《測試技術(shù)與傳感器》課件第1章

1.1信號的分類及其描述

1.2信號的時域分析

1.3信號的頻域分析

思考題與習題1.1信號的分類及其描述1.1.1信號的分類根據(jù)研究角度的不同，信號具有不同的分類方法。常見的信號分類方法如圖1-1所示。圖1-1信號的分類

1.確定性信號和非確定性信號

1)確定性信號確定性信號是指可以用明確的數(shù)學關(guān)系式來描述的信號。根據(jù)信號波形是否隨時間呈規(guī)律性變化，確定性信號可分為周期信號和非周期信號。周期信號是指其波形以一定的周期重復出現(xiàn)的信號?？梢员硎緸閒(t)=f(t+nT)n=0，±1，±2，…(1-1)式中:T為周期，T=2π/ω0(ω0為基頻)。周期信號又可分為簡諧周期信號和復雜周期信號。簡諧周期信號即單一頻率的正弦信號，復雜周期信號是由若干正弦信號合成的，各正弦信號的頻率比為有理數(shù)，如圖1-2所示。圖1-2周期性信號(a)簡諧周期信號；(b)復雜周期信號非周期信號是不論經(jīng)過多少時間都不會重復出現(xiàn)的信號，具有瞬變性，可分為準周期信號和瞬變信號，如圖1-3所示。準周期信號由有限個不同頻率的簡諧周期信號合成，但各信號的頻率比不為有理數(shù)，沒有共同周期。瞬變信號是指在有限的時域范圍內(nèi)出現(xiàn)的信號，又稱為時限信號，在該時域范圍之外取值均為零。圖1-3非周期信號(a)瞬變信號；(b)準周期信號

2)非確定性信號非確定性信號是指無法用明確的數(shù)學關(guān)系式來描述的信號，其變化是不可預知的，反映的是一種隨機過程，例如各種噪聲信號等，如圖1-4所示。非確定性信號可分為平穩(wěn)隨機信號和非平穩(wěn)隨機信號，也稱為隨機過程。平穩(wěn)隨機過程又分為各態(tài)歷經(jīng)隨機過程和非各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間變化的隨機過程稱為平穩(wěn)隨機過程；否則稱為非平穩(wěn)隨機過程。

圖1-4非確定性信號單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征的平穩(wěn)隨機過程稱為各態(tài)歷經(jīng)隨機過程；否則稱為非各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。在工程實際中所遇到的各種物理過程往往很復雜，不是理想的確定或非確定性信號，而是相互摻雜的。

2.時限信號和頻限信號時限信號分為時域有限信號和時域無限信號。時域有限信號是指信號在有限時間區(qū)間內(nèi)存在不全為零的函數(shù)值，而在區(qū)間外則恒為零，如三角脈沖、矩形脈沖等信號。時域無限信號是指信號出現(xiàn)在無限的時間區(qū)間上，如周期信號、指數(shù)信號等。頻限信號分為頻域有限信號和頻域無限信號。頻域有限信號是指信號在有限頻率區(qū)間內(nèi)存在不全為零的函數(shù)值，而在區(qū)間外則恒為零。頻域無限信號是指信號出現(xiàn)在無限的頻率區(qū)間上。

3.連續(xù)時間信號和離散時間信號連續(xù)時間信號是指在某一時間范圍內(nèi)，在任意時刻，除若干個第一類間斷點外，都存在確定函數(shù)值的信號，也稱為模擬信號。例如，單位階躍信號、矩形脈沖信號等均為連續(xù)信號，如圖1-5所示。第一類間斷點的條件是，函數(shù)在間斷點處存在左極限與右極限，但左極限與右極限不等，間斷點收斂于左、右極限函數(shù)值的中點。離散時間信號是指在某一時間范圍內(nèi)，只在某些不連續(xù)的瞬時才存在確定函數(shù)值的信號，也稱為時域離散信號或時間序列。離散時間信號通常又可分為采樣信號和數(shù)字信號。采樣信號是指時間離散而幅值連續(xù)的信號；數(shù)字信號是指時間離散而幅值量化的信號。圖1-5連續(xù)時間信號

4.物理可實現(xiàn)信號和物理不可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號是指在實際應用中出現(xiàn)的信號，滿足以下條件：t≤0時，x(t)=0，即在零時刻之前信號不存在，只有在大于零時刻才有確定的信號值，因此物理可實現(xiàn)信號也稱為單邊信號。物理不可實現(xiàn)信號是指不滿足以上條件的實際應用中不可能出現(xiàn)的信號。物理可實現(xiàn)信號表明，信號經(jīng)由物理系統(tǒng)產(chǎn)生，在零時刻之前沒有輸入，系統(tǒng)沒有響應，即輸出為零，反映了物理上的因果關(guān)系。1.1.2信號的描述根據(jù)實際測控系統(tǒng)的不同要求，信號需要從不同的角度描述，通常分為時域描述和頻域描述。

