2023年上海中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)精講精練專題07圓的有關(guān)計(jì)算與證明綜合問題(真題10道+模擬30道)(含詳解)

2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案(上海專用)

專題07圓的有關(guān)計(jì)算與證明綜合問題(上海真題10道+模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

考點(diǎn)考查年份考查頻率

圓的有關(guān)計(jì)算與證明綜合問題2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018.12年10考

(大題)2020.2021.2022

圓的證明與計(jì)算是中考取的一類重要的問題，在上海市的2011—2022年12年中考中出現(xiàn)了10次，常見的

圓的基礎(chǔ)知識和解題技巧如下：

1、圓中的重要定理：

(1)圓的定義：主要用來證明四點(diǎn)共圓和點(diǎn)到或直線圓的最值距離問題.

(2)垂徑定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.

(3)三者之間的關(guān)系定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.

(4)圓周角性質(zhì)定理及其推論：主要用來證明一直角、角相等、弧相等.

(5)切線的性質(zhì)定理：主要用來證明垂直關(guān)系.

(6)切線的判斷定理：主要用來證明直線是圓的切線.

(7)切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.

2.圓中幾個要點(diǎn)元素之間的相互轉(zhuǎn)變：瓠、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過相等來相互轉(zhuǎn)變.這在圓

中的證明和計(jì)算中常常用到.

3.判斷切線的方法：

(1)若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。

常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線轉(zhuǎn)變等；有時可經(jīng)過計(jì)算聯(lián)合相像、

勾股定理證垂直；

(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。

常有手法：角均分線定理；等腰三角形三線合一，隱蔽角均分線；

4、考題形式剖析：

主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要判斷切線、證明角或線段相等；第2問主要與圓有關(guān)的計(jì)算：

①求線段長(或面積)；②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值(本質(zhì)仍是求線段比)【典例剖析】典

例精講，方法提煉，精準(zhǔn)提分

【例1】(2020?上海)如圖，/XABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圓，80的延長線交邊AC于點(diǎn)D.

(1)求證：/BAC=2NA8。；

(2)當(dāng)△BCO是等腰三角形時，求NBCO的大小;

(3)當(dāng)4。=2,8=3時，求邊8c的長.

【例2】(2021?上海)如圖，在圓。中，弦AB等于弦CD,且相交于點(diǎn)P,其中E、F

為AB、CO中點(diǎn).

(1)證明：OP_LER

(2)連接AF、AC、CE,若A尸〃。尸，證明：四邊形4匹EC為矩形.

C____A

B\7D

【例3】(2022?上海)如圖，在圈A8CQ中，P是線段中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8。交AP于點(diǎn)E,

聯(lián)結(jié)CE.

(1)如果AE=CE.

i.求證：^ABCD為菱形；

ii.若AB=5,CE=3,求線段BO的長；

(2)分別以4E,BE為半徑，點(diǎn)A,8為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E,凡點(diǎn)尸恰好在射線CE上，如果

CE=^[2AEf求膽的值.

備用圖備用圖【真題再現(xiàn)】

必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.（2011?上海）如圖，點(diǎn)C、。分別在扇形AOB的半徑04、08的延長線上，且04=3,AC=2,CO平

行于4瓦并與弧48相交于點(diǎn)M、N.

（1）求線段0。的長；

（2）若tan/C=2，求弦MN的長.

2

是弧上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)4、8重合）ODLBC,OE_LAC,垂足分別為。、E.

（1）當(dāng)8C=1時，求線段0。的長；

（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理

由；

點(diǎn)P是邊8c上的動點(diǎn)，以CP為半徑的圓。與邊AO交于點(diǎn)￡、尸（點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射

線BA交于點(diǎn)G.

圖2（1）當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)4時，求CP的

長；（2）連接AP,當(dāng)4P〃CG時，求弦EF的長；

（3）當(dāng)aAGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長.

4.（2015?上海）已知，如圖，A5是半圓。的直徑，弦CO〃A8,動點(diǎn)P,。分別在線段OC,CO上，且

DQ=OP.AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E,與弦CD相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C,D不重合）,48=20,

cosZAOC=—,設(shè)。P=x,產(chǎn)的面積為y.

5

（1）求證：AP=O。；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)AOP石是直角三角形時，求線段O尸的長.

備用圖5.（2016?上海）已知：如圖，是△A8C的

外接圓，AB=AC，點(diǎn)。在邊BC上，AE〃BC,AE=BD.

（1）求證：AD=CE；

（2）如果點(diǎn)G在線段0c上（不與點(diǎn)。重合），且AG=A。，求證：四邊形AGCE是平行四邊形.

