7.2 萬有引力定律（舉一反三）【四大題型】（解析版）-2024-2025學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版2019必修第二冊）

7.2萬有引力定律【四大題型】【人教版2019】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對萬有引力定律的理解】 2【題型2萬有引力與重力的關(guān)系】 5【題型3月地檢驗(yàn)】 9【題型4求解空殼和地下萬有引力的方法】 13知識點(diǎn)1：自由落體運(yùn)動一、太陽與行星間的引力1．模型簡化：行星以太陽為圓心做勻速圓周運(yùn)動，太陽對行星的引力提供了行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力．2．太陽對行星的引力推導(dǎo)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(（1）行星做圓周運(yùn)動需要的向心力F＝m\f(v2,r),（2）周期T可以觀測，則線速度v＝\f(2πr,T),（3）開普勒第三定律\f(r3,T2)＝k))?F∝eq\f(m,r2)3．行星對太陽的引力：根據(jù)牛頓第三定律，行星對太陽的引力F′的大小也存在與上述關(guān)系類似的結(jié)果，即F′∝eq\f(M,r2)．4．太陽與行星間的引力：由于F∝eq\f(m,r2)、F′∝eq\f(M,r2)，且F＝F′，則有F∝eq\f(Mm,r2)，寫成等式F＝Geq\f(Mm,r2)，式中G為比例系數(shù)．二、萬有引力定律1．月—地檢驗(yàn)（1）猜想：維持月球繞地球運(yùn)動的力與使物體下落的力是同一種力，遵從“平方反比”的規(guī)律．（2）推理：物體在月球軌道上運(yùn)動時(shí)的加速度大約是它在地面附近下落時(shí)的加速度（重力加速度）的eq\f(1,602)．（3）根據(jù)觀察得到的月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期T及半徑r，月球做圓周運(yùn)動的向心加速度可由a＝eq\f(4π2,T2)r算出．（4）結(jié)論：計(jì)算結(jié)果與我們的預(yù)期符合得很好．這表明：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規(guī)律．2．萬有引力定律（1）內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比．（2）表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)．其中r指兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離．（3）引力常量G：由英國物理學(xué)家卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室中測量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.【題型1對萬有引力定律的理解】【例1】關(guān)于萬有引力公式的理解，以下說法中正確的是（）A．牛頓首先得到了萬有引力定律，并且用實(shí)驗(yàn)測定了引力常量G的數(shù)值B．由公式可知，兩物體緊靠在一起時(shí)萬有引力無窮大C．可看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的引力可用公式計(jì)算D．兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不變，距離變?yōu)樵瓉淼?倍，則它們之間的萬有引力將變?yōu)樵瓉淼摹敬鸢浮緾【詳解】A．卡文迪許用實(shí)驗(yàn)測定了引力常量G的數(shù)值，A錯誤；B．兩物體緊靠在一起時(shí)，萬有引力公式不再適用，B錯誤；C．可看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的引力可用公式計(jì)算，C正確；D．根據(jù)公式，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不變，距離變?yōu)樵瓉淼?倍，則它們之間的萬有引力將變?yōu)樵瓉淼?，D錯誤。故選C?！咀兪?-1】某行星的衛(wèi)星A、B繞以其為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，作用于A、B的引力隨時(shí)間的變化如圖所示，其中，行星到衛(wèi)星A、B軌道上點(diǎn)的距離分別記為rA、rB。假設(shè)A、B只受到行星的引力，下列敘述正確的是（）A．B與A的繞行周期之比為:1 B．rB的最大值與rB的最小值之比為2:1C．rA的最大值與rA的最小值之比為3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值【答案】D【詳解】A．由圖可知，A、B的周期為所以B與A的繞行周期之比為故A錯誤；B．由圖可知，當(dāng)rB最小時(shí)，有當(dāng)rB最大時(shí)，有所以rB的最大值與rB的最小值之比為故B錯誤；C．同理，當(dāng)rA最小時(shí)，有當(dāng)rA最大時(shí)，有所以rA的最大值與rA的最小值之比為故C錯誤；D．根據(jù)開普勒第三定律，有解得所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正確。故選D。【變式1-2】電影中的太空電梯非常吸引人?，F(xiàn)假設(shè)已經(jīng)建成了如圖所示的太空電梯，其通過超級纜繩將地球赤道上的固定基地、同步空間站和配重空間站連接在一起，它們隨地球同步旋轉(zhuǎn)。圖中配重空間站比同步空間站更高，P是纜繩上的一個(gè)平臺。則下列說法正確的是（

