2024年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分）1．（3分）以下四個(gè)城市中某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是（）北京濟(jì)南太原鄭州0℃﹣1℃﹣2℃3℃A．北京 B．濟(jì)南 C．太原 D．鄭州2．（3分）5個(gè)相同正方體搭成的幾何體主視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）2024年浙江經(jīng)濟(jì)一季度GDP為201370000萬元，其中201370000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×1084．（3分）下列式子運(yùn)算正確的是（）A．x3+x2＝x5 B．x3?x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x45．（3分）菜雞班有5位學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)為：7，7，8，10，13．則這5位學(xué)生志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．106．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O．若點(diǎn)A（﹣3，1）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（﹣6，2），則點(diǎn)B（﹣2，4）的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）7．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE．若AE＝4，BE＝3，則DE＝（）A．5 B． C． D．49．（3分）反比例函數(shù)的圖象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）兩點(diǎn)．下列正確的選項(xiàng)是（）A．當(dāng)t＜﹣4時(shí)，y2＜y1＜0 B．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，y2＜y1＜0 C．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，0＜y1＜y2 D．當(dāng)t＞0時(shí)，0＜y1＜y210．（3分）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝2，．過點(diǎn)A作AE⊥BC的垂線交BC于點(diǎn)E，記BE長為x，BC長為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2二、填空題（每題3分）11．（3分）因式分解：a2﹣7a＝．12．（3分）若，則x＝．13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點(diǎn)，連接BC．已知∠ACB＝50°，則∠B的度數(shù)為．14．（3分）有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是．15．（3分）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長為．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．線段AB與A′B′關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′在線段OC上，A′B′交CD于點(diǎn)E，則△B′CE與四邊形OB′ED的面積比為．三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）17．（8分）計(jì)算：．18．（8分）解方程組：．19．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．（1）求BC的長；（2）求sin∠DAE的值．20．（8分）某校開展科學(xué)活動(dòng)．為了解學(xué)生對活動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查問卷和統(tǒng)計(jì)結(jié)果描述如下：科學(xué)活動(dòng)喜愛項(xiàng)目調(diào)查問卷以下問題均為單選題，請根據(jù)實(shí)際情況填寫．問題1：在以下四類科學(xué)“嘉年華”項(xiàng)目中，你最喜愛的是（A）科普講座（B）科幻電影（C）AI應(yīng)用（D）科學(xué)魔術(shù)如果問題1選擇C．請繼續(xù)回答問題2．問題2：你更關(guān)注的AI應(yīng)用是（E）輔助學(xué)習(xí)（F）虛擬體驗(yàn)（G）智能生活（H）其他根據(jù)以上信息．解答下列問題：（1）本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生中更關(guān)注“輔助學(xué)習(xí)”有多少人？（2）菜雞學(xué)校共有1200名學(xué)生，根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)該校最喜愛“科普講座”的學(xué)生人數(shù)．21．（8分）尺規(guī)作圖問題：如圖1，點(diǎn)E是?ABCD邊AD上一點(diǎn)（不包含A，D），連接CE．用尺規(guī)作AF∥CE，F(xiàn)是邊BC上一點(diǎn)．小明：如圖2．以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．小明：小麗，你的作法有問題．小麗：哦…我明白了！（1）證明AF∥CE；（2）指出小麗作法中存在的問題．22．（10分）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．時(shí)間里程分段速度檔跑步里程小明16：00～16：50不分段A檔4000米小麗16：10～16：50第一段B檔1800米第一次休息第二段B檔1200米第二次休息第三段C檔1600米（1）求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；（2）求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；（3）小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），對稱軸為直線．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（1）若點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；（3）當(dāng)﹣2≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．24．（12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點(diǎn)E，使AE＝AC，延長BA至點(diǎn)F，連結(jié)EF，使∠AFE＝∠ADC．（1）若∠AFE＝60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．（2）求證：①EF∥BC；②EF＝BD．