、-----/6.（2017?上海）如圖，已知。。的半徑長為1,AB、AC是OO的兩條弦，且AB=

AC,8。的延長線交AC于點(diǎn)O,聯(lián)結(jié)。4、OC.

（1）求證：△OADs/XABO；

（2）當(dāng)△0。是直角三角形時，求&C兩點(diǎn)的距離;

（3）記△AOB、△AO。、工COD的面積分別為Si、S2、S3，如果S2是Si和S3的比例中項(xiàng)，求。。的

7.（2018?上海）已知。。的直徑A〃=2,弦4c與弦8。交于點(diǎn)￡且OO_LAC,垂足為點(diǎn)尸.

DD

￡

AOBaoBAOB

圖1圖2備用圖(1)如圖1,如果4C=8D,求

弦AC的長；

(2)如圖2,如果E為弦8D的中點(diǎn)，求/AB。的余切值；

(3)聯(lián)結(jié)BC、CD、DA,如果BC是0O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是。。的內(nèi)接正(〃+4)邊形的

一邊，求△4CO的面積.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

1.(2022?上海楊浦?二模)已知在扇形力0B中，點(diǎn)C、。是腦上的兩點(diǎn)，且⑶=2AC,^.AOB=130。,OA=10.

A

(1)如圖

圖2

1,當(dāng)OO_L04時，求弦CD的長;

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)AD,交半徑OC于點(diǎn)E,當(dāng)。W/AC時，求熊的值;

(3)當(dāng)四邊形BOCD是梯形時，試判斷線段AC能否成為。。內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請求出這個正多邊

形的邊數(shù)；如果不能，請說明理由.

2.(2022?上海普陀?二模)如圖，已知矩形4BCD中，4。=5,以40上的一點(diǎn)￡為圓心，瓦4為半徑的圓,

經(jīng)過點(diǎn)C，并交邊BC于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸不與點(diǎn)。重合).

(1)當(dāng)AE=4時，求矩形對角線AC的長;

(2)設(shè)邊4B=%CF=y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)G是此的中點(diǎn)，且2GEF=45。，求邊的長.

3.(2022?上海松江?二模)如圖，己知。0是△ABC的外接圓，AB=AC=8,OA=5.

(1)求N840的正弦值;

(2)求弦8C的長.

4.(2022?上海虹口?二模)己知：如圖，A3.AC是。。的兩條弦，AB=AC,點(diǎn)M、N分別在弦AB、4c上,

且4M=CN,AM<ANf聯(lián)結(jié)OM、ON.

(1)求證：OM=ON；

(2)當(dāng)為銳角時，如果4O2=AM-4C,求證：四邊形4M0N為等腰梯形.

5.(2022?上海金山?二模)如圖，已知：RtAABC中，乙4cB=90。，AB=10,sin^BAC=。是邊〃上

一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，04為半徑的圓。與邊4c的另一個交點(diǎn)是點(diǎn)。，與邊力B的另一個交點(diǎn)是點(diǎn)E,過點(diǎn)。作

A8的平行線與圓。相交于點(diǎn)P,與8C相交于點(diǎn)Q,DP的延長線交于點(diǎn)F,連接尸Q.

CC

/\

\(1)求證：DP=EP；

------------------\

?J—BA

(2)設(shè)04=x,△/PQ的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域；

(3)如果是以尸Q為腰的等腰三角形，求4。的長.

6.(2022?上海靜安?二模)如圖,已知△A8C外接圓的圓心0在高A。上，點(diǎn)E在BC延長線上，EC=AB.

A

:

(1)求證：/-B=2Z-AEC,

■W

(2)當(dāng)04=2,0)$4840=當(dāng)時,求DE的長.

7.(2022.上海黃浦?二模)如圖,已知A、B、C是圓。上的三點(diǎn)，AB=AC,M、N分別是AB、AC的中點(diǎn),

E、尸分別是OM、ON上的點(diǎn).

vJ

V⑴求證:ZAOM=NAON；

如果求證：OEOM=-AO2.

(2)AE||OM*OM,2

8.(2022?上海寶山?二模)如圖，在半徑為3的圓。中，。力、。8都是圓。的半徑，且乙4。8=90。，點(diǎn)C是劣

弧腦上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)4、8重合)，延長AC交射線OB于點(diǎn)D.