）A．太空電梯上各點(diǎn)加速度與該點(diǎn)離地球球心的距離的平方成反比B．超級纜繩對P平臺的作用力方向背離地心C．若從配重空間站向外自由釋放一個(gè)小物塊，則小物塊會一邊朝配重空間站轉(zhuǎn)動的方向向前運(yùn)動一邊落向地球D．若兩空間站之間纜繩斷裂，配重空間站將繞地球做橢圓運(yùn)動，且斷裂處為橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn)【答案】B【詳解】A．太空電梯上各點(diǎn)具有相同的角速度，根據(jù)可知，太空電梯上各點(diǎn)加速度與該點(diǎn)離地球球心的距離成正比，故A錯誤；B．P平臺如果只受地球萬有引力，則圓周運(yùn)動角速度比同步空間站要快，而實(shí)際圓周運(yùn)動角速度等于同步空間站角速度，則在萬有引力之外，P平臺還受到纜繩拉力，故地球的引力與纜繩拉力提供P平臺做圓周運(yùn)動所需的向心力，P平臺做圓周運(yùn)動所需的向心力小于地球?qū)λ娜f有引力，所以超級纜繩對P平臺的作用力方向背離地心，故B正確；C．若從配重空間站向外自由釋放一個(gè)小物塊，則小物塊會一邊朝配重空間站轉(zhuǎn)動的方向向前運(yùn)動一邊偏離地球，做離心運(yùn)動，故C錯誤；D．若兩空間站之間纜繩斷裂，配重空間站將繞地球做橢圓運(yùn)動，其斷裂處為橢圓的近地點(diǎn)，因?yàn)樵诮攸c(diǎn)線速度較大，半徑較小，需要的向心力更大，故D錯誤。故選B?！咀兪?-3】天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星繞太陽的軌道為橢圓，如圖所示，則哈雷彗星從位置N經(jīng)過P運(yùn)動到M的過程中，下列說法正確的是（）A．哈雷彗星受到太陽的引力一直增大B．哈雷彗星受到太陽的引力先減小后增大C．哈雷彗星速度一直增大D．哈雷彗星速度先增大后減小【答案】D【詳解】AB．哈雷彗星從N→P→M過程中，彗星與太陽的距離先變小后變大，根據(jù)萬有萬有引力定律可知，彗星受到太陽的引力先增大后減小，AB錯誤；CD．根據(jù)開普勒第二定律可知，彗星在近日點(diǎn)速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小，故哈雷彗星從位置N經(jīng)過P運(yùn)動到M的過程中的速度先增大后減小，C錯誤，D正確。故選D?！绢}型2萬有引力與重力的關(guān)系】【例2】2021年10月16日神舟十三號飛船順利將3名航天員送入太空，并與天和核心艙對接。已知核心艙繞地球運(yùn)行近似為勻速圓周運(yùn)動，離地面距離約為390km，地球半徑約為6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列說法正確的是（）A．核心艙的向心加速度小于gB．核心艙運(yùn)行速度大于7.9km/sC．由題干條件可以求出地球的質(zhì)量D．考慮到稀薄大氣的阻力，無動力補(bǔ)充，核心艙的速度會越來越小【答案】A【詳解】A．核心艙所處的重力加速度為，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律而在地面處由于核心艙做勻速圓周運(yùn)動，核心艙在該處的萬有引力提供向心力，重力加速度等于向心加速度，因此向心加速度小于g，A正確；B．根據(jù)可知軌道半徑越大，運(yùn)行速度越小，在地面處的運(yùn)行速度為7.9km/s，因此在該高度處的運(yùn)行速度小于7.9km/s，B錯誤；C．根據(jù)從題干信息無法知道G的值，因此無法求出地球的質(zhì)量，C錯誤；D．考慮到稀薄大氣的阻力，無動力補(bǔ)充，核心艙逐漸做近心運(yùn)動，軌道半徑逐漸減小，運(yùn)行速度會越來越大，D錯誤。故選A?！咀兪?-1】已知質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零。若將地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，且不計(jì)地球自轉(zhuǎn)。設(shè)地球表面上方高0.5R處的重力加速度，地球表面下方深0.5R處的重力加速度，則為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)地球的質(zhì)量為M，密度為，由于質(zhì)量分布均勻球殼對其內(nèi)部任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，可知地球表面下方深0.5R處的重力加速度相當(dāng)于半徑為的球體產(chǎn)生的重力加速度，根據(jù)在地球表面上方高0.5R處，根據(jù)萬有引力等于重力得又聯(lián)立，可得故ABC錯誤；D正確。故選D。【變式2-2】由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說法不正確的是（）A．質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為B．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為mgC．地球的半徑為D．地球的密度為【答案】B【詳解】A．地球表面兩極處的重力加速度大小為，質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為。故A正確；B．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小等于其在地球兩極受到的萬有引力，大小為mg0，故B錯誤；C．設(shè)地球半徑為R，在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的質(zhì)量為m，由牛頓第二定律可得故C正確；D．設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，質(zhì)量為m的物體在地球表面兩極處受到的地球引力等于其重力，可得又則有故D正確。選不正確的，故選B。【變式2-3】一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球形行星繞其自轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動。若質(zhì)量為m的物體在該行星兩極時(shí)的重力為G0，在該行星赤道上的重力為，設(shè)行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω，則下列表達(dá)式正確的是（）A．ω＝ B．ω＝C．ω＝ D．ω＝【答案】A【詳解】在兩極上G＝G0在該行星赤道上時(shí)，萬有引力、重力、向心力滿足關(guān)系＝G0＋mω2R解得ω＝故選A?！绢}型3月地檢驗(yàn)】【例3】若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗(yàn)證（）A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的【答案】B【詳解】A．設(shè)月球質(zhì)量為，地球質(zhì)量為M，蘋果質(zhì)量為，則月球受到的萬有引力為蘋果受到的萬有引力為由于月球質(zhì)量和蘋果質(zhì)量之間的關(guān)系未知，故二者之間萬有引力的關(guān)系無法確定，故選項(xiàng)A錯誤；B．