2024年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分）1．（3分）以下四個(gè)城市中某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是（）北京濟(jì)南太原鄭州0℃﹣1℃﹣2℃3℃A．北京 B．濟(jì)南 C．太原 D．鄭州【答案】C【解答】解：|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，∵1＜2，∴﹣1＞﹣2；∵3℃＞0℃＞﹣1℃＞﹣2℃，∴所給的四個(gè)城市中某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是太原．故選：C．2．（3分）5個(gè)相同正方體搭成的幾何體主視圖為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：從正面看，共有三列，從左到右小正方形的個(gè)數(shù)分別為2、2、1．故選：B．3．（3分）2024年浙江經(jīng)濟(jì)一季度GDP為201370000萬元，其中201370000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×108【答案】D【解答】解：201370000＝2.0137×108，故選：D．4．（3分）下列式子運(yùn)算正確的是（）A．x3+x2＝x5 B．x3?x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4【答案】D【解答】解：A．x3+x2不能合并同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．x3?x2＝x5，故本選項(xiàng)不符合題意；C．（x3）2＝x6，故本選項(xiàng)不符合題意；D．x6÷x2＝x4，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（3分）菜雞班有5位學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)為：7，7，8，10，13．則這5位學(xué)生志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解答】解：菜雞班有5位學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)為：7，7，8，10，13，從小到大排列排在中間的數(shù)是8，所以這5位學(xué)生志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為8．故選：B．6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O．若點(diǎn)A（﹣3，1）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（﹣6，2），則點(diǎn)B（﹣2，4）的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）【答案】A【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，點(diǎn)A（﹣3，1）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（﹣6，2），∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1：2，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，4），∴點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），故選：A．7．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：，解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜4，∴原不等式組的解集為：1≤x＜4，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：故選：A．8．（3分）如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE．若AE＝4，BE＝3，則DE＝（）A．5 B． C． D．4【答案】C【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，∵四邊形形EFGH是正方形，∴∠DHE＝90°，∴DE，故選：C．9．（3分）反比例函數(shù)的圖象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）兩點(diǎn)．下列正確的選項(xiàng)是（）A．當(dāng)t＜﹣4時(shí)，y2＜y1＜0 B．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，y2＜y1＜0 C．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，0＜y1＜y2 D．當(dāng)t＞0時(shí)，0＜y1＜y2【答案】A【解答】解：∵反比例函數(shù)中，k＝4＞0，∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，A、當(dāng)t＜﹣4時(shí)，t+4＜0，∵t＜t+4，∴y2＜y1＜0，正確，符合題意；B、當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，點(diǎn)P（t，y1）在第三象限，點(diǎn)Q（t+4，y2）在第一象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜0＜y2，原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；C、由B知，當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，y1＜0＜y2，原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；D、當(dāng)t＞0時(shí)，t+4＞0，∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，∵t＜t+4，∴y1＞y2＞0，原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．10．（3分）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝2，．過點(diǎn)A作AE⊥BC的垂線交BC于點(diǎn)E，記BE長為x，BC長為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2【答案】C【解答】解：過D作DH⊥BC，交BC延長線于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AD∥BC，∵AE⊥BC，DH⊥BC，∴AE＝DH，∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），∴CH＝BE＝x，∵BC＝y(tǒng)，∴EC＝BC﹣BE＝y(tǒng)﹣x，BH＝BC+CH＝y(tǒng)+x，∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2，∴22﹣（y﹣x）2（y+x）2，∴xy＝2．故選：C．二、填空題（每題3分）11．（3分）因式分解：a2﹣7a＝a（a﹣7）．【答案】a（a﹣7）．【解答】解：a2﹣7a＝a（a﹣7）．故答案為：a（a﹣7）．12．（3分）若，則x＝3．【答案】3．【解答】解：兩邊都乘以（x﹣1），得2＝x﹣1，解得x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，所以原方程的解為x＝3．故答案為：3．13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點(diǎn)，連接BC．已知∠ACB＝50°，則∠B的度數(shù)為40°．【答案】40°．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點(diǎn)，∴BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°．故答案為：40°．14．（3分）有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是．【答案】．【解答】解：∵有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，其中該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的數(shù)是4，8，∴該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是，故答案為：．15．（3分）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長為4．【答案】4．【解答】解：∵D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝4，故答案為：4．