D(l)當(dāng)點(diǎn)C為線段40中點(diǎn)時，求乙408的大小;

(2)如果設(shè)4C=%,BD=yt求y關(guān)于％的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

(3)當(dāng)4C=當(dāng)時，點(diǎn)E在線段0。上，且0E=l,點(diǎn)F是射線。4上一點(diǎn)，射線EF與射線DA交于點(diǎn)G,如果以

點(diǎn)4、G、尸為頂點(diǎn)的三角形與ACGE相似，求袈生的值.

9.(2022?上海長寧?二模)已知：如圖，4。是。。的半徑，AC為。。的弦，點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，。尸交AC于點(diǎn)

E,AC=10,EF=3-

(1)求4?的長;

(2)過點(diǎn)。作8_140,交AO延長線于點(diǎn)O,求0。的長?

10.(2022?上海長寧?二模)在放△ABC中，NACB=90。，AC=9,立〃點(diǎn)。在邊A8上(不與點(diǎn)A、

B重合)，以A。為半徑的。A與射線AC相交于點(diǎn)E,射線OE與射線8C相交于點(diǎn)尸，射線Ar與(DA交于

⑴如圖1,設(shè)AZ>x,用含x的代數(shù)式表示OE的長；

(2)如果點(diǎn)E是云的中點(diǎn)，求N4尸。的余切值；

(3)如果△A尸。為等腰三角形，直接寫出4。的長.

11.(2022?上海長寧?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=?f+2fer+c與大軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)8

的右側(cè))，且與)，軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A(3,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),

(1)當(dāng)B的坐標(biāo)為(-5,0)時，求拋物線的解析式;

(2)在(1)的條件下，以A為圓心，OA長為半徑畫。A,以C為圓心，A8長為半徑畫。C,通過計(jì)算說明

0A和OC的位置關(guān)系；

(3)如果484。與△AOC相似，求拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)

12.(2022?上海市楊浦民辦凱慈初級中學(xué)一模)已知：A8是。。的直徑，弦CD1ABt垂足為點(diǎn)H,AH=5,

CD=4后點(diǎn)、?在O。上，射線4E與射線C。相交于點(diǎn)F,設(shè)力E-x,DF-y.

并寫出函數(shù)的定義域；

(3)如果EF=,求。尸的長.

13.(2022?上海徐匯?二模)如圖，已知線段A8=4,以AA為直徑作半圓，過圓心。作A8的垂線OQ交半

圓于點(diǎn)EP是花上的點(diǎn)，連結(jié)4P并延長交。。于點(diǎn)C,連結(jié)交。。于點(diǎn)尸.

法如下:

聯(lián)結(jié)。P,*：OA=OP,???NB40=NAP0,9：OB=OP,：?/OPB=/OBP.

在△4PA中，ZPAOA-2LAPO-\-ZOPB-\-ZOBP=180°,

???NAPO+NOPB=90。,即NA尸8=90。

請?jiān)儆靡环N其他方法證明N4PB=90。.

⑵如圖2,以P8,PC為鄰邊作團(tuán)PBDC,當(dāng)8與。。相切時，求PC的長：

（3）已知點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且瞿="當(dāng)△MQ與aABP相似時，求啜的值.

CM2AC

14.（2022?上海嘉定?二模）在半圓O中，A5為直徑，ACAO為兩條弦，且NCAO+ND4B=90。.

等于CD；

（2）如圖2,點(diǎn)尸在直徑AB上，DF交AC于點(diǎn)E,^AE=DE,求證：AC=2DF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接若4尸=2,BC=6f求弦AO的長.

15.（2022?上海理工大學(xué)附屬初級中學(xué)一模）如圖I,已知在平行四邊形ABC。中，A8=5,BC=8,cosB=

點(diǎn)尸是邊BC上的動點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊4。交于點(diǎn)E、尸（點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線

BA交于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時，求CP的長;

圖2

（2）聯(lián)結(jié)AP,當(dāng)4PlicG時，求弦E尸的長；

（3）當(dāng)AAGE是等腰三角形時，求圓。的半徑長.

16.（2022?上海市青浦區(qū)教育局二模）梯形ABC。中，AD,DC1BC于點(diǎn)C,AB=10,tanB=*G）。］以A8

為直徑，。。2以CO為直徑，直線。1。2與。3交于點(diǎn)M,與。。2交于點(diǎn)N（如圖），設(shè)4。=%.

圓交點(diǎn)為E、F（E在上方），當(dāng)EF=6時，求％的值；（2）當(dāng)。。2與線段A。1交于P、Q時，設(shè)PQ=y,求y關(guān)

于》的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）連接AM,線段AM與。。2交于點(diǎn)G,分別連接NG、02G,若AGMN與AGNO2相似，求》的值.

