)換元法：通過對函數(shù)的關(guān)系式進行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù),從而求出函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，要通過自己在解題過程中逐漸探索和積累．【典型例題3】求下列函數(shù)的值域:（1）y＝;(2)y＝x2－4x＋6，x∈［1,5）；(3)y＝2x－。思路分析：求函數(shù)的值域沒有統(tǒng)一的方法．如果函數(shù)的定義域是有限個值,那么就可將函數(shù)值都求出得到值域；如果函數(shù)的定義域是無數(shù)個值，則可根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點采取相應(yīng)的方法來求其值域，如，觀察法、配方法、換元法等．解：（1)(觀察法)y＝＝2＋。因為x≠3，所以≠0,所以y≠2。故所求函數(shù)的值域為｛y｜y≠2｝．（2)（配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.因為1≤x＜5，所以函數(shù)的值域為{y｜2≤y＜11｝．(3）（換元法）設(shè)t＝，則t≥0，且x＝t2＋1。所以y＝2（t2＋1)－t＝22＋.因為t≥0，所以y≥。故函數(shù)y＝2x－的值域為.探究四求函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式1．利用換元法求函數(shù)關(guān)系式時注意新元的取值范圍，即中間變量t的范圍．2．待定系數(shù)法適合于已知函數(shù)類型求函數(shù)關(guān)系式的題目．例如:已知函數(shù)為一次或二次函數(shù)時常用此法．【典型例題4】已知f(x－1)＝x2－2x＋7.（1)求f（2)的值；（2）求f（x)和f（x＋1)的函數(shù)關(guān)系式．思路分析：利用代入法或換元法．對（1)可令x＝3求得；對(2）可用“x＋1”去替換f（x－1)中的“x”即得f(x）,用“x＋2"去替換f（x－1)中的“x"即得f（x＋1)．解:(1）f(2)＝f（3－1)＝9－2×3＋7＝10.(2)方法一:f(x）＝f[(x＋1)－1］＝(x＋1）2－2（x＋1)＋7＝x2＋6，f(x＋1)＝f[(x＋2）－1］＝(x＋2）2－2（x＋2）＋7＝x2＋2x＋7。方法二：f(x－1）＝x2－2x＋7＝（x－1）2＋6，∴f(x）＝x2＋6，f（x＋1)＝(x＋1）2＋6＝x2＋2x＋7。方法三：設(shè)t＝x－1(t∈R),則x＝t＋1(t∈R),∴f（t)＝（t＋1)2－2(t＋1）＋7＝t2＋6，故f(x)＝x2＋6.f(x＋1）＝（x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7。點評已知類型為f(g（x）)＝h（x）的函數(shù)，求f(x）的函數(shù)關(guān)系式時,常常使用配湊法和換元法．在解答過程中,一定要把法則讀懂,分清法則f到底作用的變量是誰，然后利用化歸的思想，把待求問題轉(zhuǎn)向已知問題，從而使問題得以解決．探究五易錯辨析易錯點忽視函數(shù)的定義域而致誤【典型例題5】已知f（＋4）＝x＋8，求f(x）．錯解：令＋4＝t，則x＝（t－4）2，∴f（t)＝（t－4）2＋8(t－4）＝t2－16,∴f(x）＝x2－16.錯因分析：在換元時，未標(biāo)明t的取值范圍，而使f(x）缺少定義域．正解:方法一（配湊法)：∵f（＋4）＝x＋8＝(＋4)2－16,∴f(x)＝x2－16(x≥4)．方法二(換元法)：設(shè)＋