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．線段AB與A′B′關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′在線段OC上，A′B′交CD于點(diǎn)E，則△B′CE與四邊形OB′ED的面積比為．【答案】．【解答】解：如圖連接OE、A'D，∵AB關(guān)于過O的直線對稱，∴A'在BD延長線上，∵，∴設(shè)AC＝10k，BD＝6k，在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，CB＝OD＝3k，∵AB與A'B'關(guān)于過O的直線對稱，∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA，∴A'D＝B'C＝2k，∵∠A'ED＝∠B'CE，∴△A'ED≌△CEB'（AAS），∴DE＝B'E，∵OE＝OE，OD＝OB'，∴△DOE≌△B'OE（SSS），∴S△DOE＝S△B′OE，∵，∴．故答案為：．三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）17．（8分）計(jì)算：．【答案】7．【解答】解：原式＝4﹣2+5＝7．18．（8分）解方程組：．【答案】．【解答】解：，①×3+②得：10x＝5，解得：x，把x代入①得：2y＝5，解得：y＝﹣4，所以方程組的解是．19．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．（1）求BC的長；（2）求sin∠DAE的值．【答案】（1）14；（2）．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，∴BD8；∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6，∴BC＝BD+CD＝8+6＝14；（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE7，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1，∵AD⊥BC，∴，∴sin∠DAE．20．（8分）某校開展科學(xué)活動(dòng)．為了解學(xué)生對活動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查問卷和統(tǒng)計(jì)結(jié)果描述如下：科學(xué)活動(dòng)喜愛項(xiàng)目調(diào)查問卷以下問題均為單選題，請根據(jù)實(shí)際情況填寫．問題1：在以下四類科學(xué)“嘉年華”項(xiàng)目中，你最喜愛的是A（A）科普講座（B）科幻電影（C）AI應(yīng)用（D）科學(xué)魔術(shù)如果問題1選擇C．請繼續(xù)回答問題2．問題2：你更關(guān)注的AI應(yīng)用是E（E）輔助學(xué)習(xí)（F）虛擬體驗(yàn)（G）智能生活（H）其他根據(jù)以上信息．解答下列問題：（1）本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生中更關(guān)注“輔助學(xué)習(xí)”有多少人？（2）菜雞學(xué)校共有1200名學(xué)生，根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)該校最喜愛“科普講座”的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）32人；（2）324人．【解答】解：（1）80×40%＝32（人），答：本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生中更關(guān)注“輔助學(xué)習(xí)”有32人；（2）1200324（人），答：估計(jì)該校最喜愛“科普講座”的學(xué)生人數(shù)大約有324人．21．（8分）尺規(guī)作圖問題：如圖1，點(diǎn)E是?ABCD邊AD上一點(diǎn)（不包含A，D），連接CE．用尺規(guī)作AF∥CE，F(xiàn)是邊BC上一點(diǎn)．小明：如圖2．以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．小明：小麗，你的作法有問題．小麗：哦…我明白了?。?）證明AF∥CE；（2）指出小麗作法中存在的問題．【答案】（1）證明見解答過程；（2）以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，此時(shí)可能會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，只有其中之一符合題意．【解答】（1）證明：根據(jù)小明的作法知，CF＝AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵CF＝AE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AF∥CE；（2）解：以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，此時(shí)可能會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，只有其中之一符合題意．故小麗的作法有問題．22．（10分）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．時(shí)間里程分段速度檔跑步里程小明16：00～16：50不分段A檔4000米小麗16：10～16：50第一段B檔1800米第一次休息第二段B檔1200米第二次休息第三段C檔1600米（1）求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；（2）求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；（3）小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．【答案】（1）A，B，C各檔速度80米/分、120米/分、160米/分；（2）小麗兩次休息時(shí)間的總和為5分鐘；（3）a＝42.5．【解答】解：（1）由題意可知，A檔速度為4000÷50＝80（米/分），則B檔速度為80+40＝120（米/分），C檔速度為120+40＝160（米/分），答：A，B，C各檔速度80米/分、120米/分、160米/分．（2）小麗第一段跑步時(shí)間為1800÷120＝15（分），小麗第二段跑步時(shí)間為（3000﹣1800）÷120＝10（分），小麗第三段跑步時(shí)間為（4600﹣3000）÷160＝10（分），則小麗兩次休息時(shí)間的總和為50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分），答：小麗兩次休息時(shí)間的總和為5分鐘．（3）∵小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，∴此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），∴80a＝3000+160（a﹣40），∴a＝42.5．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），對稱軸為直線．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（1）若點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；（3）當(dāng)﹣2≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．【答案】（1）y＝x2+x+3；（2）m＝4；（3）..【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)為y＝x2+bx+c，∴拋物線為直線x．∴b＝1．∴拋物線為y＝x2+x+c．又圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），∴4﹣2+c＝5．∴c＝3．∴拋物線為y＝x2+x+3．（2）由題意，∵點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m個(gè)單位長度（m＞0），∴平移后的點(diǎn)為（1﹣m，9）．