17.（2022?上海金山區(qū)世界外國語學(xué)校一模）己知：ZMBC內(nèi)接于半徑為2的。O,BC=2yf3＞射線8。交

邊AC于點(diǎn)E.

（1）如果點(diǎn)E恰好是邊AC的中點(diǎn)，求邊A8的長;

(2)如果△ABEs^XACB,求/ABC的大小;

（3）當(dāng)A4EO為等腰三角形時，求乙ABC的大小.

18.（2022?上海?模擬預(yù)測）如圖，已知。。經(jīng)過菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C,且與CO相切，直徑b交A8于點(diǎn)

E.

D

（1）求證：4。與00相切;

⑵若然?求瓢值?

19.（2022?上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測）在半徑為2的扇形A0B中，ZAOB=90°,P是OA延長線上一點(diǎn)，過

線段。尸的中點(diǎn)H作OP的垂線交弧AB于點(diǎn)C,射線PC交弧AB于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)OD.

（D如圖，當(dāng)弧4。=弧8時,

備用圖

求弦CO的長;

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在弧A。上時，設(shè)%=x,CD=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;

（3）設(shè)CO的中點(diǎn)為E,射線HE與射線。。交于點(diǎn)尸，當(dāng)。尸=；時，請直接寫出NP的余切值.

20.（2021?上海奉賢?三模）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C.

（1）請完成如下操作：

①以點(diǎn)。為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；

②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心。，并連接4。、CD.

（2）請?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：

①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C、D；

②。0的半徑=；

（3）求NACO的正弦值.

（2021.上海浦東新?模擬預(yù)測）已知：如圖所示，P是NMAN的邊4N上

的一個動點(diǎn)，B是邊AM上的一個定點(diǎn)，以附為半徑作圓P,交射線4N于點(diǎn)C,過6作直線I使l〃AN交

圓與0、七兩點(diǎn)（點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在點(diǎn)8的左側(cè)和右側(cè)），聯(lián)結(jié)CE并延長，交射線AM于點(diǎn)尸.聯(lián)結(jié)廠P,

BE=y,

BG=EG；

（2）求），關(guān)于％的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)A8E尸是以8尸為腰的等腰三角形時，求經(jīng)過B、

E兩點(diǎn)且半徑為的圓。與圓尸的圓心距.

22.（2021.上海浦東新?模擬預(yù)測）已知：如圖，圓。是等腰△A3。的外接圓，AB=AC,AB=\0,CD=^BCt

tanD=-,求:

（I）線段BC的長;

23.（2021?上海楊浦?三模）如圖，已知在。。中，00J.AB,垂足為點(diǎn)。，。。的延長線與O。相交于點(diǎn)C,

點(diǎn)E在弦AB的延長線上，CE與。。相交于點(diǎn)凡AB=CD=8,tanC=1.

(1)求。。的半徑長;

(2)求)的值.

cr

24.(2021?上海楊浦?三模)如圖，已知在。0中，OO_LA8,垂足為點(diǎn)O,。0的延長線與。0相交于點(diǎn)C,

點(diǎn)E在弦48的延長線上，CE與。O相交于點(diǎn)尸，AB=CD=SttanC=l

(1)求。O的半徑長；

(2)求)的值.

hr

(2021?上海?二模)如圖，已知扇形力。8的半徑。/1=4,乙408=90。，點(diǎn)C、。分

別在半徑04、0B上(點(diǎn)C不與點(diǎn)力重合)，聯(lián)結(jié)CD.點(diǎn)P是弧AB上一點(diǎn)，PC=PD.

(1)當(dāng)cot/ODC=：,以CD為半徑的圓。與圓。相切時，求CD的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)時，求40C0的度數(shù)；

(3)如果0C=2,且四邊形ODPC是梯形，求產(chǎn)的值.

shOCD

26.(2021?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn),PQ_LBD

交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得N點(diǎn)落在射線PD±,點(diǎn)O是邊CD上一點(diǎn)，且0D：

BP=3:4.

(1)聯(lián)結(jié)DQ,當(dāng)DQ平分NBDC時，求PQ的長；

(2)證明：點(diǎn)0始終在QM所在直線的左側(cè)；

(3)若以。為圓心，半徑長為0.8作。0,當(dāng)QM與。0相切時，求BP的長.