1.信號的時域描述信號的時域描述是指以時間為獨立變量來描述信號，反映信號幅值隨時間變化的情況，描述信號幅值與時間的對應關(guān)系，是信號的自然表現(xiàn)形式，是實際系統(tǒng)響應過程的一種直觀描述。

2.信號的頻域描述信號的頻域描述是指以頻率為獨立變量來描述信號，反映信號幅值和相角隨頻率變化的情況，揭示了信號的頻率構(gòu)成，包括幅頻特性和相頻特性的描述。例如，信號f(t)=A1sin(ω1t+φ1)+A2sin(ω2t+φ2)+A3sin(ω3t+φ3)的時域描述如圖1-6(a)所示，頻域描述如圖1-6(b)所示。圖1-6信號時域和頻域描述1.2信號的時域分析1.2.1信號的時域分解為了便于進行信號分析，在時域中常把復雜信號分解為若干個簡單信號的分量之和，信號的時域分解因信號的種類不同而有多種形式。

1.交流分量和直流分量信號f(t)可分解為直流分量fD(t)與交流分量fA(t)之和，即f(t)=fD(t)+fA(t)。直流分量也稱為信號平均值，是信號的靜態(tài)分量；交流分量則包含了信號的頻率和相位信息，如圖1-7所示。圖1-7信號分解為直流分量和交流分量

2.偶分量和奇分量信號f(t)可分解為偶分量fE(t)與奇分量fO(t)之和，即f(t)=fE(t)+fO(t)，偶分量關(guān)于縱軸對稱，奇分量關(guān)于原點對稱，如圖1-8所示。圖1-8信號分解為偶分量和奇分量

3.實部分量和虛部分量信號f(t)可分解為實部分量fR(t)與虛部分量fI(t)之和，即f(t)=fR(t)+jfI(t)，虛部信號實際不存在，但可以借助其研究實信號或進行化簡運算。

4.脈沖分量之和信號f(t)可分解為脈沖寬度無窮小的矩形脈沖分量之和，如圖1-9所示。圖1-9信號分解為矩形窄脈沖分量和

5.正交分量之和信號f(t)可以用正交函數(shù)集來表示，即，各分量的正交條件為

(1-2)即在(t1，t2)區(qū)間內(nèi)各分量乘積為零，能量為有限值。例如，三角函數(shù)、復指數(shù)函數(shù)等都滿足正交條件。各分量系數(shù)由下式得

(1-3)1.2.2信號的統(tǒng)計分析

1.均值均值是函數(shù)f(t)在整個時間軸上的平均，也稱數(shù)學期望值，即

(1-4)實際應用中，無限長時間是不可實現(xiàn)的，因此以有限長樣本的估計值代替，即

(1-5)

2.均方值均方值是信號f(t)的平方值的均值，也稱為平均功率，即

(1-6)其有限長樣本的估計值為

(1-7)均方值反映了信號的強度。均方值的正平方根稱為均方根值

(rootmeansquare)，又稱為有效值，是信號平均能量的表達，即

(1-8)

3.方差方差反映隨機信號f(t)的幅值的波動程度，定義為

(1-9)其中，σf稱為均方差或標準差。均值μf、均方值和方差三者之間具有以下關(guān)系:

(1-10)

4.概率密度函數(shù)隨機信號f(t)的概率密度函數(shù)定義為

(1-11)對各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，有

(1-12)式中，P［f<f(t)≤f+Δf］表示瞬時值落在增量Δf范圍內(nèi)的概率，Tf=Δt1+Δt2+…表示信號瞬時值落在［f，f+Δf］區(qū)間的總時間，如圖1-10所示。圖1-10概率密度函數(shù)

5.概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)表示信號f(t)落在某一區(qū)間的概率，又稱為累積概率，是瞬時值f(t)小于等于某值f的概率，即

(1-13)亦可寫成

(1-14)1.2.3信號的相關(guān)分析相關(guān)函數(shù)描述兩個信號的相似程度，也可以描述同一信號在不同時刻的相似程度。

1.自相關(guān)信號f(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為(1-15)實際應用時采用有限長樣本，即自相關(guān)函數(shù)的估計值為

(1-16)