又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．∴m＝4．（3）由題意，當(dāng)時(shí)，∴最大值與最小值的差為．∴，不符合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，∴最大值與最小值的差為，符合題意．當(dāng)n＞1時(shí)，最大值與最小值的差為，解得n1＝1或n2＝﹣2，不符合題意．綜上所述，n的取值范圍為．24．（12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點(diǎn)E，使AE＝AC，延長BA至點(diǎn)F，連結(jié)EF，使∠AFE＝∠ADC．（1）若∠AFE＝60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．（2）求證：①EF∥BC；②EF＝BD．【答案】（1）30°；（2）①詳見解答；②詳見解答．【解答】（1）解：∵CD為直徑，∴∠CAD＝90°，∵∠AFE＝∠ADC＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝30°；（2）證明：①如圖，延長AB，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CBM＝∠ADC，又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM，∴EF∥BC；②過點(diǎn)D作DG∥BC交⊙O于點(diǎn)G，則DG∥BC∥EF，∵DG∥BC，∴，∴BD＝CG，∵四邊形BCGD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠GDE＝∠ACG，∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC，∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG（AAS），∴EF＝CG，∴EF＝BD．2024年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．2．（4分）下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）已知點(diǎn)（﹣3，2）在反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象上，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．64．（4分）如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（）A．105° B．115° C．125° D．135°5．（4分）若兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：96．（4分）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．22 C．24 D．267．（4分）已知m，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜68．（4分）如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π9．（4分）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點(diǎn)G．則的值為（）A． B． C． D．10．（4分）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說法：①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個(gè)；③滿足條件的整式M共有16個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）計(jì)算：（π﹣3）0+（）﹣1＝．12．（4分）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是40°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為．13．（4分）重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率為．14．（4分）隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．15．（4分）如圖，在△ABC中，延長AC至點(diǎn)D，使CD＝CA，過點(diǎn)D作DE∥CB，且DE＝DC，連接AE交BC于點(diǎn)F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，則BF＝．16．（4分）若關(guān)于x的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程2的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為．17．（4分）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點(diǎn)D，E均在⊙O上，DE與AB交于點(diǎn)F，連接CE，與⊙O交于點(diǎn)G，連接DG．若AB＝10，DE＝8，則AF＝，DG＝.18．（4分）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2﹣n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2﹣n的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02＝252﹣23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602＝252﹣23的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A＝m2﹣n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為．三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19．（8分）計(jì)算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）（1）．20．（10分）為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級20名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年級20名學(xué)生的競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表年級七年級八年級平均數(shù)8585中位數(shù)86b眾數(shù)a79根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，m＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個(gè)年級學(xué)生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學(xué)生、八年級有500名學(xué)生參加了此次安全知識競賽，估計(jì)該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學(xué)生人數(shù)是多少？21．（10分）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點(diǎn)作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)．用尺規(guī)過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠FCO＝∠EAO．∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴②．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．22．（10分）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，AP＝x，過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．