27.(2021,上海

浦東新?二模)已知：半圓。的直徑A8=6,點(diǎn)C在半圓。上，且tan/ABC=2&,點(diǎn)。為弧AC上一點(diǎn),

聯(lián)結(jié)OC(如圖)

(1)求8C的長；

(2)若射線0c交射線于點(diǎn)M,且AMBC與△MOC相似，求C。的長；

(3)聯(lián)結(jié)。。，當(dāng)。?！?。時，作NQOB的平分線交線段。。于點(diǎn)N,求ON的

28.(2021?上海青浦?二模)已知：在半徑為2的扇形408中，ZAOB=m°(0<w<180),點(diǎn)。是肪上的一

個動點(diǎn)，直線AC與直線0B相交于點(diǎn)。.

(1)如圖1,當(dāng)UVmV9U,axe.。是等嚶二角形時，求N"的大小(用含陽的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,當(dāng)機(jī)=90點(diǎn)。是腦的中點(diǎn)時，聯(lián)結(jié)A8,求藝駛的值；

S“8c

(3)將AC沿AC所在的直線折疊，當(dāng)折疊后的圓弧與08所在的直線相切于點(diǎn)￡且OE=1時，求線段40

的長.

陀?二模）在梯形A8C。中，AD//BC,ABLBC,AD=3,CD=5,cosC=：（如圖）.〃是邊8C上一個動點(diǎn)

（不與點(diǎn)B、。重合），以點(diǎn)”為圓心，CM為半徑作圓，與射線8、射線M4分別相交于點(diǎn)E、F.

（1）設(shè)CE=￡,求證：四邊形是平行四邊形；

（2）聯(lián)結(jié)上"，設(shè)NFM8=NEMC,求CE的長；

（3）以點(diǎn)。為圓心，D4為半徑作圓，與?！钡墓蚕仪『媒?jīng)過梯形的一個頂點(diǎn)，求此時。M的半徑

30.（2021?上海閔行?二模）如圖，在矩形A8C0中，A8=4,BC=8,點(diǎn)P在邊8C上（點(diǎn)P與端點(diǎn)5、C

不重合），以P為圓心，PB為半徑作圓,圓P與射線80的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)E,直線CE與射線4。交于點(diǎn)G.點(diǎn)

M為線段BE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PM.設(shè)BP=K8M=y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫出該函數(shù)的定義域;

（2）聯(lián)結(jié)4P,當(dāng)AP〃CE時，求x的值；

（3）如果射線EC與圓尸的另一個公共點(diǎn)為點(diǎn)尸，當(dāng)ACPF為直角三角形時，求ACP產(chǎn)的面積.

2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案(上海專用)

專題07圓的有關(guān)計(jì)算與證明綜合問題(上海真題10道+模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

考點(diǎn)考查年份考查頻率

圓的有關(guān)計(jì)算與證明綜合問題2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018.12年10考

(大題)2020.2021.2022

圓的證明與計(jì)算是中考取的一類重要的問題，在上海市的2011—2022年12年中考中出現(xiàn)了10次，常見的

圓的基礎(chǔ)知識和解題技巧如下：

1、圓中的重要定理：

(1)圓的定義：主要用來證明四點(diǎn)共圓和點(diǎn)到或直線圓的最值距離問題.

(2)垂徑定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.

(3)三者之間的關(guān)系定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.

(4)圓周角性質(zhì)定理及其推論：主要用來證明一直角、角相等、弧相等.

(5)切線的性質(zhì)定理：主要用來證明垂直關(guān)系.

(6)切線的判斷定理：主要用來證明直線是圓的切線.

(7)切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.

2.圓中幾個要點(diǎn)元素之間的相互轉(zhuǎn)變：瓠、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過相等來相互轉(zhuǎn)變.這在圓

中的證明和計(jì)算中常常用到.

3.判斷切線的方法：

(1)若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。

常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線轉(zhuǎn)變等；有時可經(jīng)過計(jì)算聯(lián)合相像、

勾股定理證垂直；

(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。

常有手法：角均分線定理；等腰三角形三線合一，隱蔽角均分線；

4、考題形式剖析：

主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要判斷切線、證明角或線段相等；第2問主要與圓有關(guān)的計(jì)算：

①求線段長(或面積)；②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值(本質(zhì)仍是求線段比)【典例剖析】典

例精講，方法提煉，精準(zhǔn)提分

【例1】(2020?上海)如圖，/XABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圓，80的延長線交邊AC于點(diǎn)D.

(1)求證：NBAC=2N48O；

(2)當(dāng)△BCO是等腰三角形時，求NBCO的大小;

(3)當(dāng)4。=2,8=3時，求邊8c的長.

【分析】(1)連接04.利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形：①若BD=CB,則/C=N3OC=NA8O+N8AC=3N48O.②若CO=C8,則NCBD

=^CDB=3ZABD.③若。8=0。，則。與A重合，這種情形不存在.分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)

建方程求解即可.