2.互相關(guān)信號f(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為

(1-17)或

(1-18)實際應用時采用有限長樣本，即互相關(guān)函數(shù)的估計值為

(1-19)或

(1-20)

3.相關(guān)系數(shù)函數(shù)信號本身的取值大小影響著相關(guān)函數(shù)值的大小。如果信號本身取值大，即使相關(guān)程度很低的兩個信號，也可能得到很大的相關(guān)函數(shù)值，致使信號的相關(guān)程度無法準確判斷。將相關(guān)函數(shù)進行歸一化處理，即引入相關(guān)系數(shù)函數(shù)

(1-21)則當ρ12(τ)=0時，說明f1(t)和f2(t)完全不相關(guān)；當ρ12(τ)=1時，說明f1(t)和f2(t)完全相關(guān)；當0<|ρ12(τ)|<1時，說明f1(t)和f2(t)部分相關(guān)。1.3信號的頻域分析

1.周期信號分析我們已經(jīng)知道，一個周期為T的函數(shù)f(t)，在滿足狄利克雷(Dirichlet)條件的情況下，可以展開成傅立葉(Fourier)級數(shù)，有三種數(shù)學表達式:(1-22)(1-23)(1-24)式中:在以上各表達式中:An~ω

和|Cn|~ω關(guān)系稱為幅值譜；φn~ω關(guān)系稱為相位譜；和關(guān)系稱為功率譜。

例1-1

求圖1-11所示周期方波的傅立葉級數(shù)，并繪制頻譜圖。圖1-11周期方波解：在一個周期內(nèi)，波形與橫軸圍成的面積上、下相等，所以它的平均值為

f(t)為奇函數(shù)，因為cosnω0t是偶函數(shù)，所以f(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而奇函數(shù)在一個對稱區(qū)間內(nèi)的積分值是零。因此，余弦的系數(shù)為根據(jù)上述兩點可知，此周期方波信號僅由正弦分量組成，其各次正弦波的幅值為最終此方波展開的傅立葉級數(shù)如下:由上式可以看出，此方波各次諧波的幅值衰減得較慢，直到第19次諧波的幅值還為基波的1/19，而到第21次諧波的幅值才小于基波的5%。根據(jù)該方波的傅立葉級數(shù)式可知，它不含靜態(tài)分量，且僅含奇次諧波。它的兩個序列為該方波的幅值與相位頻譜分別如圖1-12(a)、(b)所示。圖1-12周期方波的頻譜圖從以上分析可知，周期信號的頻譜具有以下特征:

(1)離散性。周期信號的譜線是離散的，每條譜線代表一個正弦分量。

(2)諧波性。周期信號的所有頻率成分都是基波的整數(shù)倍。

(3)收斂性。隨著諧波頻率的增大，諧波幅值將減小。

2.非周期信號分析非周期信號不能用傅立葉級數(shù)分解為若干個正弦信號之和，但仍可援引同樣的方法解決問題，即把非周期信號看做是周期為無限大的周期信號。當T→∞時，Δω=ω0=2π/T→0，有Δω=dω,說明周期無限大時，周期信號的譜線間隔無限小，譜線無限密集，轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)譜線。于是，可將在周期信號中對離散頻率分量求級數(shù)和，轉(zhuǎn)變?yōu)樵诜侵芷谛盘栔袑B續(xù)頻率求積分。若非周期信號f(t)在任一區(qū)間滿足狄氏條件，且在無限區(qū)間絕對可積，則在f(t)的連續(xù)點處有

(1-25)設(shè)

(1-26)稱之為f(t)的傅立葉變換，則

(1-27)稱之為F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)與f(t)構(gòu)成了傅立葉變換對，也可將其表示為

(1-28)(1-29)將F(ω)表示成復指數(shù)形式，有F(ω)=|F(ω)|ejφ(ω)(1-30)式中:|F(ω)|~ω關(guān)系稱為幅頻譜密度函數(shù)；φ(ω)~ω關(guān)系稱為相頻譜密度函數(shù)。

例1-2

求矩形窗函數(shù)的頻譜。矩形脈沖的時域表達式為其時域波形如圖1-13(a)所示。圖1-13矩形脈沖及其頻譜

解：該矩形脈沖的頻譜函數(shù)為式中，sincx=sinx/x是一個特定表達的函數(shù)，在測試信號分析中具有廣泛的應用。矩形脈沖的頻譜函數(shù)X(f)的波形如圖1-13(b)所示。因為X(f)只有實部，無虛部，故其幅值頻譜函數(shù)為|X(f)|=hτ|sin

cπfτ|，如圖1-1