點(diǎn)P，Q的距離為y1，△ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．（1）請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＞y2時(shí)x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過0.2）．24．（10分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠B，D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過計(jì)算說明．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，6），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥y軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF．當(dāng)線段PD長度取得最大值時(shí)，求AM+MN+NF的最小值；（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D，且與直線AC相交于另一點(diǎn)K．點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠QDK＝∠ACB時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與端點(diǎn)重合）．點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AD，DE．在直線AD上取一點(diǎn)F，使∠EFD＝∠BAC，直線EF與直線AC交于點(diǎn)G．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若∠BAC＝90°，點(diǎn)D從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，連接AE，當(dāng)△AEG為等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)的值．

2024年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．【答案】A【解答】解：∵﹣20＜3，∴最小的數(shù)是：﹣2．故選：A．2．（4分）下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、示意圖不是軸對稱圖形，不符合題意；B、示意圖不是軸對稱圖形，不符合題意；C、示意圖是軸對稱圖形，符合題意；D、示意圖不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：C．3．（4分）已知點(diǎn)（﹣3，2）在反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象上，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)（﹣3，2）在反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象上，∴k＝﹣3×2＝﹣6．故選：C．4．（4分）如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．故選：B．5．（4分）若兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：9【答案】D【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，∴這兩個(gè)相似三角形的面積比是12：32＝1：9．故選：D．6．（4分）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【解答】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：4＝1×2+2；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：6＝2×2+2；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：8＝3×2+2；第4種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：10＝4×2+2；…，所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為（2n+2）個(gè)，當(dāng)n＝10時(shí)，2n+2＝22（個(gè)），即第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為22個(gè)．故選：B．7．（4分）已知m，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【答案】B【解答】解：m32，∵，∴34，即實(shí)數(shù)m的范圍是3＜m＜4，故選：B．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π【答案】D【解答】解：連接AC．∵兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，AD＝4，∴AC＝2AD＝8，∴在Rt△ADC中，CD4，∴S矩形ABCD＝AD?CD＝16，∵兩個(gè)扇形均為圓，而且它們的半徑相等，∴兩個(gè)扇形為圓，面積之和為S兩個(gè)扇形πAD2＝8π，∴S陰影＝S矩形ABCD﹣S兩個(gè)扇形＝168π．故選：D．9．（4分）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點(diǎn)G．則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過點(diǎn)F作FH⊥DC交DC延長線于點(diǎn)H，∴∠H＝90°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝DC，∵AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，∴AE＝FE，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠HEF，在△ADE和△EHF中，，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴AD＝EH，DE＝HF，∴EH＝DC，∴DE＝CH＝HF，∴∠HCF＝45°，∴∠G＝45°，設(shè)CH＝HF＝DE＝x，正方形邊長為y，則CE＝y(tǒng)﹣x，CF，CG，∴FG＝CG﹣CF，∴，故選：A．10．（4分）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說法：①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個(gè)；③滿足條件的整式M共有16個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5，∴0≤n≤4，當(dāng)n＝4時(shí)，則4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，滿足條件的整式有x4，當(dāng)n＝3時(shí)，則3+a3+a2+a1+a0＝5，∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），滿足條件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，當(dāng)n＝2時(shí)，則2+a2+a1+a0＝5，∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），滿足條件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；當(dāng)n＝1時(shí)，則1+a1+a0＝5，∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），滿足條件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；當(dāng)n＝0時(shí)，0+a0＝5，滿足條件的整式有：5；∴滿足條件的單項(xiàng)式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合題意；不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)，故②符合題意；滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1＝16個(gè)，故③符合題意；故選：D．