(3)如圖3中，作AE〃8C交8。的延長線于￡則膽=9_=2,推出地=膽=_1,設(shè)08=04=

BCDC3OHBH3

4a,OH=3a,BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,構(gòu)建方程求出n即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接。A.

圖1???AB=AC,

**?AB~AC，

：.OALBC,

：.ZBAO=ZCAO,

YOA=OB,:?NABD=NBAO,

：.4BAC=2NABD.

(2)解：如圖2中，延長A。交3c于H.

A

B

圖2①若BD=CB,則NC=ZBDC=/ABD+/BAC=3NABD,

\'AB=AC,

:./ABC=NC,

???4DBC=2/ABD,

V^DBC+ZC+ZBDC=180°,

???8/A4￡>=180°,

AZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,則NCBD=NCDB=3/ABD,

/.ZC=4ZABD,

???/OBC+NC+NCOB=180°,

???10NA80=180°,

：?4BCD=4NABD=T1°.

③若OB=OC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°.

(3)如圖3中，作AE〃8C交BO的延長線于E.

則AE—AD—2

'BCDC3

—設(shè)08=04=4。，0H=3a,

OHBH3

,：BH2=AB1-AH2=OB2-OH2,

???25?49。2=16。2-9。2,

?.?2a-,25,

56

；.BH2=7C^=—,

8

:.BH=^^~

4

:,BC=2BH=^^~

2

【例2】(2021?上海)如圖，在圓。中，弦4B等于弦CO,且相交于點(diǎn)P,其中E、尸為AB、CO中點(diǎn).

(1)證明：OPLEF；

(2)連接ARAC,CE,若AF〃OP,證明：四邊形A/EC為矩形.

【分析】(1)利用全等三角形的性質(zhì)證明OE=OF,PE=PF,可得結(jié)論.

(2)連接4C,設(shè)所交OP于J,想辦法證明PE=PF=B4=PC,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接OP,EF,OE,OF,OB=OD.

,:AE=EB,CF=FD,AB=CD,

：.OELAB,OFLCD,BE=DF,

：?/OEB=NOFD=90°,

?：OB=OD,ARtAOEB^RtAOFD(HL),

：.OE=OF,

/OEP=NOFP=90°,OP=OP,

(HL),

:,PE=PF,

?：OE=OF,

:.OPLEF.

(2)證明：連接AC,設(shè)EF交OP于J.

*：AB=CD,AE=EB,CF=DF,

：.AE=CF,BE=DF,

*：PE=PF,

：.PA=PC,

?:PE=PF,OE=OF,

...。0垂直平分線段EE

；,EJ=JF,

-：OP//AF,

:,PC=PF,PA=PE,

???科邊形AFEC是平行四邊形,

YEA=CF,

???四邊形加石C是矩豚

【例3】（2022?上海）如圖，在團(tuán)A8C。中，尸是線段中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)B。交AP于點(diǎn)E,

聯(lián)結(jié)CE

（1）如果AE=CE.

i.求證：為菱形；ii.若45=5,CE=3,求線段BD的長；

（2）分別以AE,BE為半徑,點(diǎn)A,B為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)F恰好在射線CE上，如果

/.證明：如圖，連接AC交8。于點(diǎn)。，證明△AOEgZXCOE（SSS）,由全等三角形的性質(zhì)得出/AOE

=4C0E,證出4cL8。，由菱形的判定可得出結(jié)論；

H.由重心的性質(zhì)得出BE=2OE,設(shè)OE=x,則8E=2x,由勾股定理得出9-f=25-，求出x的值，

則可得出答案；

（2）由相交兩圓的性質(zhì)得出由（1）②知點(diǎn)E是△48C的重心，由重心的性質(zhì)及勾股定理得

出答案.

【解答】（1）/.證明：如圖，連接AC交8。于點(diǎn)O,

：.OA=OC,

'：AE=CE,OE=OE,

???△AOEdCOE(SSS),

???乙AOE=4C0E,

VZAOE+ZCOE=180°,

AZCOE=90°,

：.ACLBD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???I3ABC。為菱形；ii.解：*：OA=OCf