根據(jù)牛頓第二定律，整理可以得到故選項(xiàng)B正確；C．在地球表面處在月球表面處由于地球、月球本身的半徑大小、質(zhì)量大小關(guān)系未知，故無法求出月球表面和地面表面重力加速度的關(guān)系，故選項(xiàng)C錯誤；D由C可知，無法求出月球表面和地面表面重力加速度的關(guān)系，故無法求出蘋果在月球表面受到的引力與地球表面引力之間的關(guān)系，故選項(xiàng)D錯誤。故選B?！咀兪?-1】已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球與月球之間的距離（兩球中心之間的距離）為L。月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為，地球自轉(zhuǎn)的周期為，地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期為，假設(shè)公轉(zhuǎn)運(yùn)動都視為圓周運(yùn)動，引力常量為G，由以上條件可知（）A．月球運(yùn)動的加速度為 B．月球的質(zhì)量為C．地球的密度為 D．地球的質(zhì)量為【答案】A【詳解】由月球繞地球做圓周運(yùn)動有解得故A正確；B．根據(jù)萬有引力定律而列出的公式可知月球質(zhì)量將會約去，所以無法求出，故B錯誤；CD．由月球繞地球做圓周運(yùn)動有求得地球質(zhì)量又知體積則密度為故CD錯誤。故選A?！咀兪?-2】（多）2024年4月9日在北美洲南部能觀察到日全食，此時(shí)月球和太陽的視角相等，如圖所示。已知地球繞太陽運(yùn)動的周期約為月球繞地球運(yùn)動周期的13倍，太陽半徑約為地球半徑的100倍，地球半徑約為月球半徑的4倍，月球繞地球及地球繞太陽的運(yùn)動均可視為圓周運(yùn)動，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可知（）A．地球到太陽的距離與月球到地球的距離之比約為B．地球?qū)υ虑虻囊εc太陽對月球的引力之比約為C．太陽的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的倍D．地球與太陽的平均密度之比約為【答案】AC【詳解】A．有幾何關(guān)系可知結(jié)合視角圖可得地球到太陽的距離與月球到地球的距離之比約為故A正確；BCD．由可得則太陽的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的地球?qū)υ虑虻囊εc太陽對月球的引力之比約為星球的密度為則地球與太陽的平均密度之比約為故C正確，BD錯誤。故選AC?！咀兪?-3】（多）在萬有引力定律的學(xué)習(xí)中，月—地檢驗(yàn)的內(nèi)容是這樣說的：地球繞太陽運(yùn)動，月球繞地球運(yùn)動，它們之間的作用力是同一種性質(zhì)的力嗎？這種力與地球?qū)渖咸O果的吸引力也是同一種性質(zhì)的力嗎？假設(shè)地球與月球間的作用力與太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達(dá)式也應(yīng)該滿足。根據(jù)牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運(yùn)動的向心加速度（式中m地是地球質(zhì)量，r是地球中心與月球中心的距離）。進(jìn)一步，假設(shè)地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度（式中m地是地球質(zhì)量，R是地球中心與蘋果間的距離）。由以上兩式可得。由于月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍，所以。下列哪些數(shù)據(jù)能通過計(jì)算驗(yàn)證前面的假設(shè)。（）A．月球的質(zhì)量7.342×1022kgB．自由落體加速度g為9.8m/s2C．月球公轉(zhuǎn)周期為27.3d，約2.36×106sD．月球中心距離地球中心的距離為3.8×108m【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意可知，對月球在運(yùn)算中需要月球公轉(zhuǎn)周期、月球中心距離地球中心的距離。對于地表需要自由落體加速度g，不需要月球質(zhì)量。故選BCD。【題型4求解空殼和地下萬有引力的方法】【例4】如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體，從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零）（）A． B． C． D．0【答案】C【詳解】若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對m的吸引力等于完整大球體對m的吸引力與挖去小球體對m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對m的萬有引力為零，則剩余部分對m的萬有引力等于完整大球體對m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為的球，易知其質(zhì)量為M，則剩余均勻球殼對m的萬有引力為零，故剩余部分對m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律故選C?！咀兪?-1】上世紀(jì)70年代，前蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進(jìn)行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計(jì)劃。當(dāng)蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時(shí)，井底一個(gè)質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力為F，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R，質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則F大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將地球分為半徑為（R－d）的球和厚度為d球殼兩部分，球殼對小球的引力為零則F等于半徑為（R－d）的球?qū)π∏虻囊Γ性O(shè)半徑為（R－d）球的質(zhì)量為，由密度公式得所以解得，F(xiàn)的大小為B正確