二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）計(jì)算：（π﹣3）0+（）﹣1＝3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝1+2＝3，故答案為：3．12．（4分）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是40°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9．【答案】9．【解答】解：∵9，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9，故答案為：9．13．（4分）重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)B的概率為．14．（4分）隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長率是10%．【答案】10%．【解答】解：設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長率是x，根據(jù)題意得：40（1+x）2＝48.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去），∴該公司這兩年繳稅的年平均增長率是10%．故答案為：10%．15．（4分）如圖，在△ABC中，延長AC至點(diǎn)D，使CD＝CA，過點(diǎn)D作DE∥CB，且DE＝DC，連接AE交BC于點(diǎn)F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，則BF＝3．【答案】3．【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB，∴AF＝EF，∴CF是△ADE的中位線，∴DE＝2CF＝2，∵DE＝DC，∴AC＝2CF＝2，∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB，∴△CAF∽△CBA，∴AC：BC＝CF：AC，∴2：BC＝1：2，∴BC＝4，∴BF＝BC﹣FC＝3．故答案為：3．16．（4分）若關(guān)于x的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程2的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為16．【答案】16．【解答】解：，解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x，∴該不等式組的解集為x＜4，∵該不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，∴2，解得a≤8；解分式方程2得，y，由題意得，當(dāng)a＝8時(shí)，y3；當(dāng)a＝6時(shí)，y2；當(dāng)a＝4時(shí)，y1（不合題意，舍去）；當(dāng)a＝2時(shí)，y0，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為8、6和2，∵8+6+2＝16，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為16，故答案為：16．17．（4分）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點(diǎn)D，E均在⊙O上，DE與AB交于點(diǎn)F，連接CE，與⊙O交于點(diǎn)G，連接DG．若AB＝10，DE＝8，則AF＝8，DG＝.【答案】8，．【解答】解：連接OE、OD、OG，過O點(diǎn)作OH⊥DG于H點(diǎn)，CE交AF于P點(diǎn)，如圖，∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∴AB⊥AC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC∥DE，∴AB⊥DE，∴DF＝EFDE＝4，∵AB＝10，∴OA＝OE＝5，在Rt△OEF中，OF3，∴AF＝OA+OF＝5+3＝8；∵DE∥AC，∴，∠DEG＝∠PCA，∴PA8，在Rt△ACP中，PC，∵∠DOG＝2∠DEG，∠DOG＝2∠DOH，∴∠DEG＝∠DOH，∴∠DOH＝∠PCA，∴Rt△DOH∽Rt△PCA，∴DH：AO＝OD：PC，即DH：5：，∴DH，∵OH⊥DG，∴DG＝2DH．故答案為：8，．18．（4分）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2﹣n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2﹣n的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02＝252﹣23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602＝252﹣23的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是82．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A＝m2﹣n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為4564．【答案】82，4564．【解答】解：①設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由題意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，∴要使“方減數(shù)”最小，需a＝1，∴m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，當(dāng)b＝0時(shí)，m2﹣n最小為82；②設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余數(shù)為1，∴1010a+99b+7能被19整除，∴53a+5b為整數(shù)，又2m+n＝k2（k為整數(shù)），∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方數(shù)，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴30a+b+8最小為49，最大為256，即7≤k≤16，設(shè)3a+4b+7＝19t，t為正整數(shù)，則1≤t≤3，（Ⅰ）當(dāng)t＝1時(shí)，3a+4b＝12，則b＝3a，30a+b+8＝30a+3a+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，此時(shí)無整數(shù)解，（Ⅱ）當(dāng)t＝2時(shí)，3a+4b＝31，則b，30a+b+8＝30a8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，此時(shí)無整數(shù)解，（Ⅲ）當(dāng)t＝3時(shí)，3a+4b＝50，則，是完全平方數(shù)，若a＝6，b＝8，則3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此時(shí)m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣a＝60，∴A＝682﹣60＝4564，故答案為：82，4564．三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19．（8分）計(jì)算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）（1）．