???。8是△ABC的中線，

?；P為BC的中點(diǎn)，

??"P是△48C的中線，

???點(diǎn)E是△A8C的重心，

:.BE=2OE,

設(shè)。E=x,則8七=2x,

在RtZXAOE中，由勾股定理得，OA2=AE2-OE2=32-?=9-?,

2

在RlZXAQB中，由勾股定理得，。解二人解?。屎=52?(3x)=25-9?；

A9-?=25-9?,

解得％=加(負(fù)值舍去)，

OB=3x=3/^2t

：?BD=2OB=&/^；

(2)解：如圖，

圖2:OA與。8相交于E,F,

：.ABA.EF,

由（1）②知點(diǎn)E是△ABC的重心,

又丁尸在直線CE上,

CG是△ABC的中線，

AG=BG=—AB,EG=—CE,

22

CE=y[2AE,

：2122

GE=^-AE,CG=CE+EG=^^-AE,,AG=AE-EG=AE-)2=yAE2>

22乙

V2

AG=-^-AE

2f

AB=2AG=?AE,

/.BC2=BG2+CG2=-^a^+（百醇樞）2=54產(chǎn)，

:.BC=4SAE,

.AB_V2AE_V10

??覺二加版=5，

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.（2011?上海）如圖，點(diǎn)C、。分別在扇形A08的半徑。4、08的延長線上，且04=3,AC=2,8平

行于A8,并與弧A8相交于點(diǎn)M、N.

（1）求線段0。的長;

（2）若tan/C=2，求弦MN的長.

2

o

'B

?！痉治觥浚?）根據(jù)CO〃A8可知，AOABSAOCD,再根據(jù)相似三角形

的對應(yīng)邊成比例即可求出。。的長；

（2）過。作OE_LCZ）,連接0M,由垂徑定理可知再根據(jù)tan/C=1■可求出0E的長,

22

利用勾股定理即可求出ME的長，進(jìn)而求出答案.

【解析】（1）*：CD//AB,

:,乙0AB=40CD,NOBA=NODC,

：?X0ABs4X)CD,

.OA=OB

"OCOD,

即OA_=曾

OA+ACOD

又04=3,AC=2,??.O8=3,

.3=3

??藐0D，

：.0D=5；

(2)過。作OELCD,連接OM,則ME=—MN,

2

.?.設(shè)O￡'=x,貝iJC'￡=Zr,

在RlZXOEC中，0d=0U+C?,即52=』+(2x)2,解得x=f,

在RtZXOME中，0M2=0爛+MQ,即32=(遙)2+“七2,解得WE=2.

:,MN=4,

答：弦MN的長為4.

CD2.（2012?上海）如圖，在半徑為2的扇形AO8中，NAO8=90°,點(diǎn)C

是弧A3上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A、8重合)0Q_L5C,OEA.AC,垂足分別為。、E.

(1)當(dāng)&?=1時，求線段OQ的長：

(2)在△QOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理

由；

(3)設(shè)8。=乂ZXOOE的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.

彳【分析】(I)根據(jù)OD_LBC可得出8。=28c=2，在RlZXBOD中利用勾股定

22

理即可求出0D的長；(2)連接AB,^^AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據(jù)。和E是中

點(diǎn)可得出DE=V2：

(3)由8力=-可知0D=｛由于N1=N2,N3=N4,所以N2+/3=45°,過。作力”_LOE,

V22

【解析】(1)如圖(1),V0D15C,

\BD=—BC=—,

22

,?°0=加2孤2=隼

(2)如圖(2),存在，OE是不變的.

連接AB,則48=4082+0人2=2加，

???D和E分別是線段BC和AC的中點(diǎn),

:?DE=LAB=&；

2

(3)如圖(3),連接0C,

?：BD=x,

???°0=、4-2

/Z1=Z2,Z3=Z4,

???/2+/3=45°,

過。作DF±OE,

???。尸=魚/^=近三￡,由（2）已知。上=正,

V22

???在RtZkQEF中，故=｛麻一DF2='

0E=OF+EF="8—2/十乃x=7s-2x2+V^x_

222

A。交于點(diǎn)E、尸（點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線B4交于點(diǎn)G.

圖2（1）當(dāng)圓。經(jīng)過點(diǎn)A時，，求CP的

（2）連接4P,當(dāng)AP〃CG時，求弦EF的長；（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時，求圓。的半徑長.

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)A在OC上時，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作A”_L8C于H,直接利用勾股定理求出

AC進(jìn)而得出答案；

（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CM的長，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及所

的長；

（3）/GAEW/BGC,只能N4GE=/4EG,利用AO〃BC,得出△GAES^GBC,進(jìn)而求出即可.

【解析】（1）如圖1,設(shè)。。的半徑為「，

當(dāng)點(diǎn)A在0C上時，點(diǎn)石和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)4作AH_L△。于H,

/.BH=AB*cosB=4,

"H=3,CH=4,

?"C=、AH24cH2=5,

???此時CP=r=5；

(2)如圖2,若A尸〃CE,APCE為平行四邊形,

VCE=CP,

???四邊形4尸CE是菱形，

連接AC、EP,貝l」AC_LEP,

5

：.AM=CM=-^,

2

由(1)如，AB=AC,則NACB=NB.

cos/ACB8

(3)如圖3：連接AC,過點(diǎn)C作CMLA。于點(diǎn)N,設(shè)AQ_LBC,

??,翼=cos8,AB=5,

AB

???BQ=4,AN=QC=BC-BQ=4.

4

?cosB=^,

5

AZB<45°,VZBCG<90°,

???/8GC>45°,

:.NBGC>4B=NGAE,即N8GCW^GAE,

又'IZAEG=NBCG2/ACB=NB=/GAE,

???當(dāng)NAEG=NG4E時，A、E、G重合，則AAGE不存在.

即ZAEG^ZGAE

???只能NAG￡=NAEG,

??"O〃BC,

：.2GAESRGBC,

.AE_AGgpAE_AE

"CBBG，'TAE+5

解得：AE=3,EN=AN-AE=1,

???CE=7EN2<N2=V32+12=V10.

上海)已知，如圖，A8是半圓。的直徑，弦動點(diǎn)P,。分別在線段OC,CO上，且OQ=OP,

4P的延長線與射線。。相交于點(diǎn)E,與弦C。相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸與點(diǎn)C,。不重合)，A8=20,cos/AOC

=晟，設(shè)OP=x,Z\CP尸的面積為y.

(1)求證：AP=OQ；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

后即可證得AP=OQ：

(2)作P”_LO4,根據(jù)cosNAOC=2得到?！?芻從而得到SMOP=24O?PH=3X,利用△

5552

PFC^APAO得當(dāng)對應(yīng)邊的比相等即可得到函數(shù)解析式：

(3)分當(dāng)/尸OE=90°時、當(dāng)NOPE=90°時，當(dāng)NOEP=90°時三種情況討論即可得到正確的結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接OQ,

在aAOP和△OOQ中，

rA0=0D

<ZA0C=ZC=Z0DQ，

OP=DQ

AAOP^AODQ,

：,AP=OQ；

（2）作PH1.OA,

4

VcosZ/lOC=—,

5

44

OH=-^PO=—x,

55

：.S^AOP=—AO^PH=3X,

2

義'：XPFCs*\O,

—=喏）2=（10-x）2,整理得：3x-6°x+30°

x

VAP延長線與CD相交于點(diǎn)尸,

:.CFWCD=\6,易知△CPps/x。%,

?.?CPCF,

XAO

當(dāng)b與。重合時，x=史，

13

.F的定義域?yàn)椋褐羐vxVIO；

13

（3）當(dāng)NPOE=90°時，CQ=——=學(xué)'PO=DQ=CD-CQ=^（舍）；

當(dāng)/OPE=90°時，PO=4O?cosNCOA=8；

當(dāng)NOEP=90°時，如圖，由（1）知△AOPg/XO。。，

/./4PO=NOQO,

/./AOQ=ZOQD=/APO,

???/4OQV90°,ZAPO>90°（矛盾），

???此種情況不存在，

???線段O尸的長為8.

(1)求證：AD=CE；

(2)如果點(diǎn)G在線段DC上(不與點(diǎn)D重合)，且=求證：四邊形AGCE是平行四邊

【分析】(1)根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出再根據(jù)全等三角形的判定得△ABDg/XCAE,

即可得出4O=CE；

(2)連接A。并延長，交邊8。于點(diǎn)兒由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出再由垂徑定

理得BH=CH,得出CG與AE平行且相等.

【解答】證明：(1)在。。中，

VAB=AC，

：.AB=AC,

，/8=NAC8,

YAE//BC,

：.^EAC=NACB,

：.NB=NEAC,

rAB=CA

在AABO和△CAE中，，ZB=ZEAC*

BD=AE

:?XABD義ACAE(SAS),

：.AD=CE；

(2)連接AO并延長，交邊BC于點(diǎn)”,

VAB-AC，04為半徑，

：.AHLBC,

:.BH=CH,

*：AD=AG,

:.DH=HG,

???BH-DH=CH-GH,即BD=CG,

*：BD=AEf

：.CG=AE,*：CG//AE,

???四邊形AGCE是平行四邊形.

(2017?上海)如圖，己知。。的半徑長為1,48、AC是。。的兩條弦，且AB=

AC,4。的延長線交AC于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)