【答案】（1）2x2+y2；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2＝2x2+y2；（2）原式?．20．（10分）為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級20名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年級20名學(xué)生的競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表年級七年級八年級平均數(shù)8585中位數(shù)86b眾數(shù)a79根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝86，b＝87.5，m＝40；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個(gè)年級學(xué)生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學(xué)生、八年級有500名學(xué)生參加了此次安全知識競賽，估計(jì)該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學(xué)生人數(shù)是多少？【答案】（1）86，87.5，40；（2）八年級學(xué)生安全知識競賽成績較好，理由見解答（答案不唯一）；（3）320人．【解答】解：（1）在七年級20名學(xué)生的競賽成績中86出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)a＝86；把八年級20名學(xué)生的競賽成績從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是87，88，故中位數(shù)b87.5，m%＝1﹣10%﹣20%40%，即m＝40．故答案為：86，87.5，40；（2）八年級學(xué)生安全知識競賽成績較好，理由如下：因?yàn)閮蓚€(gè)年級成績的平均數(shù)相同，但八年級的中位數(shù)高于七年級，所以得到八年級學(xué)生安全知識競賽成績較好（答案不唯一）；（3）400500×40%＝120+200＝320（人），答：估計(jì)該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學(xué)生人數(shù)大約是320人．21．（10分）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點(diǎn)作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)．用尺規(guī)過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠CFO＝∠AEO，∠FCO＝∠EAO．∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．．【答案】（1）見解析；（2）∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠CFO＝∠AEO，∠FCO＝∠EAO．∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．故答案為：∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．22．（10分）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？【答案】（1）該企業(yè)有10條甲類生產(chǎn)線，20條乙類生產(chǎn)線；（2）還需投入1330萬元資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備．【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè)有x條甲類生產(chǎn)線，y條乙類生產(chǎn)線，根據(jù)題意得；，解得：．答：該企業(yè)有10條甲類生產(chǎn)線，20條乙類生產(chǎn)線；（2）設(shè)購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入m萬元，則購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入（m+5）萬元，根據(jù)題意得：，解得：m＝45，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝45是所列方程的解，且符合題意，∴10（m+5）+20m﹣70＝10×（45+5）+20×45﹣70＝1330．答：還需投入1330萬元資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備．23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，AP＝x，過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．點(diǎn)P，Q的距離為y1，△ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．（1）請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＞y2時(shí)x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過0.2）．【答案】（1）y1x（0≤x≤6），y2（0＜x≤6）；（2）圖象見解析過程；y1x的圖象性質(zhì)：在0≤x≤6，y隨x的增大而增大，y2的圖象性質(zhì)：在0＜x≤6，y隨x的增大而減?。唬?）2.1＜x≤6．【解答】解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，，∴，y2，∴y1x，∵點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∴y1x（0≤x≤6），y2（0＜x≤6）；（2）圖象如圖所示：y1x的圖象性質(zhì)：在0≤x≤6，y隨x的增大而增大，y2的圖象性質(zhì)：在0＜x≤6，y隨x的增大而減??；（3）∵y1＞y2，∴x，∴x2，∴x（舍去），x，∴2.1＜x≤6．24．（10分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠B，D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過計(jì)算說明．【答案】（1）A，C兩港之間的距離約為77.2海里；（2）甲貨輪先到達(dá)C港，理由見解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，AB＝40海里，∴AE＝AB?cos45°＝4020（海里），BE＝AB?sin45°＝4020（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE?tan60°＝2020（海里），∴AC＝AE+CE＝202077.2（海里），∴A，C兩港之間的距離約為77.2海里；（2）甲貨輪先到達(dá)C港，理由：如圖：由題意得：∠CDF＝30°，DF∥AG，∴∠GAD＝∠ADF＝60°，∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠GAD＝30°，∴CDAC＝（1010）海里，ADCD＝（1030）海里，在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝20海里，∴BC40（海里），∴甲貨輪航行的路程＝AB+BC＝40+4096.4（海里），乙貨輪航行的路程＝AD+CD＝103010102040105.4（海里），∵96.4海里＜105.4海里，∴甲貨輪先到達(dá)C港．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，6），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥y軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF．當(dāng)線段PD長度取得最大值時(shí)，求AM+MN+NF的最小值；（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D，且與直線AC相交于另一點(diǎn)K．點(diǎn)Q為